高中数学-任意角的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思

知识与技能目标掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域及三角函数值在各象限的符号，

2、学会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值；过程与方法目标通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性；情感态度与价值观目标让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想和数形结合思想.任意角的三角函数教学设计必修四第一章第二节第1课时编写人：教学课题任意角的三角函数课程类型新授课课时第一课时教材分析任意角的三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用。本节课先学习任意角三角函数的定义，新教材改变了过去习惯用角的终边上的点的坐标的“比值”来定义的做法，转为利用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数。新的定义可以更好地反映三角函数的本质，使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，也为后续学习带来方便，例如从这个定义可以更加方便地推导同角三角函数的基本关系、诱导公式、和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；单位圆为讨论三角函数图像与性质提供了很好的直观载体。因此学生理解和掌握任意角三角函数的定义是学好本章的基础。学情分析学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数（正弦、余弦、正切）有一定的了解，而且学生通过任意角与弧度制的学习，已经会利用直角坐标系来研究任意角。因此本课从初中锐角三角函数的定义出发，过渡到任意角的三角函数在直角坐标系中的定义，让学生运用从特殊到一般的探究方法探究任意角三家函数的定义，体会在直角坐标系中定义三角函数的优越性。教学重点任意角的三角函数定义、定义域及三角函数值在各象限的符号教学难点任意角的三角函数不同的定义方法教学目标知识与技能目标掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域及三角函数值在各象限的符号，

2、学会运用任意角三角函数的定义求相关角的三角函数值；过程与方法目标通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性；情感态度与价值观目标让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想和数形结合思想.教学方法启发式学法渗透自主探究、合作交流式教学手段PPT多媒体辅助教学教学过程设计教学步骤师生活动设计意图教学活动一：锐角三角函数是怎样定义的?导入新课复习引入、回想再认1、初中已经学习了锐角三角函数.请回想：锐角三角函数是怎样定义的?(学生口头回答后再投影展示，教师再根据投影进行强调)：学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，是一种从特殊到一般的化归过程.从学生原有的认知基础出发，让学生体会知识的产生、发展过程,来认识任意角的三角函数的定义.教学活动二：你用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数吗?创设情景2、你用直角坐标系中角的终边上点的坐标表示锐角三角函数吗?教师引导学生用坐标法来研究锐角三角函数（学生口述,教师提示,伴随投影展示）：把锐角放在（如何建系？角的顶点与原点重合，角的始边与轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角终边上任取一点，设点的坐标为,它到原点的距离为,作轴于，构造一个，则（锐角），，的临边、对边，斜边长yyP（a，b）rOMx根据锐角三角函数定义:由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了,学生自然能接受和运用以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数.初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数,现在要用坐标系来研究,探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义,这是一个认识的飞跃,是理解任意角三角函数概念的关键之一,也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识.为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础.教学活动三：改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？创设情景对于确定的角,改变点在终边上的位置,这xOxO·MPyP′M′α先让学生想象思考,作出主观判断,引导学生观察图像,联系相似三角形知识,计算比值,获得具体认识,同时作好解释.探索发现：对于锐角的每一个确定值,三个比值都是确定的，不会随在终边上的移动而变化.从现有认知水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生知识冲突，进行必要启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的再创造征途教学活动四：创设情景将点取在使线段的长的特殊位置上，那么锐角三角函数为：（学生口答）体现数学的简洁美,并为引出单位圆奠定基础教学活动五：定义单位圆教学活动六：任意角三角函数定义探究新知上述锐角的三角函数值可以用单位圆上点的坐标表示.那么角的概念推广以后，我们应该如何推广到任意角呢?新知探究1利用单位圆定义任意角的三角函数如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:(1)叫做的正弦,记做,即；（2）叫做的余弦,记做,即；a的终边P(x,y)Oxy（3）叫做的正切,记做,即a的终边P(x,y)Oxy当为任意角时，正弦、余弦都有函数值，当时,正切也都有函数值.因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就能够最终算出三角函数值.教师引导学生分析三角函数定义中的自变量是什么,函数值是什么,特别注意即表示一个角,又是一个实数(弧度数).初中学生对函数理解较肤浅,在这里扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系,是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键.这样做能够使学生有效地增强函数观念.教学活动七例题解析、实战练习例1：求的正弦、余弦和正切值。针对练习1角与单位圆的交点坐标为，则，，.先通过讨论确定利用定义解题的思路,然后由学生自主完成例1及练习题.通过例题和练习加深对定义的理解教学活动八：利用角终边上任意一点定义任意角的三角函数例题解析、引出新知例2角的终边经过点求的正弦，余弦及正切值.引导学生将任意点转化到单位圆上的点的解题思路,并建立与已知点之间的联系.新知探究2利用角终边上任意一点定义任意角的三角函数一般的，设角终边上任意一点的坐标为,它与原点的距离为,则=；=；=.提问:你有什么发现?(明确可以用角终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数)针对练习2已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.通过例题和练习进一步加深对定义的理解.通过比较两种定义,让学生体会利用单位圆定义不仅简洁且有一般意义.教学活动九：探索定义域及三角函数值在各象限的符号探索定义域及三角函数值在各象限的符号1、函数概念的三要素是什么（学生口答：函数三要素：对应法则、定义域、值域）将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各个象限的符号填入下图中的括号.三角函数定义域（）+（）（）（）()()()()()()()教师指出:、、的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟.引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，,三角函数值的符号决定于、值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：学生自主探索，得出结论定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域.指导学生根据定义自主探索确定三角函数定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握.教学活动十：例题解析例3确定下列三角函数值的符号(1);(2).教师提问,学生自主探究加深对三角函数值在各象限的符号的记忆.教学活动十一：总结提升1．今天你学到了哪些知识?2．你会解决怎样的数学问题?先让学生自己总结,教师在学生总结的基础上进行再概括,主要进行数学思想概括（化归思想和数形结合思想）课后作业见学案回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策.此处以问题形式让学生自己归纳识记本节课的主要内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力.板书设计PPT课件展示定义：定义域例1求的正弦、余弦和正切值.例2角的终边经过点，求的正弦，余弦及正切值.1、本节课教师教学设计合理，教学内容难度符合该班学情。教学过程从特殊的锐角三角函数到一般的任意角三角函数，层层设问，环环相扣。2、本节课充分利用多媒体技术形象展示了任意角三角函数的产生过程，还采用了类比、数形结合等数学思想帮助学生去探索任意角的三角函数。

