8.6.1直线与直线垂直 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.1直线与直线垂直学习目标1.会求给定两条异面直线所成的角的大小；2.理解异面直线所成的角的概念；3.理解异面直线垂直的定义；4.会证明空间中两条直线垂直．复习回顾回顾1你能将下面的判定定理与性质进行描述吗？直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行观察可能导致发现，观察将揭示某种规律模式或定律.——波利亚新知探究回顾2

空间中两条直线的位置关系有哪些？

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点思考：它们都是异面直线吗，A′D与AC相对于BC′的位置关系相同吗？思考：如何描述这种差异？初中我们已经研究了平行直线和相交直线，本节主要研究异面直线新知探究

在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度,如图.O思考：异面直线有没有夹角呢？若有，那如何找出这个夹角？如图,已知两条异面直线a，b,经过空间任一点O作直线a′//a，b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).思考：这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?不会，等角定理新知探究特别地,如果θ=90º,我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b.范围：异面直线夹角的范围是什么？异面直线夹角的定义体现了什么思想？

转化思想

①将空间图形转化为平面图形

②异面直线夹角转化为相交直线的夹角

异面垂直新知探究例1如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.

(3)求直线BA′与AC所成角的大小.解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB,BC,CD,DA,A′B′,B′C′,C′D′,D′A′.

(2)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,∵CC′∥BB′,∴∠B′BA为直线BA′与CC′所成的角.而∠B′BA=45°.∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°.

(3)连接A′C′,BC′.∴∠BA′C′为直线BA′与AC所成的角.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′=60°，∴直线BA′与AC所成的角等于60°.新知探究(1)作角：通过平移直线，作出夹角；(2)求角：常利用解三角形知识；(3)定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.你能归纳求两条异面直线所成的角的一般步骤吗？简记：一作、二求、三定新知探究

例2如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证：AO1⊥BD.证明：如图示，连接B1D1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1

DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形.∴B1D1//BD.∴直线AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角.

连接AB1，AD1，易证AB1=AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1是B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD.BDCA1B1C1D1AO1•新知探究变式1四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_______解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连接DE，则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的角为60°.新知探究变式2

在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角.解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角MF=ME=2，EF=∴MF²+ME²=EF²∴∠EMF=90°∴异面直线AB和CD的夹角是90°.新知探究新知探究新知探究1.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝

，AA'＝2，求:(1)直线BC和A'C'所成的角的大小；(2)直线AA'和BC'所成的角的大小.BDCA'B'C'D'A解：(1)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,∵BC∥B′C′,∴∠B′C′A′为直线BC与A′C′所成的角.在Rt△A′B′C′中，

A′B′=B′C′，∴∠B′C′A′=45°.∴直线BC与A′C′所成的角的大小为45°.巩固练习

2.如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB=BB′=2.求证：BD⊥AC′.证明

如图