四种命题及其相互关系

四种命题及其相互关系第一页，共二十二页，编辑于2023年，星期二复习:1)可以判断真假的陈述句称为命题．2)其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．可写成“若P,则q”

的形式或“如果P,那么q”

的形式或“只要P,就有q”

的形式命题都是由条件和结论两部分构成第二页，共二十二页，编辑于2023年，星期二

主人邀请张三、李四、王五吃饭聊天，时间到了，只有张三、李四准时赴约。王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了。”主人愣了片刻，又道了句：“哎哟，不该走的有走了。”李四听了大怒，拂袖而去。请你用逻辑学的知识解释一下二人离去的原因。张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”李四走的原因是“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”第三页，共二十二页，编辑于2023年，星期二观察与思考？第四页，共二十二页，编辑于2023年，星期二观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原命题：其中一个命题叫做原命题。逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即原命题:若p,则q逆命题:若q,则p例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。第五页，共二十二页，编辑于2023年，星期二观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？1.若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；3.若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.pq┐p

原命题:若p,则q┐q

为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作“┐p”

“┐q”读作“非p”和“非q”否命题:若┐p,则┐q互否命题原命题(原命题的)否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。第六页，共二十二页，编辑于2023年，星期二观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；4.若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.pq┐q

原命题:若p,则q┐p逆否命题:若┐q,则┐p互为逆否命题

原命题(原命题的)逆否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。第七页，共二十二页，编辑于2023年，星期二２、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。３、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。１、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。三个概念第八页，共二十二页，编辑于2023年，星期二若p则q逆否命题：原命题：逆命题：否命题：若q则p若

p则

q若

q则

p四种形式第九页，共二十二页，编辑于2023年，星期二原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互逆互否互否互逆互为逆否四种命题间的关系第十页，共二十二页，编辑于2023年，星期二例题:分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题：并判断真假

（1）正方形的四边相等。

逆命题：如果一个四边形四边相等，那么它是正方形。否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。逆否命题：如果一个四边形四边不相等，那么它不是正方形。原命题：

如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。

（2）若X=1或X=2，则X2－3X+2=0。

逆命题：若X2－３Ｘ＋２＝０，则Ｘ＝１或Ｘ＝２。否命题：若Ｘ１且Ｘ２，则Ｘ２－３Ｘ＋２０。逆否命题：若X2－３Ｘ＋２０，则Ｘ１且Ｘ２。第十一页，共二十二页，编辑于2023年，星期二

(3)

负数的平方是正数。

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数。原命题：

若一个数是负数，则它的平方是正数．

第十二页，共二十二页，编辑于2023年，星期二思考？原命题的真假与它的逆命题、否命题、逆否命题之间的真假有什么关系呢？第十三页，共二十二页，编辑于2023年，星期二例2.把下面命题改写成“若p则q”的形式，写出它的逆命题、否命题与逆否命题并判断它们的真假。命题：末位是0的整数，可以被5整除；第十四页，共二十二页，编辑于2023年，星期二原命题：若一个整数的末位是0，则它可以被5整除；末位是0的整数，可以被5整除逆命题：若一个整数可以被5整除，则它的末位是0。否命题：若一个整数的末位不是0，则它不可以被5整除。逆否命题：若一个整数不可以被5整除，则它的末位不是0。真假真假第十五页，共二十二页，编辑于2023年，星期二1）原命题：若a=0,则ab=0。逆命题：若ab=0,则a=0。否命题：若a≠0,则ab≠0。逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真)(假)(假)(真)看下面的例子：3)原命题：若a>b,则ac2>bc2。逆命题：若ac2>bc2,则a>b。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。（假）（真）（真）（假）第十六页，共二十二页，编辑于2023年，星期二想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。由以上的例子及总结我们能发现什么？(1)两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性.(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。总结：第十七页，共二十二页，编辑于2023年，星期二原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:第十八页，共二十二页，编辑于2023年，星期二练习1.设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b．

逆命题为真．否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b．逆否命题为真．第十九页，共二十二页，编辑于2023年，星期二2.若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”“或”的否定为“或”“且”。解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。否命题：若m>0且n>0,则m+n>0.逆否命题：若m+n>0,则m>0且n>0.（真）（真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。第二十页，共二十二页，编辑于2023年，星期二原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p