2021年浙江省宁波市潘天寿中学高三数学理联考试卷含解析

2021年浙江省宁波市潘天寿中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C∵x∈[0，1]上．∴．在[0，1]上恰有两个最大值点，∴，解得故答案为:C

2.函数的值域为D，若，则实数a的取值范围为（

）A．(－∞,1]

B．(－∞,2]

C.

(0,2]

D．[2,+∞)参考答案：B3.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D4.为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．i=i+1

B．i=i+2

C．i=i+3

D．i=i+4

参考答案：B由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

5.已知集合，集合，则（

）（A）{1}

（B）{0,1}

（C）(0,1]

（D）(－∞,1]参考答案：A6.函数f（x）=lnx+x﹣，则函数的零点所在的区间是（） A．（，） B． （，） C． （，1） D． （1，2）参考答案：C略7.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是6:1C.第三季度平均收入为50万元D.利润最高的月份是2月份参考答案：D由图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故正确；由图可知，支出最高值是60，支出最低值是10，则支出最高值与支出最低值的比是，故正确；由图可知，第三季度平均收入为，故正确；由图可知，利润最高的月份是3月份和10月份，故错误.故选D.

8.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（

）

A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C

本题是在集合、直线与圆的位置关系的交汇处命题，考查了直线与圆的位置关系以及对集合表示法的理解，难度较小。.

因为集合A中的点在圆上，集合B中的点在直线上，且圆心（0,0）到直线的距离，所以直线与圆相交，所以中有2个元素.9.设变量满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D10.设x，y满足约束条件则z＝4x+y的最小值为A．-3

B．-5

C．-14

D．-16参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.己知是虚数单位,若，则__________.参考答案：2+i12.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是

.参考答案：略13.已知，且，则

▲

．参考答案：略14.平面向量与的夹角为，，则__________．参考答案：

15.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为____________。参考答案：3616.已知函数f(x)＝x，g(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，g(x)＝lnx，则函数y＝f(x)·g(x)的图象大致为________．参考答案：①

17.(几何证明选做题)如图，已知的直径，为上一点，且，过点的的切线交延长线于点，则________;参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离（I）求椭圆C的方程；（II）过点坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求出定值．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离，列出方程组，能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）当k存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，由此利用韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式求出O到直线AB的距离为定值．当k不存在时，同理得O到直线AB的距离为．由此能证明点O到直线AB的距离为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，直线l过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到直线l的距离，∴直线l的方程为=1，右焦点F（c，0），且c2=a2﹣b2，∴，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），①当k存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆联立，消去y，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）﹣12=0，，，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=x1x2+k（x1+m）（kx2+m）=（k2+1）=0，∴（k2+1）?﹣+m2=0，整理，得7m2=12（k2+1），符合△＞0，∴O到直线AB的距离d===，∴O到直线AB的距离为定值．②当k不存在时，同理得O到直线AB的距离为．综上，点O到直线AB的距离为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查点到直线的距离为定值的证明，考查椭圆、韦达定理、直线垂直、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知椭圆C的两个焦点分别为，长轴长为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点(0,1)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若点M满足，求证：由点M构成的曲线L关于直线对称．参考答案：（Ⅰ），离心率；（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）由已知，得a，c＝1，所以，由，所以b，即可求出椭圆方程及离心率；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），，分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2﹣2y＝0，即可证明。【详解】（Ⅰ）由已知，得，所以，又，所以所以椭圆的标准方程为，离心率.（Ⅱ）设，，

，①直线与轴垂直时，点的坐标分别为，．因为，，，所以．所以，即点与原点重合;②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由得，．所以.则，因为，，，所以．所以，．，，消去得．综上，点构成的曲线的方程为对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．把的坐标代入曲线的方程的左端：．所以点也在曲线上．所以由点构成曲线关于直线对称.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题．20.已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣1|的最小值为m，且f（a）=m．（Ⅰ）求m的值以及实数a的取值集合；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2=m，证明：q（p+r）≤2．参考答案：【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）|x+3|+|x﹣1|≥（x+3）﹣（x﹣1）=4，即可求m的值以及实数a的取值集合；（Ⅱ）由（Ⅰ）知p2+2q2+r2=4，再由基本不等式即可得证．【解答】（Ⅰ）解：因为|x+3|+|x﹣1|≥（x+3）﹣（x﹣1）=4当且仅当﹣3≤x≤1时，等号成立，所以f（x）的最小值等于4，即m=4，f（a）=m，则实数a的取值集合为{a|﹣3≤a≤1}；（Ⅱ）证明：p2+2q2+r2=4≥2pq+2qr，∴pq+qr≤2，即q（p+r）≤2，当且仅当p=q=r时取等号．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，属于中档题．21.已知函数f（x）=ax2﹣ex（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求实数a的最大值．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由题意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入点斜式进行化简，化为一般式方程；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f′（x），再将题意转化为x1，x2是方程g（x）=0的两个实根，再求出g′（x），对a进行分类分别求出g（x）的单调区间以及最大值，再令最大值大于零，列出关于a的不等式求解；（Ⅲ）由题意先构造函数h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，转化为h（x）≥0在[0，+∞）恒成立问题，再求出h（x）的单调性和最小值，关键是对a进行分类后，得到“当a=0时，ex≥1+x”这一结论在后面的应用．解答：心理年龄解：（Ⅰ）由题意得，当a=1时，f（x）=x2﹣ex，∴f′（x）=2x﹣ex，则切线的斜率为f′（0）=﹣1，∵f（0）=﹣e0=﹣1，∴所求的切线方程为：x+y+1=0；（Ⅱ）设g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，由题意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的两个实根，则g′（x）=2a﹣ex，当a≤0时，g′（x）＜0，g（x）在定义域上递减，即方程g（x）=0不可能有两个实根，当a＞0时，由g′（x）=0，得x=ln2a，当x∈（﹣∞，ln2a）时，g′（x）＞0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递增，当x∈（ln2a，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（﹣∞，ln2a）上递减，∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有两个实根，∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，（Ⅲ）设h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，则由题意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，则h′（x）=ex﹣2ax﹣1，当a=0时，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，当且仅当x=0时，等号成立，∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），当1﹣2a≥0时，即a≤，此时h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，因而a≤时，h（x）≥0，下面证明a＞时的情况：由ex≥1+x得，e﹣x≥1﹣x，即x≥1﹣e﹣x，∴h′（x）=ex﹣1﹣2ax≤ex﹣1﹣2a（1﹣e﹣x）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a）当ex＜2a时，即0＜x＜ln2a，则当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，从而h（x）＜0，因此，对于x≥0，f（x）≤﹣x﹣1不恒成立，综上所得，a的最大值为．点评：本题考查了导数的几何意义，方程的根与函数零点的关系，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想