线性代数行列式经典例题

WordWord文档WordWord文档线性代数行列式经典例题例1计算元素为aj=|i-j|的n阶行列式.解法1由题设知，a11=0a=1121nr=-1i=n,n一1,1一1n一1-1,2c+c

jnn一2=(一1)n-12n-2(n一1)j=1, ,n-1一j=1, ,n-10其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行.第二步用的每列加第n歹IJ.法2c.+cj法2c.+cj10一2r=+1i=1,2,,n-1=(-1)n-12n-2(n-1)1一1例2.设a,b,c是互异的实数，证明:的充要条件是a+b+c=0.证明:考察德蒙行列式:

第2列的x倍，第3列的x2倍，K，第n列的xn-1倍分别加到第1列上0 -1 0 0x2 x-1 0DC132n0 0x 0a+xaaa x+an-1n-21法2n n-1行列式所以-g— 一口仍一口）（也+丛+A即为y2前的系数.于是-翅口-c)(b-c)(a+上14-c)的充要条件是a+b+c=0.例行列式所以-g— 一口仍一口）（也+丛+A即为y2前的系数.于是-翅口-c)(b-c)(a+上14-c)的充要条件是a+b+c=0.例3计算D0-1解：xDn-1由于D1=x+ax+a=

n-1nan-1an-2递推法按第1列展开，有+(T)n+1an=xDn-1+ann-1，于是D=xDn-1+an=x(xD.-2xn-1D1+a2xn-2+K+ax

n-1a=xn+axn-1+

n1+ax+an-1 n0 0 0 xx0 0 0 xxn—1Word文档xn+axn—1+

1法3法4c,+x2c.+a0—10000x—100x30x—10+xa +x2an—1x—1x+an—1 nn-2an-1an-2an-3x+a1按r展开

n(-1)n+1fx-1n-1利用性质，将行列式化为上三角行列式．x0001c2+cl2x10x001c3+xc200x01c+cnxn—1n-1an-2a-n—1+xx2按展开

nxn—1k=

nxn—1(a n—xn-1a——n—1xn-2+K+4+ax+x)=an按r展开

n+an—1x+(-1)n+1a+axn—1+xn1(-1)n+2an-1+(—1)2n—1a2+(—1)2n(a+x)

1=（－1）n+1（－1）n—1a（－1）n+2（－1）n—2WordWord文档WordWord文档+K+(—1)2n-1(—1)a2xn-2+(—1)2n(a1+x)xn-1=a+ax+ +axn-1+xnnn-1 1例4,计算n阶行列式：a+ba+ba1 12aa+bD=122naa12anana+bnn(bb12解采用升阶（或加边）法.该行列式的各行含有共同的元素a,a,,a，可在保持12n原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化原行列式值不变的情况下，简后出现大量的零元素．c+1cj1a a a1aa1 2 n1 20a+c+1cj1a a a1aa1 2 n1 20a+ba a-1b01 1 2 nr2一r110aa+b a工r1-10b1 2 2 n2rn+1-r10a a a+b-100升阶n12nnaa1+T+

b1j=2,,n+1a+—ab11b10a20b2an00bnTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"0 00bnanaanan=xn-1(x+Za)

ii=1a+xa1 2aa+xD= 1 2naa1 2可作为公式记下来．例5,计算n阶“三对角”行列式a+。印01a+a+。印01a+PapD=0 1 a+Pn0000000001a+P解法1递推法.ap按摩开,D= (a+p)Dnapn-1(n-1)按"开(a+解法1递推法.ap按摩开,D= (a+p)Dnapn-1(n-1)按"开(a+p)d-apdn-1 n-2即有递推关系式D=(a+p)Dnn-1(n23)递推得到-aDn-1D-aDn-1p(D-aDn-1 n-2p(D-aD)n-1n-2p2(D -aD)n-2n-3=pn-2(D-aD)而D]=(a+p),ap

a+p二a2+ap+p2而D]=(a+p),ap

a+pn-1TOC\o"1-5"\h\zD=aD +pn (2.1)\o"CurrentDocument"n n-1由递推公式得D=aD +pn=a(aD+pn-1)+pn\o"CurrentDocument"n n-1 n-2=a2D +apn-1+pn—n-2pn+1-an+1二an+an-1p+K+apn-1+pn=i-p—a-(n+1)an+1aap0aap0001a+pap00D=0n1a+p000001a+p法2把Dn按第1列拆成2个n阶行列式pap0001a+pap000+1a+p00000a+pap0001ap上式右端第一个行列式等于aDn-1，而第二个行列式WordWord文档1+a1+a1 1 1+aWord文档pap001a+pappap001a+pap001a+p0000a+p0001000aP

aPp00001p00001p000001pc一aci_i-1i=2,,n=Bn于是得递推公式D=aDn-1已与（2.1）式相同.法3在法1中得递推公式Dn=(a+p)Dn-1-apDn-2ap

a+p又因为当a+ap

a+p=(a+p)2-ap=a2+ap+p2=吐a-pap0=(a+=(a+B)3-2印(a+B)1a+p一a4—p4(a+p)(a2+p2)=」an+1-pn+1于是猜想Dn二，下面用数学归纳法证明.当n=1时，等式成立，假设当n工k时成立.当n=k+1是，由递推公式得Dk+1=(a+p)D「apDk-1ak+1-pk+1 ak-pkak+2—pk+2=(a+p)a-p-apa-p=a-p所以对于nwN+,等式都成立例6,计算n阶行列式:

其中aaa牛012n解这道题有多种解法．法1化为上三角行列式1+ac1c1+riri-r11i=2,,nj=2,,n其中b=1+a+a

1Z1——1ai=2i法2升阶升阶D=n-a1=a1（或加边）1+a111+a2ai=1(1+i于是1+a=aa12ri-r1i=2,3,,n+11+．ai=1ni1+£-1c+c1-1c+c1ajj+1i=1j=1,2,,n-1=aa12i=1法3递推法.将D改写为

nTOC\o"1-5"\h\z1+a1 1+011 1+a1+0D= 2n1 1 1+an由于1+a1

1按拆开1 1+a= 21 11+a11+11+a21+a111 1+a21 1r—r

ini=1,,n—100anan—1WordWord文档1+a1i1 1+a21