第十讲线段垂直平分与角平分线

第十讲线段的垂直平分线与角的平分线上海市徐汇中学 陶琦【知识梳理】互逆命题互逆定理不是每个定理都有逆定理。每个命题都有逆命题。真命题的逆命题不一定是真命题。在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫原命题，那另一个叫它的逆命题。如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理。其中一个叫做另一个的逆定理。【知识梳理】互逆命题线段垂直平分线定理及逆定理角平分线定理及逆定理互逆定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。和一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。角的平分线上的点

到这个角两边的距离相等。在一个角内部（包括顶点）且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。【知识梳理】线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。和一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。FEABP∵EF垂直平分AB，且点P在EF上∴

PA=PB∵

PA=PB∴点P在AB

的垂直平分线上线段的垂直平分线可以看作是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合。不用再证全等了角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角两边的距离相等的点的集合。角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。在一个角内部（包括顶点）且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。【知识梳理】BCOPAFE∵OP平分∠AOB，且PE⊥OB，PF⊥OA∴

PE=PF∵

PE=PF且PE⊥OB，PF⊥OA∴点P在∠AOB的角平分线上即OP平分∠AOB不用再证全等了【知识梳理】互逆命题线段垂直平分线定理及逆定理角平分线定理及逆定理互逆定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。和一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。角的平分线上的点

到这个角两边的距离相等。在一个角内部（包括顶点）且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。可以不用再证三角形全等而得到两条线段相等或两个角相等，使证明更简洁。【知识梳理】互逆命题线段垂直平分线定理及逆定理角平分线定理及逆定理点的轨迹互逆定理三大基本轨迹交规法作图1、和线段两个端点距离相等的点的轨迹是，这条线段的垂直平分线。2、在一个角内部（包括顶点）且到角两边的距离相等的点的轨迹是，这个角的平分线。3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是，以这个定点为圆心、定长为半径的圆。符合某些条件的所有的点的集合。【典型例题】————基础题简单表示：相等的角是对顶角。假命题例1

说出下列命题的逆命题，并判断其真假。1、对顶角相等。改写原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。【典型例题】————基础题对应角相等的两个三角形是全等三角形。假命题例1

说出下列命题的逆命题，并判断其真假。2、全等三角形对应角相等。改写原命题：如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等。逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等。简单表示：【典型例题】————基础题例1

说出下列命题的逆命题，并判断其真假。3、如果一个三角形有两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形。逆命题：如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形有两个内角是锐角。真命题假命题真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题【典型例题】————基础题原命题：对顶角相等。形是钝角三角形。逆命题：相等的角是对顶角（。假命题）逆命题：如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形有两个内角是锐角。（真命题）（真命题）原命题：全等三角形对应角相等。（真命题）逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形。（假命题）原命题：如果一个三角形有两个内角是锐角，那么这个三角（假命题）【典型例题】————基础题例1

说出下列命题的逆命题，并判断其真假。那么截得的同位角相等。4、等腰三角形的两个底角相等。有两个内底角相等的三角形是等腰三角形。真命题5、如果两条平行线被第三条直线所截，改写：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么截得的同位角相等。逆命题：如两果条两直条线直被线第被三第条三直条线直所线截所，截如得果的截同得位的角同相位等角，相那等么，这那两么条这直两线条平直行线。平行。真命题互为逆定理互为逆定理到点A和点B的距离相等的点到点A的距离为3厘米的点【典型例题】————基础题例2

说出符合下列条件的点的轨迹。1、在∠AOB内部，且到角两边的距离相等的点。3、经过点A且半径为3厘米的圆的圆心。2、经过A、B两点的圆的圆心。∠AOB的角平分线以点A为圆心3厘米为半径的圆线段AB的垂直平分线ABA到点A和点B的距离相等【典型例题】————基础题例2

说出符合下列条件的点的轨迹。4、底边为AB的等腰三角形的顶点。不要多不要少线段AB的垂直平分线（除了AB的中点）5、到直线m的距离等于2厘米的点。ABm2厘厘2厘厘与直线m平行，且距离等于2厘米的两条平行线21EABC？BC+BD+DC例3

已知：如图，⊿ABC中AB=AC=14，BC=8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D.（1）求⊿BCD的周长分析：AD=BDBD+DC=AD+DC=AC⊿BCD的周长=BC+AC=22【典型例题】————基础题14D14821EDABC∠2=

