线性代数行列式经典例题_第1页
线性代数行列式经典例题_第2页
线性代数行列式经典例题_第3页
线性代数行列式经典例题_第4页
线性代数行列式经典例题_第5页
已阅读5页,还剩8页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

WordWord文档WordWord文档线性代数行列式经典例题例1计算元素为aj=|i-j|的n阶行列式.解法1由题设知,a11=0a=1121nr=-1i=n,n一1,1一1n一1-1,2c+c

jnn一2=(一1)n-12n-2(n一1)j=1, ,n-1一j=1, ,n-10其中第一步用的是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n歹IJ.法2c.+cj法2c.+cj10一2r=+1i=1,2,,n-1=(-1)n-12n-2(n-1)1一1例2.设a,b,c是互异的实数,证明:的充要条件是a+b+c=0.证明:考察德蒙行列式:

第2列的x倍,第3列的x2倍,K,第n列的xn-1倍分别加到第1列上0 -1 0 0x2 x-1 0DC132n0 0x 0a+xaaa x+an-1n-21法2n n-1行列式所以-g— 一口仍一口)(也+丛+A即为y2前的系数.于是-翅口-c)(b-c)(a+上14-c)的充要条件是a+b+c=0.例行列式所以-g— 一口仍一口)(也+丛+A即为y2前的系数.于是-翅口-c)(b-c)(a+上14-c)的充要条件是a+b+c=0.例3计算D0-1解:xDn-1由于D1=x+ax+a=

n-1nan-1an-2递推法按第1列展开,有+(T)n+1an=xDn-1+ann-1,于是D=xDn-1+an=x(xD.-2xn-1D1+a2xn-2+K+ax

n-1a=xn+axn-1+

n1+ax+an-1 n0 0 0 xx0 0 0 xxn—1Word文档xn+axn—1+

1法3法4c,+x2c.+a0—10000x—100x30x—10+xa +x2an—1x—1x+an—1 nn-2an-1an-2an-3x+a1按r展开

n(-1)n+1fx-1n-1利用性质,将行列式化为上三角行列式.x0001c2+cl2x10x001c3+xc200x01c+cnxn—1n-1an-2a-n—1+xx2按展开

nxn—1k=

nxn—1(a n—xn-1a——n—1xn-2+K+4+ax+x)=an按r展开

n+an—1x+(-1)n+1a+axn—1+xn1(-1)n+2an-1+(—1)2n—1a2+(—1)2n(a+x)

1=(-1)n+1(-1)n—1a(-1)n+2(-1)n—2WordWord文档WordWord文档+K+(—1)2n-1(—1)a2xn-2+(—1)2n(a1+x)xn-1=a+ax+ +axn-1+xnnn-1 1例4,计算n阶行列式:a+ba+ba1 12aa+bD=122naa12anana+bnn(bb12解采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素a,a,,a,可在保持12n原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化原行列式值不变的情况下,简后出现大量的零元素.c+1cj1a a a1aa1 2 n1 20a+c+1cj1a a a1aa1 2 n1 20a+ba a-1b01 1 2 nr2一r110aa+b a工r1-10b1 2 2 n2rn+1-r10a a a+b-100升阶n12nnaa1+T+

b1j=2,,n+1a+—ab11b10a20b2an00bnTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"0 00bnanaanan=xn-1(x+Za)

ii=1a+xa1 2aa+xD= 1 2naa1 2可作为公式记下来.例5,计算n阶“三对角”行列式a+。印01a+a+。印01a+PapD=0 1 a+Pn0000000001a+P解法1递推法.ap按摩开,D= (a+p)Dnapn-1(n-1)按"开(a+解法1递推法.ap按摩开,D= (a+p)Dnapn-1(n-1)按"开(a+p)d-apdn-1 n-2即有递推关系式D=(a+p)Dnn-1(n23)递推得到-aDn-1D-aDn-1p(D-aDn-1 n-2p(D-aD)n-1n-2p2(D -aD)n-2n-3=pn-2(D-aD)而D]=(a+p),ap

a+p二a2+ap+p2而D]=(a+p),ap

a+pn-1TOC\o"1-5"\h\zD=aD +pn (2.1)\o"CurrentDocument"n n-1由递推公式得D=aD +pn=a(aD+pn-1)+pn\o"CurrentDocument"n n-1 n-2=a2D +apn-1+pn—n-2pn+1-an+1二an+an-1p+K+apn-1+pn=i-p—a-(n+1)an+1aap0aap0001a+pap00D=0n1a+p000001a+p法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式pap0001a+pap000+1a+p00000a+pap0001ap上式右端第一个行列式等于aDn-1,而第二个行列式WordWord文档1+a1+a1 1 1+aWord文档pap001a+pappap001a+pap001a+p0000a+p0001000aP

aPp00001p00001p000001pc一aci_i-1i=2,,n=Bn于是得递推公式D=aDn-1已与(2.1)式相同.法3在法1中得递推公式Dn=(a+p)Dn-1-apDn-2ap

a+p又因为当a+ap

a+p=(a+p)2-ap=a2+ap+p2=吐a-pap0=(a+=(a+B)3-2印(a+B)1a+p一a4—p4(a+p)(a2+p2)=」an+1-pn+1于是猜想Dn二,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当n工k时成立.当n=k+1是,由递推公式得Dk+1=(a+p)D「apDk-1ak+1-pk+1 ak-pkak+2—pk+2=(a+p)a-p-apa-p=a-p所以对于nwN+,等式都成立例6,计算n阶行列式:

其中aaa牛012n解这道题有多种解法.法1化为上三角行列式1+ac1c1+riri-r11i=2,,nj=2,,n其中b=1+a+a

1Z1——1ai=2i法2升阶升阶D=n-a1=a1(或加边)1+a111+a2ai=1(1+i于是1+a=aa12ri-r1i=2,3,,n+11+.ai=1ni1+£-1c+c1-1c+c1ajj+1i=1j=1,2,,n-1=aa12i=1法3递推法.将D改写为

nTOC\o"1-5"\h\z1+a1 1+011 1+a1+0D= 2n1 1 1+an由于1+a1

1按拆开1 1+a= 21 11+a11+11+a21+a111 1+a21 1r—r

ini=1,,n—100anan—1WordWord文档1+a1i1 1+a21

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论