《球》示范公开课教学设计高中数学必修2（北师大版）

1/5《球》教学设计教材分析教材分析本课是北师大版普通高中数学必修二第一章第七节的内容。空间几何初步是初等几何教学的重要的内容之一，它是在初中平面几何的学习基础上开设的，通过对球的观察，只需要求学生会应用球的表面积和体积公式，不用记忆球的表面积和体积公式的推导和证明。教学目标教学目标【知识与能力目标】理解球的截面、球的切线的性质，并能进行简单的计算；了解球的体积和表面积公式，并能运用公式计算球的体积与表面积；能运用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题。【过程与方法目标】培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。【情感态度价值观目标】

帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。教学重难点教学重难点【教学重点】运用公式计算球的体积与表面积。【教学难点】运用公式解决与球有关的简单组合体的表面积和体积问题。课前准备课前准备电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。教学过程教学过程一、导入部分圆柱、圆锥、圆台，它们分别由矩形、直角三角形、直角梯形旋转而成的。那么球是由什么图形旋转得到的呢？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。（1）球的截面用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是圆。有以下性质：①若平面过球心O，则截面圆是以O为圆心的球的大圆。②若平面不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝R2-d2，即此时截得的圆是以O′为圆心，以（2）球的切线①定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线。如（1）图，l为球O的切线，M为切点。②性质：（①）球的切线垂直于过切点的半径；（②）过球外一点的所有切线的长度都相等。如（2）图，PA，PB为从点P引到球O的切线，则PA＝PB.（③）从球外一点引球的切线，切线与圆面O′(过A，B两点的圆面)构成一个圆锥。（3）球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S＝4πR2体积公式V=三、质疑答辩，发展思维1、举例：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为多少？解析：长方体外接球直径长等于长方体对角线长，即2R=12+22+答案：14π[来源:Z#xx#k.Com][来源:学,科,网]2、思考1：如何求球的表面积和体积？解：要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解。注意：半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了。思考2：如何解决球与其他几何体外接或内切问题？解：(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系。一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等。(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”或“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算。3、例题例1若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比。解:设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得13πr2h=43πR3r=2R∴l=r2+h2=5h，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2h×5h＝25πh2，∴S圆锥侧例2某几何体的三视图如图所示，则它的体积为多少？解：由三视图可知是一个由一个半球和倒立的圆锥组成的几何体。V＝13π×32×4＋12×434、巩固练习（1）把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的()A.2倍B.22倍C.2倍D.32解析：设改变前、后球的半径分别是r，r′，则由条件可知4πr′2＝2×4πr2。∴r′＝2r，V′＝4πr答案：B(2)一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为()A.13πB.3πC.解析：S表＝πr2＋2πr2＝1，∴r＝3π3π答案：C(3)一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球。求：①圆锥的侧面积；②圆锥内切球的体积。解析：①如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB。设圆O的半径为R，则有43πR3＝972π，所以R3＝729，R＝9，所以SE＝18。又因为SD＝16，所以ED连接AE，因为SE是直径，所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，所以SA＝122。因为AB⊥SD，所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝42。所以S圆锥侧＝π×42×122＝96π。②设内切球O1的半径为r，因为△SAB的周长为2×(122＋42)＝322，所以S△SAB＝12r×322＝r2×82×16，所以r＝4.所以内切球O1的体积V球＝43πr3四、课堂小结：（1）球的截面用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是圆。有以下性质：①若平面过球心O，则截面圆是以O为圆心的球的大圆。②若平面不过球心O，如图，设OO′⊥α，垂足为O′，记OO′＝d，对于平面α与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，则有O′P＝R2-d2，即此时截得的圆是以O′为圆心，以（2）球的切线①定义：与球只有唯一公共点的直线叫作球的切线。如（1）图，l为球O的切线，M为切点。②性质：（①）球的切线垂直于过切点的半径；（②）过球外一点的所有切线的长度都相等。如（2）图，PA，PB为从点P引