2021年江苏省镇江市扬中体育中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年江苏省镇江市扬中体育中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1）处的切线斜率为1，则的最小值是（）A．10 B．9 C．18 D．10参考答案：C【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，可得f′（1）=2a+b=1，再用“1”的代换，展开后利用基本不等式，即可求最小值．【解答】解：由f（x）=ax2+bx，得f′（x）=2ax+b，又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为1，所以f′（1）=2a+b=1，即．则=?（2a+b）=10++≥10+2=18．当且仅当时，“=”成立．所以的最小值是18．故选：C．2.设全集，且，则满足条件的集合的个数是（

）A．3 B．4 C．7 D．8参考答案：D3.已知是抛物线的焦点，是上一点，是坐标原点，的延长线交轴于点.若，则点的纵坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知a是实数，是纯虚数，则a＝(

)参考答案：A略5.设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（A）

（B）1

（C）

（D）2参考答案：D焦点F(1,0)，又因为曲线与C交于点P，PF⊥x轴，所以，所以k=2，选D.6.已知锐角A，B满足,则的最大值为A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知函数，则的根的个数有A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：C略8.已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.若函数在[－1,1]上有零点，则的最小值为

▲

．参考答案：设函数的零点为，则由得到，所以，，当时，有最小值，故填．

10.已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：①若； ②若；③若； ④若.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣3，ak+1=，Sk=﹣12，则正整数k=．参考答案：13【考点】等差数列的性质．【分析】由已知条件，利用等差数列的前n项和公式得到Sk+1=（﹣3+）=﹣12+，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣3，ak+1=，Sk=﹣12，∴Sk+1=（﹣3+）=﹣12+，解得k=13．故答案为：13．12.如右上图，如果执行它的程序框图，输入正整数，那么输出的等于

．参考答案：168013.函数是R上的减函数，则的取值范围是____。参考答案：14.函数的最大值是

。参考答案：试题分析：因为且所以当时，有最大值。考点：三角函数的性质.15.定积分的值为．参考答案：e+1【考点】定积分．【分析】找出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可．【解答】解：原式==e+1；故答案为：e+1．16.已知数列满足：，且，则的值为（▲）A．7

B．8

C．9

D．10参考答案：C17.已知，则

．参考答案：180解析：，，，故答案为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）判断函数F（x）=2f（x）﹣g（x）+2零点个数．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）F（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，求导，确定F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意，两函数在x=0处有相同的切线．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f'（x）=2ex（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①当﹣3＜t＜﹣2时，f（x）在[t，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当t≥﹣2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由题意F（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x求导得F'（x）=4ex（x+1）+4ex﹣2x﹣4=2（x+2）（2ex﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由F'（x）＞0得x＞﹣ln2或x＜﹣2，由F'（x）＜0得﹣2＜x＜﹣ln2∴F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣ln2）上单调递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵F（﹣4）=4e﹣4×（﹣4+1）﹣16+16=﹣12e﹣4＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故函数F（x）=2f（x）﹣g（x）+2只有一个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；ks5u（2）若，设，求数列的前n项和.参考答案：解（1）由题意知

………………1分当时，

当时，两式相减得………………3分

整理得：

………4分∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.……………5分（2）

∴，……6分

ks5u

①

②①-②得

………………9分

ks5u

.………………11分

……ks5u………12分略20.

在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为直角梯形，且平面平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若二面角为直二面角，（i）求直线与平面所成角的大小；（ii）棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：见解析【考点】立体几何综合证明：（Ⅰ）连结，设，

因为四边形为正方形，

所以为中点．

设为的中点，连结，

则，且．

由已知，且，

所以．

所以四边形为平行四边形．

所以，即．

因为平面，平面，

所以//平面．

（Ⅱ）由已知，，

所以．

因为二面角为直二面角，

所以平面平面．

所以平面，

所以．

四边形为正方形，所以．

所以两两垂直．

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，

所以，

所以．

（i）设平面的一个法向量为，

由得即

取，得．

设直线与平面所成角为，

则，

因为，所以．

即直线与平面所成角的大小为．

（ii）假设棱上存在点，使得平面．

设，则．

设，则，

因为，所以．

所以，所以点坐标为．

因为，所以．

又，所以

解得．

因为，所以上存在点，使得平面，且．

（另解）假设棱上存在点，使得平面．

设，则．

设，则，

因为，所以．

所以，所以点坐标为．

因为，所以．

设平面的一个法向量为，

则由，

得

取，得．

由，即，

可得解得．

因为，所以上存在点，使得平面，且．21.坐标系与参数方程

已知在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(l)写出直线的直角坐标方程和圆C的普通方程：(2)求圆C截直线所得的弦长参考答案：略22.（12分）已知函数的定义域为I，导数满足0＜＜2

且≠1，常数c1为方程的实数根，常数c2为方程的实数根．（I）求证：当时，总有成立；（II）若对任意，存在，使等式

成立．试问：方程有几个实数根，并说明理由；（Ⅲ）（理科生答文科生不答）对任意，若满足，求证：．

参考答案：解析:答：（I）令，∴函数为减函数．又，∴当时，，即成立．．．．．．．．．4分（II）假设方程有异于的实根m，即．则有成立．因为，所以必有，但这与≠1矛盾，因此方程不存在异于c1的实数根．∴方程只有一个实数根．．．．．．．