2022年湖南省常德市中考数学试卷

2022年湖南省常德市中考数学试卷

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1.（3分）在青V3,-V8,IT,2022这五个数中无理数的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

2.（3分）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标

中是中心对称图形的是

3.（3分）计算x3

A.xB.4xC.4x7D.x11

4.（3分）下列说也

A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适

B.“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件

C.一组数据的中位数可能有两个

D.为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式

5.（3分）从1,2,3,4,5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为

（）

1n2c3n4

AA.-B.-C.-D.-

5555

6.（3分）关于x的一元二次方程*2-4*+1<=0无实数解，则k的取值范

围是（）

A.k>4B.k<4C.k<-4D.k>l

7.（3分）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,将AABC绕点

C顺时针旋转60°得到点A,B的对应点分别是D,E,点F是边AC的中

点，连接BF,BE,FD.则下列结论错误的是（）

D

C.ZDFC=90°D.DG=3GF

8.（3分）我们发现：A/6+3=3,V6+V6+3=3,46+J6+分6+百=

3,…，6+6+，6+—bj6+j6+1=3,一般地，对于正整数a,b,如

、n个根号

果满足b+Jb+Jb+…+Jb+VKV=a时,称（a,b）为一组完美方根数

对.如上面（3,6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4,12）是完

美方根数对；②（9,91）是完美方根数对；③若（a,380）是完美方根数对，则

a=20；④若（x,y）是完美方根数对，则点P（x,y）在抛物线y=x?—x上，其

中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）

9.（3分）|-6|=.

10.（3分）分解因式：x3-9xy2=.

11.（3分）要使代数式信有意义，则x的取值范围为.

12.（3分）方程3+的解为

xx（x-2）2x-----------

13.（3分）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面

的字是

14.（3分）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，

演讲得分按“演讲内容”占40乐“语言表达”占40乐“形象风度”占10%、“整

体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85,88,92,90,则她的最

后得分是分.

15.（3分）如图，已知F是AABC内的一点，FD〃BC,FE〃AB,若^BDFE的

面积为2,BD=：BA,BE=-BC,则4ABC的面积是

34

16.（3分）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直

线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的

直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀

沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；…；如此

下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四

边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为.

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）

17.（5分）计算：3°-2sin30°+V8cos45°.

5x-l>3x-4

18.（5分）解不等式组1,2

——X<——X

(33

四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）

（6分）化简：（；

19.aT+噩)+亲

20.（6分）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小

时.某天，他们以平常的速度行驶了:的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了

20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少

千米？

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21.（7分）如图，已知正比例函数yi=x与反比例函数丫2的图象交于A（2,

2),B两点.

（1）求丫2的解析式并直接写出y】Vy2时X的取值范围；

（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4«U,在此菱形的四条边中

任选一条，求其所在直线的解析式.

22.（7分）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试

行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳

动时间不少于3小时.某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随

机抽取了500名进行问卷调查.如图是根据此次调查结果得到的统计图.

学生平均每周劳动时间统计图

A

学生展喜欢的劳动课程统计图

2(wK]

16u

14a

12(]

10(]

80l

60l

40l

20ul

（上图中l5£rV2,以此类推）

请根据统计图回答下列问题:

（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数

的百分比为多少？

（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人.

（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议.

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23.（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举

行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，

激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台

（如图1）,它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图2是其示

意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离

为40米，HG〃BC,ZAFH=40°,ZEFG=25°,ZECB=36°.求此大跳台最高点

A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）.

（参考数据：sin40°^0.64,cos40°^0.77,tan40°弋0.84,sin25°弋

0.42,cos25°^0.91,tan25°«^0.47,sin36°^0.59,cos36°^0.81,tan36°

20.73）

24.(8分)如图，已知AB是。。的直径，BCLAB于B,E是0A上的一点,

ED〃BC交。。于D,0C/7AD,连接AC交ED于F.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.

七、(本大题2个小题，每小题10分，满分20分)

25.(10分)如图，已知抛物线过点0(0,0),A(5,5),且它的对称轴为

x=2,点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当AOAB的面积为15时，求B的坐标；

(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA-PB的值最大时，求P

的坐标以及PA-PB的最大值.

26.(10分)在四边形ABCD中，NBAD的平分线AF交BC于F,延长AB到E

使BE=FC,G是AF的中点，GE交BC于0,连接GD.

(1)当四边形ABCD是矩形时，如图1,求证：①GE=GD；②B0・GD=G0・FC.

