2021年陕西省咸阳市南坊中学高三数学理期末试卷含解析

2021年陕西省咸阳市南坊中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足，则z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．3 D．4参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到z的最大值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在z=3x﹣y，解得z=3，故选：C．2.抛物线y2=4x的焦点为F，经过F的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，与准线l交于点B，且AK⊥l于K，如果|AF|=|BF|，那么△AKF的面积是（）A．4 B．3 C．4 D．8参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义和条件可得△AKF为正三角形，F到l的距离为d=2，结合中位线定理，可得|AK|=4，根据正三角形的面积公式可得到答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，由抛物线的定义可得|AF|=|AK|，由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，可得|FK|=|AF|，即有△AKF为正三角形，由F到l的距离为d=2，则|AK|=4，△AKF的面积是×16=4．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．3.如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C

【知识点】程序框图．L1解析：∵S=并由流程图中S=S+，故循环的初值为1，终值为10、步长为1，故经过10次循环才能算出S=的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴应i＞10，应满足条件，退出循环，填入“i＞10”．故选C.【思路点拨】由本程序的功能是计算的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i＞10应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．4.已知函数是奇函数，是偶函数，且=(

)A．-2

B．0

C．2

D．3参考答案：A5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．B．C．D．参考答案：C6.设=（2，3），在方向上的投影为3，在x轴上的投影为1，则=（）A．（1，）B．（﹣1，）C．（1，）D．（﹣1，﹣）参考答案：A考点：平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由在x轴上的投影为1设出的坐标为（1，y），再由另外一个条件列出方程，求出y的值即可．解答：解：由在x轴上的投影为1，则设=（1，y），∵在方向上的投影为3，∴，解得y=，则=（1，），故选A．点评：本题主要考查向量投影的定义及其应用，考查灵活，巧妙既有知识的运用，也有少量的运算，是一道好题．7.已知函数的定义域为R，x∈[0，1]时，，对任意的x都有成立，则函数均零点的个数为

A．

6

B．

7

C．

8

D．

9参考答案：D8.已知函数，则A．

B．

C．

D．

参考答案：D略9.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．【解答】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故选：A10.给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i＞10B．i＜10C．i＞20D．i＜20参考答案：A考点：循环结构．专题：压轴题；图表型．分析：结合框图得到i表示的实际意义，要求出所需要的和，只要循环10次即可，得到输出结果时“i”的值，得到判断框中的条件．解答：解：根据框图，i﹣1表示加的项数当加到时，总共经过了10次运算，则不能超过10次，i﹣1=10执行“是”所以判断框中的条件是“i＞10”故选A点评：本题考查求程序框图中循环结构中的判断框中的条件：关键是判断出有关字母的实际意义，要达到目的，需要对字母有什么限制．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知球的半径为，圆，，为球的三个小圆，其半径分别为，，.若三个小圆所在的平面两两垂直且公共点为，则___________.参考答案：略12.直线所得的弦长是__________.参考答案：213.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为___________．参考答案：14.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由A'B∥D'C，得CP与A'B成角可化为CP与D'C成角，由此能求出异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围．【解答】解：∵A'B∥D'C，∴CP与A'B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD'C是正三角形可知当P与A重合时成角为，∵P不能与D'重合因为此时D'C与A'B平行而不是异面直线，∴．故答案为：．15.已知点F为双曲线与抛物线的公共焦点，M是C1与C2的一个交点，MF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为＿＿＿参考答案：16.（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则

．参考答案：17.在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则角B等于

．参考答案：【知识点】向量的线性运算解三角形F1

C8.解析：由已知可得：，整理得，即，又因为在上，所以，即三角形为等腰三角形，所以，故答案为.【思路点拨】由已知变形可得，可得，即，三角形为等腰三角形，可求得.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数（1）求的最小正周期及其单调减区间；（2）当时，求的值域参考答案：

……………3分(1)函数的最小正周期．……4分

的单调减区间即是函数+1的单调增区间…5分由正弦函数的性质知，当，即时，函数+1为单调增函数，所以函数的单调减区间为，．

…………..7分(2)因为，所以，…8分所以…10分所以，…

11分

所以的值域为[-1，1]．..12分19.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为.（1）写出曲线C与直线l的直角坐标方程；（2）设Q为曲线C上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．参考答案：（1）

