相交线与平行线常考题附答案

1.与平行线一．选择题(共3小题)12381223344518的有()3．如图所示，同位角共有()2.二．填空题(共4小题)4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块． 12126．如图，直线l∥l，∠1=20°，则∠2+∠3=．127．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的评卷人得分三．解答题(共43小题)3. AB上运动(不与点F重合)时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只 (1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数． (2)若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数． (1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数； (2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数；(用含α的代数式表示) (3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？CBN=100°． (1)若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；4. 若∠ADQ=n°，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26° (1)求∠2的度数 (2)若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．2直线l或l上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠34 (1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3=∠1+∠2； (2)若点P在图(2)位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； 5. (1)试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由； (2)若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50° (1)求证：AE∥CD； (2)求∠B的度数． (1)如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？ (2)反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要 (3)若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直 (4)若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直 (5)在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接6. (1)求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF． (2)如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系． (3)如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什 (4)已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．(直接写结论)123∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．7. (1)若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数； (2)若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD (1)求∠EOB的度数； (2)若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE． (1)求∠BOE和∠AOE的度数； (2)若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．8. (1)求∠BOD的度数； (2)如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠ (1)若∠BOE=70°，求∠AOF的度数； (2)若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数． (1)∵∠3=∠4(已知) (2)∵∠DBE=∠CAB(已知) (3)∵∠ADF+=180°(已知) 9. (1)若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数． (2)若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数． (1)求证：CF∥AB． (2)求∠DFC的度数．解：因为∠1=35°，∠2=35°(已知)，所以∠1=∠2．所以∥()．又因为AC⊥AE(已知)，所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=°．所以∠EAB=∠FBG()． 所以∥(同位角相等，两直线平行)．.30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由． 直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为； (2)若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数． (1)当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系 (2)当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°； 1.因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°(已知)所以∠1=∠4，() 又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6()，() .36．如图，∠B和∠D的两边分别平行． (1)在图1中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D 的数量关系是； (2)用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说 (1)如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA． ∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．.∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？ (1)如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是． 直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是． (3)如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么BFDBED样的数量关系？请说明理由．41．(1)如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4 .∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．()∴∠CDA=∠DAB．