2022年福建省宁德市福宁中学高三数学文期末试卷含解析

2022年福建省宁德市福宁中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=则f（）的值为(

)A．18 B．﹣ C． D．参考答案：D【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，f（2）=22+2﹣2=4，则f（）=f（）=1﹣=．故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．2.设全集，集合，则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】集合的补集A1A解析：因为，，所以,故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.3.有下列数组排成一排：

如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：则此数列中的第项是A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是

A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知，则的值等于（）A． B． C． D．参考答案：C【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴﹣sin（﹣α）=﹣cos[﹣（﹣α）]=﹣cos（+α）=，∴cos（+α）=﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.已知所在平面内有两点，满足，若，,则的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D因为，所以为中点，又因为即，所以，所以为线段的靠近的三等分点．所以，所以，所以，或．故.7.已知，，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.下列说法正确的是（

）A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形.参考答案：C9.“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：C【考点】双曲线的简单性质；充要条件．【分析】先证明充分性，把方程化为+=1，由“mn＜0”，可得、异号，可得方程表示双曲线，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；再证必要性，先把方程化为+=1，由双曲线方程的形式可得、异号，进而可得mn＜0，由此可得“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案．【解答】解：若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．10.已知椭圆+=1（m＞0）与双曲线=1（n＞0）有相同的焦点，则m+n的最大值是（）A．3 B．6 C．18 D．36参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】根据题意，由椭圆双曲线的几何性质，可得25﹣m2=7+n2，变形可得：m2+n2=18，进而由基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆+=1（m＞0）与双曲线=1（n＞0）有相同的焦点，则有25﹣m2=7+n2，变形可得：m2+n2=18，又由≥（）2，则有（）2≤9，即m+n≤6，则m+n的最大值是6；故选：B．【点评】本题考查椭圆、双曲线的几何性质，涉及基本不等式的性质，关键是得到m2与n2的关系．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为

．

参考答案：略12.已知为上的可导函数，当时，，则关于的函数的零点个数为___________.参考答案：0个略13.已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则的值是_________．参考答案：114.三角形ABC中，若,则ABC的形状为

参考答案：等腰三角形略15.若点P（2，0）到双曲线﹣y2=1(a＞0)的一条渐近线的距离为1，则a=．参考答案：【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+ay=0，点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：=1，解得a=．故答案为：．16.下表给出一个“直角三角形数阵”参考答案：17.某学习小组由学生和KS5U&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数学&科网．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．参考答案：6,12设男生数，女生数，教师数为，则第一小问：第二小问：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f（x）=x2ln|x|．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性．专题： 导数的综合应用．分析： （1）先看当x＞0时，根据导函数f'（x）大于0或小于0时的f（x）的单调区间，再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间．（2）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}当x＞0时，f′（x）=x（2lnx+1）若0＜x＜，则f'（x）＜0，f（x）递减；若x＞，则f'（x）＞0，f（x）递增．递增区间是（﹣，0）和（，+∞）；递减区间是（﹣∞，﹣）和（0，）．（2）要使方程f（x）=kx﹣1有实数解，即要使函数y=f（x）的图象与直线y=kx﹣1有交点．函数f（x）的图象如图．先求当直线y=kx﹣1与f（x）的图象相切时k的值．当k＞0时，f'（x）=x?（2lnx+1）设切点为P（a，f（a）），则切线方程为y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a），将x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a）即a2lna+a2﹣1=0（*）显然，a=1满足（*）而当0＜a＜1时，a2lna+a2﹣1＜0，当a＞1时，a2lna+a2﹣1＞0∴（*）有唯一解a=1此时k=f'（1）=1再由对称性，k=﹣1时，y=kx﹣1也与f（x）的图象相切，∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．点评： 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质．19.（12分）已知函数.若图象上的点处的切线斜率为，求的极值.参考答案：极大值、极小值分别为.20.在中，内角，，的对边分别是，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）6．试题分析：（Ⅰ）首先利用正弦定理将已知等式中的角化为边，由此得到间的关系，然后由余弦定理求得，从而求角的大小；（Ⅱ）首先利用余弦定理得到间的关系，然后利用基本不等式即可求得最大值．试题解析：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，∴，即，又∵，∴，∵，∴．（Ⅱ）在中由余弦定理知：，∴，∵ ，∴，即，当且仅当，即，时取等号，所以的最大值为6．考点：1、正弦定理与余弦定理；2、基本不等式．21.已知函数f（x）=（x﹣2）ex和g（x）=kx3﹣x﹣2（1）若函数g（x）在区间（1，2）不单调，求k的取值范围；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求k的最大值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的性质；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求出g'（x）=3kx2﹣1，通过①当k≤0时，②当k＞0时，函数g（x）在区间（1，2）不单调，判断导数的符号，得到函数有极值，即可求k的取值范围；（2）构造h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2，转化h（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立，通过h'（0）=0，对时，时，判断函数的单调性，以及函数的最值，是否满足题意，求出k的最大值．【解答】解：（1）g'（x）=3kx2﹣1…①当k≤0时，g'（x）=3kx2﹣1≤0，所以g（x）在（1，2）单调递减，不满足题意；…②当k＞0时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，因为函数g（x）在区间（1，2）不单调，所以，解得…综上k的取值范围是．…（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2依题可知h（x）=（x﹣2）ex﹣kx3+x+2≥0在[0，+∞）上恒成立

…h'（x）=（x﹣1）ex﹣3kx2+1，令φ（x）=h'（x）=（x﹣1）ex﹣3kx2+1，有φ（0）=h'（0）=0且φ'（x）=x（ex﹣6k）…①当6k≤1，即时，因为x≥0，ex≥1，所以φ'（x）=x（ex﹣6k）≥0所以函数φ（x）即h'（x）在[0，+∞）上单调递增，又由φ（0）=h'（0）=0故当x∈[0，+∞）时，h'（x）≥h'（0）=0，所以h（x）在[0，+∞）上单调递增又因为h（0）=0，所以h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，满足题意；…②当6k＞1，即时，当x∈（0，ln（6k）），φ'（x）=x（ex﹣6k）＜0，函数φ（x）即h'（x）单调递减，又由φ（0）=h'（0）=0，所以当x∈（0，ln（6k）），h'（x）＜h'（0）=0所以h（x）在（0，ln（6k））上单调递减，又因为h（0）=0，所以x∈（0，ln（6k））时h（x）＜0，这与题意h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立相矛盾，故舍．…综上，即k的最大值是．…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，构造法以及转化思想的应用，同时考查分类讨论思想的应用，难度比较大，考查分析问题解决问题的能力．22.（本小题满分12分）

定义在上的函数，如果满足：常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界。（1）试判断函数在上是否是有界函数？（2）若某点的运动方程为，要使得上的每一时刻瞬时速度是以为上界的有界函数，求实数的值。参考答案：（1）令，所以当时，；当时，

∴在[，3]上的最小值为f（1）=4---------