求多元函数极限的方法

1/11求多元函数极限的方法求多元函数极限的方法那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲，极限又是相当它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】【关键词】多元函数;求极限多种方法；求极限常出现的错误【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法,例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握,但对1a=求lima的n+13a2+annn问题题目尽给出了第n项和第n+1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则nn!limknn!的方法进行解析，并列出容易出错的地方。1利用极限定义的思想观察函数的极限1例1、讨论当x时函数y=x2+x1的极限。我们列出了当x时某些函数值,考察22函数的变化趋势,如下表所示。xx0．40.4960.4980.499…0．500.500.50．505931203y0.7570．7540．7520．751…0．740．740.740．74985511从列表可以看出,当x趋向于时，y就趋向于0.7,即x时,y=x2+x1的极限是220．75。2、利用四则运算法则求极限例2(1)求lim(43x32+x2)(2)limx21x22x+1解(2)limx21=lim(x21)x2=3xxlimx5x23、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限x0xx0x2/11求多元函数极限的方法解因为limx=0，且sin1即sin有界，所以limxsinx0xxx0x4、利用两个重要极限求极限xxxx解limxsin1=limx=1(因为x时10)。xxx1xx令u=x则当x时u所以lim(1)x=lim(1+)e=lim=xxxuu(1+1)uex也可以直接计算lim(1)x=lim[(1+)x]1=e1xxxxe5、利用初等函数的连续性求极限几x202x2x26、利用等价无穷小代换求极限例6求lim1cosxx0ln(1+2x)21所以lim1cosx=lim2x2=0x0ln(1+2x)x02x7、利用罗比达法则求极限8、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限3/11求多元函数极限的方法lxlxx)0-x)0-x)0+x)0+x)0-x)0+xx)0+x)1极限定义并未给出求极限的具体方法,但却可以验证极限的存在,而且它是研究理论问题的基本方法,用极限定义验证极限存在,一般需经过变形放大,由x-A<e或f(x)-A<en去寻找满足条件的充分大的正整数N或充分小的正数δ或充分充分的正数X。比如:证明limx-2=1x)2x2-44x2-44x2-444x+2证明对Ve>0,要使x-2-1<e,只要x-2-1x2-44x2-444x+2312--<xx--<xx2elimxx2-44x)2x2-442利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形)x)1x2+x-2x)1x2+x-2此题要用到两个知识点①将分子有理化②分母分解因式3利用极限运算法则和无穷小的性质求极限4/110求多元函数极限的方法0比如求lim(x2+xx)x+本题是“∞-∞”型的极限,先对分子有理化，可转化为型将分子分母同时除以x的最高解lim(x2+xx)=lim(x2+xx)(x2+x+x)＝limxx+x+(x2+x+x)x+(x2+x+x)=lim=lim=x+(1+1+1)2x在无穷小量的诸多性质中,常用无穷小乘以有界变量仍为无穷小及用等价无穷小代换来求极限。比如求limxn+2解注意到sinen且lim1=0所以由无穷小的性质得limsinen=0xn+2xn+25又比如求limx3ln(1+3x)5又比如求lim51所以limx3ln(1+3x)=limx3x51x0arctanx2x0x2xxx0x lim(1+f(x))f(x)=e，0xx0特征:①“1”型；②底数中要转化为有“1”的形式；③lim(1+1)f(x)=exxf(x)“1”的后面的变量与幂指数互 比如求lim(cosx)x2x011cosx11解lim(cosx)x2=lim(1+(cosx1))cosx1x2＝e2x0x0限xn2+1n2+1n2+n5/112+)n2+2+)n2+n解因为,k=1,2，3n，从而n+n+)n2+nn2+1n2+1n2+nn2+1而limn2=1limn2=1所以limn(1+1+xn2+n,xn2+1xn2+1n2+15.2利用“单调有界数列必有极限”定理求极限特点:①能出现关系式;②可转化为关系式解题方法:一是利用数学归纳法证有界,二是证单调。