(2)当四边形ABCD是平行四边形时，如图2,(1)中的结论都成立.请给

出结论②的证明.

2022年湖南省常德市中考数学试卷

参考答案

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

L（3分）峙―，2022这五个数中无理数的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

答案：A

解析：—强=—2,

无理数有：V3,n共2个，

故选：A.

2.（3分）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标

中是中心对称图形的是（）

解析:：..•将图形绕着一点旋转180°后能和它本身重合的图形是中心对称

图形，

，选项B符合上述特征，

故选：B.

3.（3分）计算X-4x3的结果是（）

A.xB.4xC.4x7D.x11

答案：C

解析：原式=4・x4+3

=4x7,

故选：C.

4.（3分）下列说法正确的是（）

A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适

B.“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件

C.一组数据的中位数可能有两个

D.为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式

答案：D

解析：A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，应采用折线统计

图最合适，不符合题意；

B.“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，不符合题意；

C.一组数据的中位数只有一个，不符合题意；

D.为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，符合题意，

故选：D.

5.(3分)从1,2,3,4,5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为

()

A.-B.-C

55-i

答案：B

解析：画树状图如图：

开始

12345

八Z八公

23451345124512351234

工共有20种等可能的结果，

其中两个数的和为偶数的有(1,3),(1,5),(2,4),(3,1),(3,5),

(4,2),(5,1),(5,3),共8种，

•••这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为5=|.

故选：B.

6.(3分)关于x的一元二次方程x2-4x+k=0无实数解，则k的取值范

围是()

A.k>4B.k<4C.k<-4D.k>l

答案：A

解析：••・关于X的一元二次方程x2-4x+k=0无实数解，

.,.A=(-4)2-4xlxk<0,

解得：k>4,

故选：A.

7.（3分）如图，在RtaABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,将aABC绕点

C顺时针旋转60°得到ADEC,点A,B的对应点分别是D,E,点F是边AC的中

点，连接BF,BE,FD.则下列结论错误的是（）

A.BE=BCB.BF〃DE,BF=DE

C.ZDFC=90°D.DG=3GF

答案：D

解析：A、由旋转的性质可知，CB=CE,ZBCE=60°,

/.△BCE为等边三角形，

，BE=BC,本选项结论正确，不符合题意；

B、在RtaABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,点F是边AC的中点,

，AB=UC=CF=BF,

2

由旋转的性质可知，CA=CD,ZACD=60°,

:.NA=NACD,

'AB=CF

在aABC和4CFD中，，ZA=ZFCD

、CA=CD

/.△ABC^ACFD(SAS),

/.DF=BC=BE,

VDE=AB=BF,

，四边形EBFD为平行四边形，

，BF〃DE,BF=DE,本选项结论正确，不符合题意；

C、VAABC^ACFD,

AZDFC=ZABC=90°,本选项结论正确，不符合题意；

D、在RSGFC中,ZGCF=30",

.•.GF盍F,

3

同理可得，DF=6CF,

...DF=3GF,故本选项结论错误，符合题意；

故选：D.

8.（3分）我们发现：＞/6+3=3,J6+显+3=3,J6+&+分6+^=

3,…，64-6+16+—卜j6+-6+3=3,一般地，对于正整数a,b,如

、n个根号

果满足b+Jb+Jb+…+Jb+而==a时,称（a,b）为一组完美方根数

、'n个根号―

对.如上面（3,6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4,12）是完

美方根数对；②（9,91）是完美方根数对；③若（a,380）是完美方根数对，则

a=20；④若（x,y）是完美方根数对，则点P（x,y）在抛物线y=x?—x上，其

中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：C

解析：将（4,12）代入“2+4=4,V12+7124^=4,

J124-712+V12+4=4,…，

:.（4,12）是完美方根数对；故①正确；

将（9,91）代入“91+9=10H9,791+791+^=

.•・（9,91）不是完美方根数对，故②错误;

③•・,(a,380)是完美方根数对，

...将(a,380)代入公式，V380+a=a,7380+V380Ta=a,

解得a=20或a=-19(舍去)，故③正确；

④若(x,y)是完美方根数对，则Jy+x=x,Jy+y/y+^=x,

整理得y=x2-x,

.,.点P(x,y)在抛物线y=x2-x上，故④正确；

故选：C.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分)

9.(3分)|-6|=.

答案：6

解析：—6V0,

贝!=—(—6)=6,

故答案为6.