(等量代换)又∠1=∠2，即∠3=． (1)说明：∠O=∠BEO+∠DFO． (2)如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会 (3)若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结.44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证： 45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．C (1)如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=． (2)如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=． (3)如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．.就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的： (1)请你计算出图1中的∠ABC的度数． (2)图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数． (1)图中和AB平行的线段有哪些？ (2)图中和AB垂直的直线有哪些？0.一．选择题(共3小题)123812233445188233445566778244668∴l⊥l．2828的有()【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠1.AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．3．如图所示，同位角共有()F故选C．2.二．填空题(共4小题)4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成8块．1212三角形△PDB≌△PCA(ASA)、正方形CODP；所以S=S=3四边形OAPB正方形ODPC∴PC=PD；又∵l⊥l，23.∴∠BPA=90°；又∵∠DPC=90°，∴∠DPB=∠CPA，在△PDB和△PCA中∴△PDB≌△PCA(ASA)，△DPB△PCAS四边形OAPB=S正方形ODPCODPCODPC6．如图，直线l∥l，∠1=20°，则∠2+∠3=200°．22124=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，即可得出∠2+∠3=200°．22∴∠4=∠1=20°，∠BAC+∠3=180°，4.∴∠2+∠3=180°+20°=200°；故答案为：200°．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是75°．【分析】根据平行线的性质得到∠EDC=∠E=45°，根据三角形的外角性质得到∠AFD=∠C+∠EDC，代入即可求出答案．【解答】解：∵∠EAD=∠E=45°，∴∠EDC=∠E=45°，∵∠C=30°，∴∠AFD=∠C+∠EDC=75°，故答案为：75°．三．解答题(共43小题)5. AB上运动(不与点F重合)时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的【分析】【分析】(1)首先作MQ∥AB，根据平行线的性质，推得∠M=(∠FHP+∠HFP)；然后根据HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，据此求出∠M的度 (2)①首先判断出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=(∠HEF+∠DEF)=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．②首先判断出∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=(∠DEF﹣∠HEF)=∠HED，然后根据NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH，再根据AB∥CD，推得∠FHE=180°﹣2∠ENQ即可．，∴MQ∥CD，6.∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，∴∠∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=(∠FHP+∠FED)=(∠FHP+∠HFP)，∴∠HPF=90°，∴∠FHP+∠HFP=180°﹣90°=90°，∵∠1+∠2=∠M，∴∠∴∠M= (2)①如图2，，∠∠NEQ=∠NEF+∠QEF=(∠HEF+∠DEF)=∠HED，∵NQ⊥EM，∴∠NEQ+∠ENQ=90°，∴∴∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH，∵AB∥CD，∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．，∠FHE=180°﹣2∠ENQ，理由如下：7.∠∠NEQ=∠QEF﹣∠NEF=(∠DEF﹣∠HEF)=∠HED，∵NQ⊥EM，∴∠NEQ+∠ENQ=90°，∴∴∠ENQ=(180°﹣∠HED)=∠CEH，∵AB∥CD，∴∠FHE=180°﹣∠CEH=180°﹣2∠ENQ．HAB点F重合)时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°2∠ENQ．同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只8.… (1)若∠EOC=70°，求∠BOD的度数． (2)若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．【分析】(1)根据角平分线的定义求出∠AOC的度数，根据对顶角相等得 EOCx出∠EOC=80°，【解答】解：(1)∵∠EOC=70°，OA平分∠EOC，∴∠AOC=35°，∴∠BOD=∠AOC=35°； (2)设∠EOC=4x，则∠EOD=5x，x+4x=180°，9.解得x=20°，则∠EOC=80°，又∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=40°，∴∠BOD=∠AOC=40°．掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键． (1)若∠AOE=40°，求∠BOD的度数； (2)若∠AOE=α，求∠BOD的度数；(用含α的代数式表示) (3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？【分析】(1)、(2)根据平角的性质求得∠AOF，又有角平分线的性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC；∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，∠BOD=∠EOD﹣∠BOE； (3)由(1)、(2)的结果找出它们之间的倍数关系．【解答】解：(1)∵∠AOE+∠AOF=180°(互为补角)，∠AOE=40°，∴∠AOF=140°；又∵OC平分∠AOF，∴∴∠FOC=∠AOF=70°，∴∠EOD=∠FOC=70°(对顶角相等)；.而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°； (2)∵∠AOE+∠AOF=180°(互为补角)，∠AOE=α，∴∠AOF=180°﹣α；又∵OC平分∠AOF，∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α(对顶角相等)；而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，∴∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α； (3)从(1)(2)的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．CBN=100°． (1)若∠ADQ=130°，求∠BED的度数； 若∠ADQ=n°，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)．