九年级数学上册圆的知识点及练习(生用)

PAGE页码页码/NUMPAGES总页数总页数九年级数学上册圆的知识点及练习(生用)一、旋转（一）．概念：1.旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.例：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转；点A、B、C分别移动到什么位置？2.中心对称图形：图形绕着中心旋转180°后与自身重合称中心对称图形（如：平行四边形、圆等）。（二）．性质1．旋转的性质：旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等).任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角).经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度.二、圆（一）.圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内；线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周；另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径。2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”；读作“圆O”(二).弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧；每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧；简称弧。弧用符号“⌒”表示；以A；B为端点的弧记作“”；读作“圆弧AB”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦；并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心；并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦；并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形；经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。第五讲：圆心角和圆周角课堂练习：1．如图；弦AD=BC；E是CD上任一点（C；D除外）；则下列结论不一定成立的是（）A.=B.AB=CDC.∠AED=∠CEB.D.=2.如图；AB是⊙O的直径；C；D是上的三等分点；∠AOE=60°；则∠COE是（）A．40°B.60°C.80°D.120°3.如图；AB是⊙O的直径；eq\o(BC,\s\up5(⌒))=eq\o(BD,\s\up5(⌒)),∠A=25°；则∠BOD=°.4.在⊙O中,eq\o(AB,\s\up5(⌒))=eq\o(AC,\s\up5(⌒)),∠A=40°,则∠C=°.5.在⊙O中,eq\o(AB,\s\up5(⌒))=eq\o(AC,\s\up5(⌒)),∠ACB=60°.求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.课堂检测1如果两个圆心角相等；那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等。B这两个圆心角所对的弧相等。C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。D以上说法都不对2．在同圆中；圆心角∠AOB=2∠COD；则与的关系是（）Aeq\o(AB,\s\up5(⌒))=2eq\o(CD,\s\up5(⌒))B.eq\o(AB,\s\up5(⌒))＞eq\o(CD,\s\up5(⌒))C.eq\o(AB,\s\up5(⌒))＜2eq\o(CD,\s\up5(⌒))D.不能确定3.在同圆中；eq\o(AB,\s\up5(⌒))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BC)),则（）AAB+BC=ACBAB+BC＞ACCAB+BC＜ACD.不能确定4．下列说法正确的是（）A．等弦所对的圆心角相等B.等弦所对的弧相等C.等弧所对的圆心角相等D.相等的圆心角所对的弧相等5．如图；在⊙O中；C、D是直径上两点；且AC=BD；MC⊥AB；ND⊥AB；M、N在⊙O上。求证：eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AM))=eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BN))二、圆周角课堂练习：1．下列说法正确的是（）A相等的圆周角所对弧相等形B直径所对的角是直角C顶点在圆上的角叫做圆周角D如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半；那么这个三角形是直角三角形。2．如图；△ABC内接于⊙O；若∠OAB=28°；则∠C的大小为（）A.28°B.56°C.60°D.62°3.如图,在⊙O中,∠ABC=40,则∠AOC=°.4.如图,AB是⊙O的直径,C,D,E都是圆上的点,则∠1+∠2=°.5.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB.求证:BD=CD.三、课堂检测1.如图,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD=().A.100°B.110°C.120°D130°2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,若∠BOD=80°,则∠A=()A.60°B.50°C.40°D30°3.如图,A,B,C是⊙O上三点,∠AOC=100°,则∠ABC=°.4.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在劣弧AD上,则∠BEC等于°5..如图,在⊙O中,∠ACB=∠BDC=60°,AC=,(1)求∠BAC的度数;(2)求⊙O的周长.