等腰三角形证明以及辅助线做法

巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式：

①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）

②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．

③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.

因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。

一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：

证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。求证：△ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。求证：△ABC是等腰三角形。分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，

AD是BC边上的中线。求证：△ABC是等腰三角形。方法一：分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。证明：如图2，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE

在△ADC和△EDB中

AD=DE

∠ADC=∠EDB

CD=BD

∴△ADC≌△EDB

∴AC=BE,∠CAD=∠BED

∵AD是∠BAC的角平分线

∴∠BAD=∠CAD

∴∠BED=∠BAD

∴AB=BE

又∵AC=BE

∴AB=AC

∴△ABC是等腰三角形。方法二：分析：上面的“倍长中线法”稍微有点麻烦，经验告诉我们，遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线，从而构造出了高，再利用面积公式开辟出新思维。具体做法是：如图2，

过点D作DF⊥AB，

DE⊥AC垂足分别为F、E。又因AD是∠BAC的角平分线，所以DF=DE。

因为BD=DC，利用“等底同高的三角形面积相等”的原理，所以=，再根据“等积三角形高相等则底也相等”，因为===，又因DF=DE，所以AB=AC，可见“面积法”给解题带来了简便，这种方法也正是被人们易忽视的。求证：

EF∥AB，EF=(AC-AB)分析：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分线，又是EC边上的高，即“两线合一”，就想到把AE所在的等腰三角形构造出来，因而就可添辅助线：分别延长CE、AB交于点G。

简单证明：由所添辅助线可证△AGE≌△ACE，得出△AGC是等腰三角形，AG=AC∴EG=CE

又∵点F是BC的中点∴EF是△BGC的中位线∴EF∥AB，EF=BG=(AG-AB)=(AC-AB)3、逆命题③应用：例5

已知：如图8，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE∥AC

、DF∥AB分别与AB、AC相交于点E，F。求证：DE=DF

分析：根据已知条件，利用相似性知识，可证：点E，F分别是AB、AC的中点（初中阶段不能用三角形的中位线的逆定理），又因点D是BC的中点，再利用三角形中位线的性质可知，DE=AC，DF=AB，可见只要证明AC=AB，题目所求证的结论就可得证。因为AD既是∠BAC的角平分线，又是BC边上的中线，即“两线合一”，

所以△ABC是等腰三角形可证，方法见逆命题③的证明。证明：过程略。还有的题目没有直接给出“两线合一”的条件，而是需要证明其中一个条件或者通过作辅助线构建另一个条件，使题目符合“两线合一”思路。例6

如图9，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AD=CD+AB例7

分析：拿到这个题目，学生的思维很活跃，有的用“截长补短法”；有的用“角的平分线性质”；有的用“梯形问题转化为三角形问题”的方法；笔者发现有几个学生延长DC、AE相交于点F，易证△ABE≌△FCE，所以

AB=CF，AE=EF，可见只要证明AD=FD，题目所求证的结论就可得证。可是学生想到这一步，思维受阻：DE此时既是∠ADC的角平分线，又是AF边上的中线，△DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么证明。可见，学生如果有“两线合一，必等腰”的思维和掌握了它的证明方法，那么此法是可行。只是此法用于这个题目较为麻烦、不可取，但是对于学生的思维火花还是要给予肯定的。由于笔者在研究过程中，发现逆命题③的应用不是很多，所以在此就不过多的举例。

三、请读者小试牛刀

学习了以上“两线合一，必等腰”的新思路，笔者最后再一次警告读者：由于“三线合一”性质的逆命题①与线段垂直平分线的性质相吻合，所以可直接应用；但是运用逆命题②或③添加辅助线构造的等腰三角形必须先要证明，不能作为定理用，切记切记！谨防与“三线合一”性质搞混淆。请读者试解下面问题（前2题提示，后3题不予提示）1、已知，如图10，△ABC中，∠BAC＝

90°，

AD⊥BC于D，∠ABC的平分线交AD于E，交AC于P，∠CAD的平分线交BP于Q。求证：△QAD是等腰三角形。（提示：可证∠AQB=90°，延长AQ。此题把逆命题②与直角三角形的性质综合应用）解法：AD⊥BC于D,∠ADF=∠ADB=90°,∠ABC+∠BAD=90°,∠CAD+∠BAD=90°,∠ABC=∠BAD∠ABC/2=∠BAD/2,∠DBE=∠QAE,∠BED=∠AEQ,[对顶角]，故∠BDE=∠AQE=90°,∠ABQ=∠FBQ,BQ=BQ,∠BQA=∠BQF=90°,RT△BQA≌RT△BQF,[ASA]AQ=FQ,Q为RT△ADF斜边AF的中点，AQ=DQ,△QAD是等腰三角形.2、如图（图略，读者自己画），在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求证：ME=MF．（提示：延长BE、CF．）

3、如图（图略），BE、CF是△ABC的角平分线，AM⊥CF于M，AN⊥BE于N．求证：MN∥BC．（画图时，注意AB≠AC）解法∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，

∴∠BAM=∠BGM，

∴△ABG为等腰三角形，

∴BM也为等腰三角形的中线，即AM=GM．

同理AN=DN，

∴MN为△ADG的中位线，

∴MN∥BC．4、如图（图略），已知梯形

ABCD中，AB∥CD，∠C的平分线CE⊥AD于E，且DE=2AE，CE把梯形ABCD分成两部分，求这两部分面积之比．（画图时，注意AB为上底，CD为下底，E点在线段A