1.EF (2)过点E作EF∥PQ，由平行线的性质及角平分线求得∠DEF和∠FEB，∵∠CBN=100°，∠ADQ=130°，∴∠CBM=80°，∠ADP=50°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDP=∠ADP=25°，∴∠DEF=∠EDP=25°，∴∠FEB=∠EBM=40°∴∠BED=25°+40°=65°； (2)如图2，过点E作EF∥PQ，∵∠CBN=100°，∴∠CBM=80°，∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，.∴∴∠EBM=∠CBM=40°，∠EDQ=∠ADQ=n°，∴∴∠DEF=180°﹣∠EDQ=180°﹣n°，∴∠FEB=∠EBM=40°，∴∠BED=180°﹣n°+40°=220°﹣n°．BED．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26° (1)求∠2的度数 (2)若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．.【分析】(1)根据平角等于180°，列式计算即可得解； (2)根据三角形的外角性质求出∠4，然后根据同位角相等，两直线平行解【解答】解：(1)∵∠ACB=90°，∠1=26°，∴∠2=180°﹣∠1﹣∠ACB，=180°﹣90°﹣26°，=64°； 理由如下：∵∠3=19°，∠A=45°，∴∠4=45°+19°=64°，∵∠2=64°，∴∠2=∠4，2直线l或l上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠34. (1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3=∠1+∠2； (2)若点P在图(2)位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； 2利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．2∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2． (2)关系：∠3=∠2﹣∠1；2则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，∴∠3=∠2﹣∠1． (3)关系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．2同(1)可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；.∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3=360°﹣∠1﹣∠2． (1)试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由； (2)若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．【分析】(1)由平行线的性质得出∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，即可得出结论； (2)由(1)的结论代入计算即可．【解答】解：(1)∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°；理由如下：∴∠ABC=∠BMN=∠BCD，∠CPN+∠PCD=180°，∵∠PCD=∠BCD﹣∠BCP=∠ABC﹣∠BCP，.∴∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°． (2)由(1)得：∠ABC﹣∠BCP+∠CPN=180°，则∠BCP=∠ABC+∠CPN﹣180°=155°+42°﹣180°=17°．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50° (1)求证：AE∥CD； (2)求∠B的度数．【分析】(1)根据平行线的性质和等量关系可得∠EAD+∠D=180°，根据 (2)根据平行线的性质可得∠AEB=∠C，根据三角形内角和定理和等量关【解答】(1)证明：∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∵∠EAD=∠C，∴∠EAD+∠D=180°，∴AE∥CD； (2)∵AE∥CD，.∴∠AEB=∠C，∵∠FEC=∠BAE，∴∠B=∠EFC=50°． (1)如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？ (2)反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要 (3)若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直 (4)若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直 (5)在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接【分析】(1)首先作EF∥AB，根据AB∥CD，可得EF∥CD，据此分别判断出∠B=∠1，∠D=∠2，即可判断出∠B+∠D=∠E，据此解答即可． (2)首先作EF∥AB，即可判断出∠B=∠1；然后根据∠E=∠1+∠2=∠B+. (3)首先过E作EF∥AB，即可判断出∠BEF+∠B=180°，然后根据EF∥CD，可得∠D+∠DEF=180°，据此判断出∠E+∠B+∠D=360°即可． (4)首先根据AB∥CD，可得∠B=∠BFD；然后根据∠D+∠E=∠BFD，可得∠D+∠E=∠B，据此解答即可． ∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，所以∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；然后根据∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，可得∠E+∠G=∠，∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∴∠D=∠2，∴∠B+∠D=∠1+∠2，又∵∠1+∠2=∠E，∴∠B+∠D=∠E． (2)如图2，作EF∥AB，，.∴∠B=∠1，∵∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，∴∠D=∠2，∴AB∥CD． (3)如图3，过E作EF∥AB，，∴∠BEF+∠B=180°，∴∠D+∠DEF=180°，∵∠BEF+∠DEF=∠E，∴∠E+∠B+∠D=180°+180°=360°．， (4)如图4，，∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∵∠D+∠E=∠BFD，∴∠D+∠E=∠B．. ，又∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠B+∠3+∠4+∠D；∵∠1+∠2=∠E，∠5+∠6=∠G，∠3+∠4=∠F，∴∠E+∠G=∠B+∠F+∠D．简直线 (1)求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF． (2)如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系． (3)如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什 (4)已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为∠.∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可． (2)首先由(1)，可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后，，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°． (3)首先由(1)，可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×(360°﹣∠P)，即可判断出∠P+3∠Q=360°． (4)首先由(1)，可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×(360°﹣∠P)，即可判断出∠P+n∠Q=360°．