∠ABC

-∠1=15

°例3

已知：如图，⊿ABC中AB=AC=14，BC=8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D.（2）若∠1=

50°，求∠2的度数.分析：有两个等腰三角形⊿ABC和⊿ADB∠A既是⊿ADB的底角，又是⊿ABC的顶角AD=BD∠A=

∠1=

50°∠ABC=

（180-∠A）÷2=

65°【典型例题】————基础题例3

已知：如图，⊿ABC中AB=AC=14，BC=8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D.（3）若∠1:∠2=

2:3，求∠1的度数.分析：等腰三角形⊿ABC和⊿ADB21EDABC不能直接求，不妨列方程∠A、∠1、∠2

之间存在一定的数量关系。【典型例题】————基础题例3

已知：如图，⊿ABC中AB=AC=14，BC=8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D.（3）若∠1:∠2=

2:3，求∠1的度数.分析：1EDABC不能直接求，不妨列方程设∠1=2x

°,∠2

=3x

°由∠A

+2

∠ABC=180

°，可列方程2x+10x=180,解得x=15∴

∠1=30

°则∠A=2x

,∠ABC=∠ACB=5x

°2x2x23x5x【典型例题】————基础题反思：1、利用“线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等”这一定理，可以不用再证三角形全等而得到两条相应的线段相等，使证明更简洁。2、看到“线段垂直平分线”这一条件，可以联想到等腰三角形，从而利用等腰三角形的一些性质进一步解决问题。3、在遇到几何计算问题时,若有些量不能直接求，可以考虑寻找几个量之间的等量关系，列方程来解决。例4

已知：如图，⊿ABC中AECAD是∠A的角平分线，DE⊥AE，且DE=2，若BC=5，⊿ABC的周长为13，求⊿ABC的面积.B分析：三角形的一边BC=5这边上？的高【典型例题】————基础题D

52例4

已知：如图，⊿ABC中AD是∠A的角平分线，DE⊥AE，AC

DE=2AEC且DE=2，若BC=5，⊿ABC的周长为13，求⊿ABC的面积.B分析：三角形的一边

这边上的高⊿ADC面积⊿ADB面积ABFDF=2DE=DF⊿ABC面积【典型例题】————基础题D

52例4

已知：如图，⊿ABC中AD是∠A的角平分线，DE⊥AE，AECDE=DF且DE=2，若BC=5，⊿ABC的周长为13，求⊿ABC的面积.B分析：⊿ABC的面积=⊿ADC面积+⊿ADB面积=

1

AC

·

DE

+

1

AB

·

DF2

22=

1

DE·（AC

+

AB）⊿ABC的周长-BC=812=

8·

2

·

8=【典型例题】————基础题FD

521、看到“垂直”和“角平分线”这两个条件可以联想到“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一定理。若只有点到角一边的距离，可以考虑添加该点到另一边的距离。2、在求三角形面积问题时，看到“垂直”这个条

件可以考虑以该垂线段为高求相应三角形的面积。3、在计算时，若部分量未知，可以考虑将式子变形，把某部分看成一个整体代入，再计算。反思：AOBCPDE

NM例5

已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，DM=EN求证：点P在MN的垂直平分线上△PDM≌△PENOC平分∠AOB点P到角的两边距离相等PD=PEDM=EN∠PDM=

∠PEN=90°PM？=PN已知可知分析：只要证：【典型例题】————基础题ABCPDE

NM例5

已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P是OC上一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，DM=EN求证：点P在MN的垂直平分线上【典型例题】————基础题∵OP是∠AOB的角平分线，O且PD⊥OA，PE⊥OB

（已知）∴PD=PE

（角平分线上的点到这个角两边距离相等）∠PDM

=∠PEN

=90°（垂直意义）又∵DM=EN

（已知）∴

△PDM≌△PEN

（S.A.S）∴PM=PN

（全等三角形对应边相等）∴点P在MN的垂直平分线上（和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）证明：联结PM、PN例6已知∠ABC的一边上有两点M、N，点P

到AB、BC的距离相等，且点P到M的距离等于点M到点N的距离，请你确定点P的位置。点P在∠ABC的角平分线上点P在以M为圆心，MN为半径的圆上分析：NABCDMPP’∴点P和P’是符合条件的点PM=MN【典型例题】————基础题【典型例题】————提高题xyAB3、以∠C为顶角(AB为底边)2、以∠B为顶角(AB为腰)1、以∠A为顶角(AB为腰)上，求符合条件的点C的坐标。分析：例7

