北京第154中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

北京第154中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个结论中正确的个数为（）①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；

②若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n． A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个参考答案：B考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．专题： 空间位置关系与距离．分析： 利用线面平行、面面平行以及线面垂直、面面垂直的性质对选项分别分析解答．解答： 对于①，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n或者异面；故①错误；对于②，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，利用线面平行、线面垂直的性质，可得m与n平行或异面；故②不正确；对于③，若m⊥α，n∥β，且α∥β，利用线面平行、线面垂直，面面平行的性质，可得m⊥n；正确对于④，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用线面垂直、面面垂直的性质可得m⊥n．正确故正确的有2个；故选B．点评： 本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直以及面面垂直的性质，熟练掌握定理是解答的关键．2.设，则使函数的值域为且为奇函数的所有值为（

）A．， B．， C．， D．，，参考答案：A3.下列命题中,为真命题的是(

)A.,使得

B.

C.

D.若命题,使得,则参考答案：D4.已知两个向量集合M={︱＝（cos，），∈R}，N＝{︱＝（cos，＋sin）∈R}，若M∩N≠，则的取值范围是A.（－3，5]

B.[,5]

C.[2，5]

D.[5，＋∞)参考答案：B

5.设为虚数单位，若复数满足，则对应在复平面上点的坐标为

（

）A.（1,2）

B.（1,3）

C.

(3,1)

D.(2,1)参考答案：C6.为了了解我校今年新入学的高一A班学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如右图)，已知高一A班学生人数为48人，图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，则第2小组的频数为（

）

A.16

B.14

C.12

D.11参考答案：C7.已知，，，，则（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果.【详解】∵，，∴又，∴∴，又∴综上：故选：A【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查作差法，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.设

，则等于（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A解法一：利用公式：。由，得，化简得。

两边平方得，从而，故选择A。解法二：变角利用二倍角余弦公式：。

，故选择A。9.已知函数的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案B不正确.当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案C也不正确.当时,函数,结合图象可知不存在三对点关于原点成中心对称,所以答案A也不正确.故应选D.考点：分段函数的图象和性质及综合运用.【易错点晴】本题考查的是分段函数的图象和性质与数形结合的数学思想的范围问题,解答时运用排除法逐一分情况代入检验特殊值,求出分段函数的解析式分别为,,,分别作出这些函数的图象,并对每个函数的图象进行分析,逐一检验图象是否满足题设中的条件,排除不满足的函数的图象的情况和不满足题设条件的答案和选择支最后选答案.10.平面向量满足，，，，则的最小值为（）A.

B.

C.

1

D.2参考答案：【答案解析】B解析：设，则有x=1,m=2,,得，所以，所以选B.【思路点拨】在向量的计算中，若直接计算不方便，可考虑建立坐标系，把向量坐标化，利用向量的坐标运算进行解答.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系内，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为

参考答案：解：如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。12.抛物线的焦点到准线的距离为

.参考答案：2由抛物线的方程可知，所以，即抛物线的焦点到准线的距离为2.13.已知复数（为虚数单位），则______________。参考答案：【知识点】复数求模．L4因为，所以，故答案为。【思路点拨】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．14.将连续整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为

，最大值为

.参考答案：；因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.15.等差数列{an}中，，前11项和，数列{bn}满足，则数列{bn}的前11项和

．参考答案：由于是等差数列，所以，所以，，所以，填。

16.若直角坐标平面内的两点、同时满足下列条件：

①、都在函数的图象上；②、关于原点对称.

则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对）.已知函数则此函数的“友好点对”有_____对。参考答案：1略17.已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E为PA的中点．（1）证明：DE∥平面PBC；（2）证明：DE⊥平面PAB．参考答案：（1）设PB的中点为F，连结EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，且EF＝DC＝．故四边形CDEF为平行四边形，可得ED∥CF．又ED平面PBC，CF平面PBC，故DE∥平面PBC．（2）因为PD⊥底面ABCD，AB平面ABCD，所以AB⊥PD．又因为AB⊥AD，PDAD＝D，AD平面PAD，PD平面PAD，所以AB⊥平面PAD．ED平面PAD，故ED⊥AB．又PD＝AD，E为PA的中点，故ED⊥PA；PAAB＝A，PA平面PAB，AB平面PAB，所以ED⊥平面PAB．19.已知函数f（x）=+alnx（a不是0）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）通过a=1，求出函数的导数，利用导数为0求出极值点，判断导函数的符号即可求解函数单调区间；（Ⅱ）求出函数的导数，求解极值点，转化在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，为求解函数的最值问题，利用a的取值范围的讨论，求解函数的最值，即可求得实数a的取值范围．解答： 解：（I）因为，…当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．…f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；

…（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（1）当，即a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，故f（x）在区间（0，e]上的最小值为，由，得，即…（2）当，即a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈（0，e]成立，所以f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以，f（x）在区间（0，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0不成立

…②若，即时，则有xf'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间（0，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）．综上，由（1）（2）可知：符合题意．…点评：本题考查函数的导数的应用，考查分类讨论思想的应用，同时考查转化思想的应用．20.（2017?河北二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2，证明BD⊥AD，然后证明AD⊥平面BFED．（Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴故AB=2，∴BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cos60°=3，∴AB2=AD2+BD2∴BD⊥AD，∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，∴AD⊥平面BFED．…（Ⅱ）∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，λ，），=（﹣1，，0），=．取平面EAD的一个法向量为=（0，1，0），设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由=0，?=0得：，取y=1，可得=（）．∵二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．∴cos＜===，解得λ=，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置．…（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k1+k2=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，求出直线AB的方程，即可得到结论．解：（1）由已知可得b=2，，…∴所求椭圆方程为．

…（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则

…由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得

…（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

…则，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．

…∴k﹣=4，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（，﹣2）．