(1)证明：如图，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，又∵∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．∴∠EQF=∠∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)==，. (2)如图2，，由(1)，可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，Q∴∠EPF+2∠EQF=360°．， (3)如图3，，由(1)，可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)=×(360°﹣∠P)，[360°﹣(∠AEP+∠CFP)]=∴∠P+3∠Q=360°． (4)由(1)，可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，.∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=(∠BEP+∠DFP)=[360°﹣(∠AEP+∠CFP)]=×(360°﹣∠P)，∴∠P+n∠Q=360°．故答案为：∠P+n∠Q=360°．直线123x和等于180°列式求出x，再根据对顶角相等求出∠4即可．解得x=18°，则∠4=18°+18°=36°．故∠4的度数是36°．.∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°， (1)若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数； (2)若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．.②求∠AOC的度数．【分析】(1)由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由由角平分线的定义可知∠BOE=∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB AOECOEx角平分线的定义可知∠FOE=；②②∠BOE=∠FOE﹣∠FOB可知∠BOE=x﹣15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．【解答】解：(1)由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF﹣∠BOD，∴∠FOB=90°﹣70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°， (2)①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠∴∠FOE=x，.②∵∠BOE=∠FOE﹣∠FOB，∴∠∴∠BOE=x﹣15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴x﹣15°+x=180°，解得：x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×(180°﹣130°)=100°．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD (1)求∠EOB的度数； (2)若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．出∠BOD的度数，设∠BOE=2x，根据题意. (2)根据角平分线的定义求出∠AOF的度数即可．∠BOD=∠AOC=75°，∴2x+3x=75°，解得，x=15°，则2x=30°，3x=45°，∴∠BOE=30°； (2)∵∠BOE=30°，∴∠AOE=150°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=75°，∴∠COF=∠AOC，∴OA是∠COF的角平分线．握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE． (1)求∠BOE和∠AOE的度数； (2)若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．【分析】(1)设∠BOE=x，根据题意列出方程，解方程即可；. (2)分射线OF在∠AOD的内部和射线OF在∠BOC的内部两种情况，根【解答】解：(1)∵∠AOC=72°，∴∠BOD=72°，∠AOD=108°，解得，x=24°，∴∠BOE=24°，∠DOE=48°，∴∠AOE=156°； (2)若射线OF在∠BOC的内部，∠DOF=90°+48°=138°，若射线OF在∠AOD的内部，∠DOF=90°﹣48°=42°，∴∠DOF的度数是138°或42°．对顶角相等、邻补角的和是180°是解题的关键． (1)求∠BOD的度数； (2)如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠.【分析】(1)根据邻补角的定义求出∠EOC，再根据角平分线的定义求出∠ (2)由已知条件和对顶角相等得出∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，得出∠ONF=90°，求出∠OFM=54°，延长∠OFG=2∠OFM=108°，证出∠OFG+∠EOC=180°，即可得出结论．∴∴∠EOC=180°×=72°，∵OA平分∠EOC，∴∠∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，∴∠BOD=∠AOC=36°． ∵∠MFH﹣∠BOD=90°，FM平分∠OFG，∴∠MFC=∠MFH=∠BOD+90°=126°，∴∠ONF=126°﹣36°=90°，∴∠OFM=90°﹣36°=54°，∴∠OFG=2∠OFM=108°，∴∠OFG+∠EOC=180°，. (1)若∠BOE=70°，求∠AOF的度数； (2)若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．【分析】(1)根据角平分线的定义求出∠BOC的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC的度数，根据余角的概念计算即可； (2)根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．【解答】解：(1)∵OE平分∠BOC，∠BOE=70°，∴∠BOC=2∠BOE=140°，∴∠AOC=180°﹣140°=40°，又∠COF=90°，∴∠AOF=90°﹣40°=50°； BODBOEOE平分∠BOC，∴∠BOD=36°，∴∠AOC=36°，又∵∠COF=90°，∴∠AOF=90°﹣36°=54°．顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．. (1)∵∠3=∠4(已知)∴CD∥AB(内错角相等，两直线平行) (2)∵∠DBE=∠CAB(已知)∴AC∥BD(同位角相等，两直线平行) (3)∵∠ADF+∠5=180°(已知)【分析】(1)由∠3=∠4根据平行线的判定推出CD∥AB； (2)由∠DBE=∠CAB，根据同位角相等，两直线平行得出答案； (3)根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案．【解答】解：(1)∵∠3=∠4(已知)，∴CD∥AB(内错角相等，两直线平行)， (2)∵∠DBE=∠CAB(已知)，D (3)∵∠ADF+∠5=180°(已知)，F角相等，两直线平行，(3)∠5，同旁内角互补，两直线平行．