10.(3分)分解因式：x3-9xy2=.

答案：x(x+3y)(x-3y)

解析：x3-9xy2

=x(x2-9y2)

=x(x+3y)(x-3y),

故答案为：x(x+3y)(x-3y).

11.(3分)要使代数式信有意义，则x的取值范围为.

答案：x>4

解析：由题意得：x-4>0,

解得：x>4,

故答案为：x>4.

12.(3分)方程"的解为

xx(x-2)2x------------

答案：x=4

解析：方程两边同乘2x(x-2),得4x-8+2=5xT0,

解得：x=4,

检验：当x=4时,2x（x-2）=16#0,

/.x=4是原方程的解，

,原方程的解为x=4.

13.（3分）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面

的字是.

解析：由图可得，

“神”字对面的字是“月”，

故答案为：月.

14.（3分）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，

演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整

体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85,88,92,90,则她的最

后得分是分.

答案：87.4

解析：她的最后得分是85X40%+88X40%+92X10%+90X10%=87.4（分），

故答案为：87.4.

15.（3分）如图，已知F是aABC内的一点，FD〃BC,FE〃AB,若KDFE的

面积为2,BD=|BA,BE=（BC,则aABC的面积是.

答案：12

解析：如图,连接DE,CD,

D

BkC

♦••四边形BEFD为平行四边形，口BDFE的面积为2,

•\S/iBDE='SgiBDFE=L

VBE=iBC,

4

••SABDC=4SABDE=4,

VBD=|BA,

'SAABC=3S&BDC=12，

故答案为：12.

16.（3分）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直

线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的

直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀

沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；…；如此

下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四

边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为.

答案：6

解析：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多

边形的边数增加4,

第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为

2+2X2+lX2=8=4+4Xl（边），分成两个图形；

第二次，边数为：8-2+2X2+2X1=12=4+4X2,分成三个图形;……；

当剪第n刀时，边数为4+4n,分成（n+1）个图形；

•.•最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为m,

.•.令n=9,<4+4X9=5+3X3+5X4+m,

解得m=6.

故答案为：6.

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）

17.（5分）计算：3°-2sin30°+V8cos45°.

解答：3°-sin3O°+V8cos45°

=1-4xi4-272X—

22

=1-2+2

=1

故答案为：L

5x—l>3x—4

18.(5分)解不等式组i2

——X<——X

v33

解答：由5x-l>3x-4,得：x>

由一—X,得：X<1,

则不等式组的解集为-：Vx<1.

四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分)

19.(6分)化简：

解答：S-1+祟)

_|-(a—l)(a+2)a+3]a+2

a+2a+2(a+l)(a—1)

_a2+2a+la+2

-a+2(a+l)(a-l)

20.(6分)小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小

时.某天，他们以平常的速度行驶了:的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了

20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少

千米?

解答：设平常的速度是x千米/小时,

根据题意，得

区初丝+2=5,

x-20

解得x=60,

经检验，x=60是原方程的根，

4X60=240(千米)，

答：小强家到他奶奶家的距离是240千米.

五、(本大题2个小题，每小题7分，满分14分)

21.(7分)如图，已知正比例函数yi=x与反比例函数丫2的图象交于A(2,

2),B两点.

(1)求丫2的解析式并直接写出y1〈y2时x的取值范围；

(2)以AB为一条对角线作菱形，它的周长为在此菱形的四条边中

任选一条，求其所在直线的解析式.

解答：⑴设反比例函数丫2=：,把A(2,2)代入，得：2=去

解得：k=4,

.4

,,y2=7

由解得：卜=2,『2=一2,

(y=-lyi=2ly2=-2

.,.B(-2,-2),

由图象可知：当％Vy2时，xV-2或0VxV2；

注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的

坐标.

(2)如图，过点A作AE_Lx轴于点E,过点D作DF_Lx轴于点F,

VA(2,2),

/.AE=0E=2,

AAAOE是等腰直角三角形，

.\ZA0E=45o,0A=V2AE=2V2,

V四边形ACBD是菱形，

.•.AB±CD,OC=OD,

/.ZD0F=90°-ZA0E=45°,

VZDF0=90°,

.'.△DOF是等腰直角三角形，

/.DF=OF,

:菱形ACBD的周长为4V10,

.*.AD=ViO,

在RtAAOD中，OD=VAD2-OA2=J(710)2-(2V2)2=V2,

,-.DF=OF=l,

AD(1,-1),

由菱形的对称性可得：C(-1,1),

设直线AD的解析式为y=mx+n,

r+n=-1

则，

I2m+n=2

(m=3

解得：1,

ln=-4

...AD所在直线的解析式为y=3x-4；

同理可得BC所在直线的解析式为y=3x+4,AC所在直线的解析式为y=

gx+],BD所在直线的解析式为y=gx-%

22.（7分）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试

行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳

动时间不少于3小时.某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随

机抽取了500名进行问卷调查.如图是根据此次调查结果得到的统计图.

