图形学的数学基础曲线

图形学的数学基础曲线第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二参数曲线的基本知识表示方法属性连续性第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线的表示方法显式表示：隐式表示：参数表示：更强的控制能力更灵活方便的变换及表达第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二参数曲线的基本概念假设参数曲线表示为第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线上一点处的切矢量（1）用以表示曲线上位置矢量的大小、方向变化)(ttPD+rrPt()图1切矢量表示位置矢量的变化第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线上一点处的切矢量（2）表示t处位置矢量它的方向指向参数增加的方向(曲线正向)该点处的切矢量表示为：第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线上一点处的切矢量（3）参数变换条件下曲线上点的切矢量：参数变换方程：参数曲线新方程：切矢量表达式：切矢量方向保持不变第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期二正则曲线与自然参数（1）正则曲线：所有点都是正则点的曲线。正则曲线与参数选取无关参数表示方程与参数选取有关自然参数：弧长参数以弧长为参数的曲线光顺性好常采用曲线的自然参数（弧长参数）来定义曲线。第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期二正则曲线与自然参数（2）对于正则曲线由弧长函数的反函数：可得到曲线自然参数方程：第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期二正则曲线与自然参数（3）定理：自然参数曲线的切矢量满足：证明：除特别申明外通常讨论正则曲线并采用弧长参数定义曲线。以弧长为参数的曲线若非正则，则畸形。第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线上一点处的主法向量（1）记号自然参数曲线：任一点处的单位切矢量为沿该方向过该点的直线称为该点处的主法线定义--衡量曲线弯曲程度？第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线上一点处的曲率曲率可衡量曲线的弯曲程度—单位切矢对弧长的转动率如图所示第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲率半径直线特征：曲率处处为0；圆的特征：曲率半径处处相等第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线上一点处的主法向量（2）定理：主法向量与切矢量正交。证明：第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线上一点处的从法向量沿该方向过该点的直线称为从法线。第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二Frent活动标架第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期二问题：切矢量(垂直于法平面)的变化快慢反映了曲线的弯曲程度问题：从法向量(垂直于密切平面)的变化反映了曲线的何种属性?第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期二预备定理定理：证明：第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线在一点处的挠率含义：从法向量方向对弧长的变化率--反映曲线的扭曲程度。该值大于、小于、等于0分别对应右旋、左旋和平面曲线。第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线的几何不变量（1）曲率和挠率：因与曲线参数和空间直角坐标系的选取都无关，而称其为曲线的几何不变量。曲线基本定理：

如果两条曲线在弧长参数相同的点处具有相同的曲率和挠率，那么这两条曲线经过旋转和平移运动后一定会重合。曲线的自然方程：第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线的几何不变量（2）在任意参数条件下的曲率、挠率分别为：第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线的连续性参数连续：函数可微几何连续：曲线光滑二者既有区别又有联系第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线的参数连续性第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期二第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期二曲线的几何连续性（1）第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期二第二十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期二