旁内角和利用平行线的判定进. (1)若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数． (2)若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数． (2)设∠AOC=x，根据对顶角相等和角平分线的定义用x表示出∠BOE和∴∠BOD=∠AOC=68°，∵OE平分∠BOD，∴∠∴∠DOE=∠BOD=34°，∴∠EOF=∠DOF﹣∠DOE=56°； (2)设∠AOC=x，则∠BOD=x，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=(180°﹣x)，由题意得，(180°﹣x)﹣x=30°，解得，x=80°，∴∠AOC=80°．3.补角之和为180°以及角平分线的定义是解题的关键． (1)求证：CF∥AB． (2)求∠DFC的度数．【分析】(1)首先根据角平分线的性质可得∠DCF=45°，再有∠BAC=45°，平行可判定出AB∥CF； (2)利用三角形内角和定理进行计算即可．∵CF平分∠DCE，∴∠∴∠DCF=∠ECF=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠DCF=45°，∵∠BAC=45°，∴∠DCF=∠BAC，∴AB∥CF(内错角相等，两直线平行)； (2)解：∵∠D=30°，∠DCF=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°.解：因为∠1=35°，∠2=35°(已知)，所以∠1=∠2．所以AC∥BD(同位角相等，两直线平行)．又因为AC⊥AE(已知)，所以∠EAC=90°．(垂直的定义) 所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=125°．所以∠EAB=∠FBG(等量代换)．所以AE∥BF(同位角相等，两直线平行)．G【解答】解：因为∠1=35°，∠2=35°(已知)，所以∠1=∠2．又因为AC⊥AE(已知)，所以∠EAC=90°．(垂直的定义)所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=125°．.所以∠EAB=∠FBG(等量代换)．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．EAC∠C=∠EAC，推出∠C=∠1，根据平行线的判定求出即可．∴∠∴∠1=∠EAC，∵∠EAC=∠B+∠C，∠B=∠C，∴∴∠C=∠EAC，∴∠C=∠1，和已知推出∠1=∠C，题目比较典型，难度不大．. (1)直接写出图中∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠ (2)若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数． BODBOE∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠【解答】解：(1)∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE； (2)∵∠DOE=∠AOC=70°，∠DOE=∠BOE+∠EOD及∠BOE：∠EOD=2：，，∴得，，∴∴∠BOE=28°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=152°．互为邻补角的两个角的和等于180°求解． (1)当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为.∠PFD+∠AEM=90°； (2)当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°； (2)由平行线的性质得出∠PFD+∠1=180°，再由角的互余关系即可得出 (3)由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，则PG∥CD，∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，∵∠1+∠2=∠P=90°，∴∠PFD+∠AEM=∠1+∠2=90°，故答案为：∠PFD+∠AEM=90°； (2)证明：如图②所示：∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHF=180°，∵∠P=90°，∴∠BHF+∠2=90°，.∵∠2=∠AEM，∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM，∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°，∴∠PFD﹣∠AEM=90°； (3)如图③所示：∵∠P=90°，∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°，∵AB∥CD，∴∠PFC=∠PHE=75°，∵∠PFC=∠N+∠DON，∴∠N=75°﹣30°=45°．.因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°(已知)又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6(对顶角相等) 所以∠2+∠6=180°，(等量代换) 所以a∥b．(同旁内角互补，两直线平行) 明a∥c，依据对顶角的性质和等量代换可证明∠2+∠6=180°，最后依据【解答】解：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°(已知)，又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6(对顶角相等)所以∠2+∠6=180°，(等量代换).相等，两直线平行；对顶角相等；等量∴∠B+∠BEC=180°，∵∠B=100°，∴∠BEC=80°，∴∴∠FEC=∠BEC=40°，∴∠EDH=∠FEC=40°．.MEN=46°，再EN∥AB得出∠GEN=∠FGB=90°，即可得出结果．则∠EMD+∠MEN=180°，∴∠MEN=180°﹣134°=46°，∵FE⊥AB，∴∠FGB=90°，∵AB∥CD，∴∠GEN=∠FGB=90°，∴∠GEM=90°+46°=136°．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行． (1)在图1中，∠B和∠D的数量关系是∠B=∠D，在图2中，∠B .和∠D的数量关系是∠B+∠D=180°； (2)用一句话归纳的命题为：如果两个角的两边分别平行，则这两个角 【分析】(1)在图1中，首先根据AB∥CD，可得∠B=∠1；然后根据BE2+∠D=180°，即可判断出∠B+∠D=180°． (2)首先判断出用一句话归纳的命题为：如果两个角的两边分别平行，则 (3)若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，再根据这两个角互补，求出这两个角的度数各是多少即可．，∵AB∥CD，∴∠B=∠1，.∴∠1=∠D，∴∠B=∠D．∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∴∠2+∠D=180°，又∵∠1=∠2，∴∠1+∠D=180°，∴∠B+∠D=180°． (2)用一句话归纳的命题为：∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∴∠1=∠D，∴∠B=∠D． (3)如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，4.180°÷(1+2)=180°÷3=60°，60°×2=120°，∴这两个角的度数分别是60°、120°．故答案为：∠B=∠D；∠B+∠D=180°；如果两个角的两边分别平行，则这同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平 (1)如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA． ∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．【分析】(1)根据角平分线的性质可得∠BAE=∠EAD，根据平行线的性质可得∠AEB=∠EAD，等量代换即可求解； (2)①先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可.