3、本节课采用了从启发式到探究式的教学方法，达到了预设的效果。4、本节课教学过程充分考虑学生实际，整堂课问题设置层层递进，细节处理到位，善于抓住学生的疑难点，突出重点，突破难点。教态亲切自然，从容不迫，过渡语衔接自然。一、本班学生认知水平本班是高一年级的普通班，学生能够积极主动的预习新知识，接受新知识，并把新知识应用到解决简单的数学问题。但是大部分学生自主学习合作交流兴趣不强，不能抓住本质深入探究。二、学习本节需要的基础知识学生在初中已经学过锐角三角函数的定义，对三角函数（正弦、余弦、正切）有一定的了解，而且学生通过任意角与弧度制的学习，已经会利用直角坐标系来研究任意角。因此本课从初中锐角三角函数的定义出发，过渡到任意角的三角函数在直角坐标系中的定义，让学生运用从特殊到一般的探究方法探究任意角三家函数的定义，体会在直角坐标系中定义三角函数的优越性。任意角的三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中都具有重要的作用。本节课先学习任意角三角函数的定义，新教材改变了过去习惯用角的终边上点的坐标的“比值”来定义的做法，转为利用单位圆上点的坐标来定义任意角的三角函数，新的定义可以更好地反映三角函数的本质，使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，也为后续学习带来方便。例如从这个定义可以更加方便地推导同角三角函数的基本关系、诱导公式、和（差）角公式，而且为公式的记忆提供了图形支持；单位圆为讨论三角函数图像与性质提供了很好的直观载体。因此学生理解和掌握任意角三角函数的定义是学好本章的基础。为了完成教学任务，实现因材施教，我设置了两个阶梯的联系：基础达标1、填表:角角的弧度数（目的：加强对利用单位圆定义任意角三角函数的理解，并记住坐标轴上的三角函数值，为例3证明角所在象限提供完备的知识）2、（）.A.1B.-1C.D.3、已知角的终边上有一点，其中，求角的三个三角函数值.（加强对利用终边上任意一点定义任意角三角函数的应用，并建立分类讨论数学思想）能力提升2、是第二象限角，为其终边上一点，且，则的值为（）A．B．C．D．3、角的终边上有一点，且，则=______．（任意角三角函数的变式综合运用，提升能力）教学反思《任意角的三角函数》共分三个课时，第一课时主要是引入任意角的三角函数的定义，也是本节的教学重点和难点；第二课时诱导公式一的应用；第三课时利用单位圆有向线段表示三角函数即三角函数线。本节课是《任意角的三角函数》的第一课时，学生学习“任意角的三角函数这个概念是以顺应为主的认知过程，我把它分成如下六个阶段：直角三角形中的锐角三角函数---直角坐标系中的锐角三角函数---单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数---单位圆上点的坐标表示的任意角的三角函数---任意角终边上任一点坐标定义的任意角的三角函数---三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号，层层引入。在课堂教学实施过程中，创设情景很关键，我以指数函数和对数函数与生活实例相结合，引入要学习的任意角三角函数，使学生明白学习任意角三角函数有重要的实际意义，并引导学生复习锐角三角函数，为探究任意角三角函数的定义作铺垫。任意角三角函数定义是本节课的重难点，为了抓住重点突破难点，我提出了启发性的问题：任给一个值，正弦都有唯一的值与之对应，余弦哪？那正切哪？比直接问他们是不是函数好判断多了。通过单位圆来定义三角函数，渗透数形结合思想。由锐角三角函数的定义引到任意角三角函数的定义展现从特殊到一般的类比化归思想。在探索各象限三角函数的符号时我采用探究式学习方式，锻炼了学生的独立思考、自主学习的能力。课本中有些内容可以采用学生自主探究方法，比如任意角三角函数的定义