比如设x=1显然0<x=12x=2+x,(n=1,2,),试证数{x}列极限存在，并求此极限。n1nn<2，x=2+2<2假设x<2因x=2+x<2+2=2由数学2nn+1nnnxn+1n(2xn+1n2+xx=nn>0,则xnn2+x+xn+1nn因此limx存在。nxnn＞x,所以{x}单调增加。nn2+a,从而a＝2即limx=2n不妨设limx=a2+a,从而a＝2即limx=2nnn+1nx用洛必达法则时要注意:，②有时要用多次洛必达法则,③无限次循环型号不能用洛必达法则,如limexex，④每次用洛必达法则前,要先化简,1100x11x+lnxx11+1x11xx11x6/11x求多元函数极限的方法x比如求limln(1+ex)x1arctanx8利用函数极限存在的充要条件求极限主要用来解决在求分段函数在分段点处的极限或某lim1exex11x0ex+ex1exex11x0ex+exx0ex+1所以limex所以lim不存在。19利用导数求极限比如设f'(0)=1,f(0)=0求limf(x)x0x解limf(x)=limf(x)f(0)=f'(0)=1x0xx0x00f(x)g(x)xkf(x)g(x)0f(x)g(x)f(x0f(x)g(x)f(x)g(x)xk2222③用洛必达法则较复杂或根本不可能用。2解题的关键是展开到含xn项,或相互抵消后的后一项。比如求lim22解题的关键是展开到含xn项,或相互抵消后的后一项。比如求lim2解＝n!求多元函数极限的方法n!x2x2x4x4xx2x2x4x4nnn)wnlnxxnln(1+i)nnnn)wnn)wnn0i=112利用函数极限与数列极限关系求极限比如求lim比如求lim(nsin)n2n)wnn)wnn)0+xn)0+x比如求lim3nn!考察级数xw3nn!,n)wnn,nni=1n由正项级数比值判别法知xw3nn!收敛,再由级数收敛的必要nnn条件知lim3nn!＝0n)wnn比如求lim(1+++n)w1!2!3!n!n!n!7/118/11求多元函数极限的方法因此lim(1+1+1+1++1)=xw1=e1=en)w1!2!3!n!n以上是求极限常用的一些方法,在求极限的过程中,先要用观察极限属于什么类型,才能去采同学们在求二元函数极限时,常出现错误。我们将其归纳为一下三种,今写于此,以供参考。Ⅰ第一种错误是把沿在平面上过(x,y)点的射线方向，代替沿任何方向趋向于(x,y)，0000求limf(x,y)x)0例1求limx2x)0x2+y2y)0x2+y2x2+y2p2当(x,y))(0,0)时，p)0,由夹逼定理即得limx2=0x)0x2+y2y)0欲指出此种解法的错误，只需注意二元函数极限的定义：P0000D),A为一定数，如果对于任意给定的正数6,总存在相应的正数6，使得定义域D上满足00成立,则称定数A为函数当(x,y))(x,y)时的极限,记为limf(x,y)=A由极限的定义可x)0x)0y)0xyx)0y)0000共=<p成立,这也只能说明动点P(x,y)0共=<p成立,这也只能说明动点P(x,y)沿过原点的直线族x2+y2p2x)0x2+y2。x)0x2+y2。y)0x2yx2yx本题的正确解法是，由x2+y2之2x2yx2yxx2+y22xy29/11求多元函数极限的方法可见，动点P(x,y)不论沿平面上任何曲线趋于点(0，0)是,对于任意给定的正数,只要x2y22取时,就能使当(x0)2(y0)2时，永远有x2y0x成立。x2y22这即得证limx2=0x0x2y2y0x0x2y4y0若仿照例1中所有用过的错误解法,有xcos;ysin，且limxy2limcos2sin2limcossin2x0x2y402cos24sin40cos22sin2y0x0x2y4y00cos22sin4但实际上limxy2是不存在的，这只要取动点P(x,y)沿曲线xky2趋向于点(0，0)x0x2y4y0时则有limxy2limxy2limky4kx0x2y4xky2x2y4yk2y4y4k21y0y0由于不同的k值对应着不同的极限值,即得证limxy2是不存在的。x0x2y4y0例3求limxy2本题的正确解法，是由x2y42x2y2x0x2y4y0所以有0x2y2x2y21(11)x4y42x2y22y2x2由夹逼定理便有limxy20而此题如果用例1所提出过的错误做法虽然也有x0x2y4y0x2y221112211求多元函数极限的方法limx2+y2=limp2=0其结果虽然也是对的,但其理论根据却是错误x)0x4+y4p)wp4(cos49+sin49)y)0Ⅱ第二种错误是引用了“有限个无穷大之和仍为无穷大”的错误结论。x)0x+yx)01+1y)0y)0yx这种解法很明显是错误的，因为lim=w,lim=w但lim(+x)0xy)0y