②根据∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°，∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，根【解答】(1)证明：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠AEB=∠EAD，∴∠BAE=∠BEA； (2)①证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC=∠ADC；②解：∵∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°，∴∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠DAB=180°﹣2x°，∵∠DAE=∠BAE=∠BEA=90°﹣x°，又∵AD∥BC，∴∠BED+∠ADE=180°，∵∠AED=60°，∴∠CDE=x°=15°，∠ADE=45°，.∴∠CED=180°﹣∠ADE=135°．∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．【解答】解：∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．∴∠1=∠ABF，∠FBC=∠BCG，∠GCD=∠CDH，∠HDE=∠5，∴∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．.∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？GP∥DC；然后根据平行线的性质，可得∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，据此判断出∠B+∠F+∠D=∠E+∠G即可．∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠D，∴∠B+∠3+∠4+∠D=∠1+∠2+∠5+∠6，∴∠B+∠F+∠D=∠E+∠G．直线. (1)如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是∠ABE+∠CDE=∠BED． (3)如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么BFDBED的数量关系？请说明理由．【分析】(1)首先作EF∥AB，根据直线AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，据此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可． ABE+∠CDE)；然后由(1)，可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+ED (3)首先过点E作EG∥CD，再根据AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥EG，所以∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，据此推得∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；然后根据∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°即可．，∵直线AB∥CD，.∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，即∠ABE+∠CDE=∠BED． (2)如图2，，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=(∠ABE+∠CDE)由(1)，可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)∠BED=∠ABE+∠CDE， (3)如图3，过点E作EG∥CD，，EG∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，由(1)知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠BFD=(∠ABE+∠CDE)，.∴2∠BFD+∠BED=360°．故答故答案为：∠ABE+∠CDE=∠BED、∠BFD=∠BED．同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平41．(1)如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4 【分析】(1)根据邻补角的和等于180°求出∠1的度数，然后求出∠3，再 ∠DOE=30°，OF平分∠COE得到∠EOF=75°，求出∠BOF=45°，根据邻补角的和等于180°求出∠AOF.解：(1)如图，∵∠2=155°，∴∠1=180°﹣∠2=180°﹣155°=25°，∴∠3=2∠1=2×25°=50°，∵∠3=∠4，(对顶角相等)∴∠4=50°， (2)∵∠AOD：∠BOE=4：1，∴∠AOD=4∠BOE，∵OE平分∠BOD，∴∠D0E=∠EOB，∴∠AOD+∠DOE+∠BOE=180°，∴6∠BOE=180°，∴∠BOE=∠DOE=30°，∴∠COE=180°﹣30°=150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF=75°，∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=75°﹣30°=45°，∠AOF=180°﹣45°=135°．并熟记性质与概念是解题的关键．.∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．(垂直定义)∴∠CDA=∠DAB．(等量代换)又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣∠2．(等式的性质) 即∠3=∠4． 【分析】根据垂直定义得出∠CDA=∠DAB，求出∠3=∠4，根据平行线的∴∠CDA=90°，∠DAB=90°(垂直定义)，∴∠CDA=∠DAB，∵∠1=∠2，∴∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣∠2，∴∠3=∠4，故答案为：垂直定义，∠2，∠4，内错角相等，两直线平行．. (1)说明：∠O=∠BEO+∠DFO． (2)如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会 (3)若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结【分析】(1)过O作OM∥AB，根据平行线性质推出∠BEO=∠MOE，∠ (2)过O作OM∥AB，PN∥AB，根据平行线性质求出∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，代入求出即可； (3)根据(1)(2)总结出规律，即可得出当折点是1，2，3，4，…，n时∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC．)证明：过O作OM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥CD，∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，即∠EOF=∠BEO+∠DFO． . (2)∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足的关系式是：∠BEO+∠P=∠O+∵AB∥CD，∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，∴∠EOP﹣∠OPF=(∠EOM+∠MOP)﹣(∠OPN+∠NPF)=∠EOM﹣∠∠BEO﹣∠PFC=∠EOM﹣∠NPF，∴∠BEO﹣∠PFC=∠EOP﹣∠OPF，∴∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC． 则：∠BEO+∠2