………………4分（2）设，则点：，

……………8分当且仅当

………10分（另解：设与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相切求出，则点到直线的距离的最小值为两平行直线间的距离．）20.如果函数y=f（x）的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数f（x）具有“P（a）性质”．（1）判断函数y=cosx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；（2）已知函数y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时，f（x）=（x+m）2，求函数y=f（x）在区间[0，1]上的值域；（3）已知函数y=g（x）既具有“P（0）性质”，又具有“P（2）性质”，且当﹣1≤x≤1时，g（x）=|x|，若函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个公共点，求实数p的值．参考答案：【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】（1）根据题意可知cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx，故而a=2kπ，k∈Z；（2）由新定义可推出f（x）为偶函数，从而求出f（x）在[0，1]上的解析式，讨论m与[0，1]的关系判断f（x）的单调性得出f（x）的最值；（3）根据新定义可知g（x）为周期为2的偶函数，作出g（x）的函数图象，根据函数图象得出p的值．【解答】解：（1）假设y=cosx具有“P（a）性质”，则cos（x+a）=cos（﹣x）=cosx恒成立，∵cos（x+2kπ）=cosx，∴函数y=cosx具有“P（a）性质”，且所有a的值的集合为{a|a=2kπ，k∈Z}．

（2）因为函数y=f（x）具有“P（0）性质”，所以f（x）=f（﹣x）恒成立，∴y=f（x）是偶函数．

设0≤x≤1，则﹣x≤0，∴f（x）=f（﹣x）=（﹣x+m）2=（x﹣m）2．①当m≤0时，函数y=f（x）在[0，1]上递增，值域为[m2，（1﹣m）2]．②当时，函数y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，ymin=f（m）=0，，值域为[0，（1﹣m）2]．

③当时，ymin=f（m）=0，，值域为[0，m2]．④m＞1时，函数y=f（x）在[0，1]上递减，值域为[（1﹣m）2，m2]．

（3）∵y=g（x）既具有“P（0）性质”，即g（x）=g（﹣x），∴函数y=g（x）偶函数，又y=g（x）既具有“P（2）性质”，即g（x+2）=g（﹣x）=g（x），∴函数y=g（x）是以2为周期的函数．

作出函数y=g（x）的图象如图所示：由图象可知，当p=0时，函数y=g（x）与直线y=px交于点（2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．

当p＞0时，在区间[0，2016]上，函数y=g（x）有1008个周期，要使函数y=g（x）的图象与直线y=px有2017个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为，所以．同理，当p＜0时，．综上，．21.已知A为焦距为的椭圆E：（a＞b＞0）的右顶点，点P（0，），直线PA交椭圆E于点B，．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点P且斜率为k的直线l与椭圆E交于M、N两点（M在P、N之间），若四边形MNAB的面积是△PMB面积的5倍．求直线l的斜率k．参考答案：（1）+=1；（2）k=±【分析】（1）先根据条件得B点坐标，代入椭圆方程，再与焦距联立方程组解得（2）根据面积关系得，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理建立等量关系解得斜率.【详解】（1）由题意，得焦距2c=2，∴2c=2，c=，∵，所以点B为线段AP的中点，因为点P（0，2），A（a，0），∴B（，），因为点B（，）在椭圆E上，∴+=1，即b2=4，2=b2+c2=9，∴椭圆E的方程为+=1．（2）由题可得S△PAN=6S△PBM，即|PA|?|PN|?sin∠APN=6×|PB|?|PM|?sin∠BPM，∴|PN|=3||，∴，设M（x1，y1），N（x2，y2），于是=（x1，y1-2），=（x2，y2-2），∴3（x1，y1-2）=（x2，y2-2），∴x2=3x1，即=3，于是+=，即=，①，联立，消去y，整理得（9k2+4）x2+36kx+72=0，由△=（36k）2-4×（9k2+4）×72＞0，解得k2＞，∴x1+x2=-，