已知：在直角坐标平面中，⊿ABC是等腰三角形，点A、点B的坐标分别是(0,3)与(3,0),

AB=

3

2

点C在坐标轴xyAB例7

已知：在直角坐标平面中，⊿ABC是等腰三角形，点A、点B的坐标分别是(0,3)与(3,0),

AB=

3

2

点C在坐标轴以点A为圆心，AB为半径的圆上，求符合条件的点C的坐标。分析：以∠A为顶角（AB为腰）AC=ABC2C3C1C（1

0，3

+

3

2）C2（0，3

-

3

2）C3（-3,0）【典型例题】————提高题例7

已知：在直角坐标平面中，⊿ABC是等腰三角形，点A、点B的坐标分别是(0,3)与(3,0),

AB=

3

2

点C在坐标轴xyAB以点B为圆心，AB为半径的圆上，求符合条件的点C的坐标。分析：以∠B为顶角（AB为腰）BC=ABC5C6C4C（4

3

+

3

2，0）2，0）C5

（3-

3C6（0,-3）【典型例题】————提高题例7

已知：在直角坐标平面中，⊿ABC是等腰三角形，点A、点B的坐标分别是(0,3)与(3,0),

AB=

3

2

点C在坐标轴xyBAB的垂直平分线上，求符合条件的点C的坐标。分析：以∠C为顶角（AB为底边）AC=BCC7（0，0）AC7【典型例题】————提高题C2（0，3

-

32）

C3（-3,0）C5

（3

-

3

2，0）C6（0,-3）C（1

0，3

+

3

2）C（4

3

+

3

2，0）C7（0，0）AC=AB时BC=AB时AC=BC时例7

已知：在直角坐标平面中，⊿ABC是等腰三角形，点A、点B的坐标分别是(0,3)与(3,0),

AB=

3

2

点C在坐标轴上，求符合条件的点C的坐标。符合条件的点C共有7个【典型例题】————提高题例8（1）某一天，水质检测员小张从家（点A）出发，到河流a

取样，然后到研究所（点B）进行监测分析。他该怎样走，才能使路程最短？AP=A’P【典型例题】————拓展题ABa分析：A’两点之间线段最短点到直线的垂线段最短去的路程短了，

回来的路程就长了。到哪个点取样？回来的路程短了，去的路程就长了。PP在AA’的垂直平分线上在直线a上找一点P，使AP+PB最短例8（1）某一天，水质检测员小张从家（点A）出发，到河流a

取样，然后到研究所（点B）进行监测分析。他该怎样走，才能使路程最短？P【典型例题】————拓展题BA’aH过点A作直线a的垂线段AH，延长AH至点A’,使HA’=AH.分析：Aa是线段AA’的垂直平分线AP=A’P联结A’B，交直线a

于点P.在直线a上找一点P，使AP+PB最短AP+PB=A’P+PBA’P+PB最短AP+PB最短两点之间线段最短例8（1）某一天，水质检测员小张从家（点A）出发，到河流a

取样，然后到研究所（点B）进行监测分析。他该怎样走，才能使路程最短？【典型例题】————拓展题ABB’a过点B作直线a的垂线段BH，延长BH至点B’,使HB’=BH.分析：联结AB’，交直线a于点P.P

H在直线a上找一点P，使AP+PB最短AP+PBAB’构造垂直平分线【典型例题】————拓展题例8（2）第二天，水质检测员小张从研究所（点B）出发，要先后到河流a、河流b取样，然后再回到研究所进行监测分析。他又该怎样走，才能使路程最短？Bab分析：在直线a上找一点P,在直线b上找一点Q,使BP+PQ+QB

最短一条线段构造垂直平分线【典型例题】————拓展题例8（2）第二天，水质检测员小张从研究所（点B）出发，要先后到河流a、河流b取样，然后再回到研究所进行监测分析。他又该怎样走，才能使路程最短？BabQEF分析：过点B作直线a

的垂线段BC，延长BC至点E,使CE=BC.P

CD过点B作直线b的垂线段BD，延长BD至点F,使DF=BD.联结EF，分别交直线a

、直线b于点P和点QBP+PQ+QBEP

FQEF构造垂直平分线例9

已知:

AB=AC、AD=AE，∠1=∠2

，EC、BD交于点PPA平分∠EPB【典型例题】————