学生平均母周劳动时间统计图

人数学生最声欢的劳动课程统计图

2OL

181

16L

14L

1

2,

—CML

so

（）。

40

20

0

（上图中15sx<2,以此类推）

请根据统计图回答下列问题:

（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数

的百分比为多少？

（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人.

（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议.

解答：：（1）7ooX1Q0%=21%>

...本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的

百分比为21%；

（2）2000X（1-40%-27%-7%-10%）=320（人），

...若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的估计有320人；

（3）（答案不唯一，合理即可）

如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色

劳动课程，增加劳动课的课时等.

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23.（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举

行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，

激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台

（如图1）,它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图2是其示

意图，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳台的跨度FG=7米，顶端E到BD的距离

为40米，HG〃BC,ZAFH=40°,ZEFG=25°,ZECB=36°.求此大跳台最高点

A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）.

（参考数据：sin40°—0.64,cos40°-0.77,tan40°—0.84,sin25°g

0.42,cos25°^O.91,tan25°七0.47,sin36°55so.59,cos36°^0.81,tan36°

^0.73）

解答：如图，过点E作ENJLBC于点N,交HG于点M,则AB=AH-EM+EN.

根据题意可知，ZAHF=ZEMF=ZEMG=900,EN=40(米)，

•.,HG〃BC,

...NEGM=NECB=36°,

在RtZkAHF中，ZAFH=40°,AF=50,

.•.AH=AF，sinZAFH^50X0.64=32(米)，

在RtAFEM和RtAEMG中，设MG=m米，则FM=(7-m)米,

AEM=MG«tanZEGM=MG«tan36°=0.73m,

EM=FM«tanZEFM=FM«tan250~0.47(7-m),

AO.73m=O.47(7-m),解得m-2.7(米)，

■EM*0.47(7-m)=2.021(米),

.*.AB=AH-EM+EN^32-2.021+40«=70(米).

...此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米.

24.(8分)如图，已知AB是。0的直径，BC_LAB于B,E是0A上的一点,

ED〃BC交。。于D,OC〃AD,连接AC交ED于F.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.

解答：(1)证明：连接0D,

VAD/70C,

,NBOC=NOAD,ZDOC=ZODA,

VOA=OD,

:.ZOAD=ZODA,

.•.ZBOC=ZDOC,

'OB=OD

在△BOC和△□()(：中，，ZBOC=ZDOC

、oc=oc

AABOC^ADOC(SAS),

/.Z0DC=Z0BC=90°,

TOD为。0的半径，

，CD是。0的切线；

(2)解：过点D作DH_LBC于H,

TED〃BC,

Z0ED=1800-ZABC=90°,

则四边形EBHD为矩形，

.\BH=ED,DH=BE=7,

VAB=8,AE=L

/.0E=3,

:.ED=VOD2-OE2=V42-32=V7,

VCB.CD是。0的切线

.\CB=CD,

设CB=CD=x,则CH=x-V7,

在RtZXDHC中，DH2+CH2=CD2,即72+(x-7)2=2,

解得：x=4A/7,即BC=4«,

■ED〃BC,

.•.史=竺，即?=工，

BCAB4a8

解得：EF=y.

七、(本大题2个小题，每小题10分，满分20分)

25.(10分)如图，已知抛物线过点0(0,0),A(5,5且它的对称轴为

x=2,点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)当AOAB的面积为15时，求B的坐标;

(3)在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA-PB的值最大时，求P

的坐标以及PA-PB的最大值.

解答：(1)•••抛物线过点0(0,0),A(5,5),且它的对称轴为x=2,

，抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0),

设抛物线解析式为y=ax(x—4),把A(5,5)代入，得5a=5,

解得：a=1,

.*.y=x(x-4)=x2—4x,

故此抛物线的解析式为y=x2-4x；

(2)•.•点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，

.,.设B(2,m)(m>0),

设直线0A的解析式为y=kx,