四．小结1,圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆,要结合图形观察角的位置进行判断.2.一条弦所对的圆周角有两种(直角除外),一种是锐角；一种是钝角。3．有关圆的计算常用勾股定理计算；因此构造直角三角形是解题的关键。第六讲：圆的知识复习一、圆的基本性质1圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦；并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性；特别的圆是中心对称图形；对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或等圆中；如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等；那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理推论１：在同圆或等圆中；同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论２：直径所对的圆周角是直角；９０°的圆周角所对的弦是直径。例1如图；在半径为5cm的⊙O中；圆心O到弦AB的距离为3cm；则弦AB的长是（）A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm例2、如图；A、B、C、D是⊙O上的三点；∠BAC=30°；则∠BOC的大小是()A、60°B、45°C、30°D、15°例3、如图1和图2；MN是⊙O的直径；弦AB、CD相交于MN上的一点P；∠APM=∠CPM．（1）由以上条件；你认为AB和CD大小关系是什么；请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部；上述结论是否成立？若成立；加以证明；若不成立；请说明理由．(1)(2)例4：如图,AB是⊙O的直径；C是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))的中点；CE⊥AB于E；BD交CE于点F。求证：CF=BF练习：1、已知：如图；AB为⊙O的直径；弦CD交AB于P；且∠APD＝60°；∠COB＝30°；求∠ABD的度数．2、如图；△ABC中；AB＝AC；∠A＝80°；以AB为直径的半圆交AC于D；交BC于E．求所对圆心角的度数．3、如图；圆的弦AB、CD延长线交于P点；AD、BC交于Q点；∠P＝28°；∠AQC＝92°；求∠ABC的度数．4、已知：四边形ABCD内接于⊙O；且∠BOD＝100°．求∠A的度数．第七讲：平面内点和圆的位置关系一、点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时；d＞r；反过来；当d＞r时；点在圆外。当点在圆上时；d＝r；反过来；当d＝r时；点在圆上。当点在圆内时；d＜r；反过来；当d＜r时；点在圆内。例如图；在中；直角边；；点；分别是；的中点；以点为圆心；的长为半径画圆；则点在圆A的_________；点在圆A的_________．练习：在直角坐标平面内；圆的半径为5；圆心的坐标为．试判断点与圆的位置关系．二、圆与三角形的关系1、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。2、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点；即三角形外接圆的圆心。3、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。4、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点；即三角形内切圆的圆心。例1如图；通过防治“非典”；人们增强了卫生意识；大街随地乱扔生活垃圾的人少了；人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中；如图24－49所示；A、B、C为市内的三个住宅小区；环保公司要建一垃圾回收站；为方便起见；要使得回收站建在三个小区都相等的某处；请问如果你是工程师；你将如何选址．例2如图；点O是△ABC的内切圆的圆心；若∠BAC=80°；则∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°例3如图；Rt△ABC；∠C=90°；AC=3cm；BC=4cm；则它的外心与顶点C的距离为（）．A．5cmB．2.5cmC．3cmD．4cm练习1：1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形的各边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在三角形内。其中正确的个数为（）A．1B.2C.3D.42.三角形的外心具有的性质是()A.到三边的距离相等B.到三个顶点的距离相等C.外心在三角形内D.外心在三角形外3.用反证法证明一个三角形任意两边之和大于第三边时；假设正确的是（）A任意两边之和小于第三边B任意两边之和等于第三边C任意两边之和小于或等于第三边D任意两边之和不小于第三边4．⊙O的半径为10cm,A；B；C三点到圆心的距离分别为8cm；10cm；12cm；则点A；B；C与⊙O的位置关系是：点A在；点B在；点C在。5．直角三角形的两直角边分别是3cm；4cm。则这个三角形的外接圆半径为cm。练习2：1．在Rt△ABC中；∠C=90°；AB=5；AC=3；以点B为圆心；4为半径作⊙B；则点A与⊙B的位置关系是（）A点A在⊙B上B.点A在⊙B外C.点A在⊙B内D.无法确定2.以平面直角坐标系的原点O为圆心,5为半径作圆,点A的坐标为(-3,-4),则点A与⊙O的位置关系是（）A点A在⊙O上B.点A在⊙O外C.点A在⊙O内D.无法确定3.如图,已知矩形ABCD的边AB=3cm；AD=4cm；（1）以点A为圆心；4cm为半径作⊙A；则B；C；D与⊙A的位置关系如何？（2）以点A为圆心作⊙A；使B；C；D三点中至少有一点在圆内；且至少有一点在圆外；则⊙A的半径r的取值范围是什么？4.如图；在△ABC中；∠C=90°；AB=5cm；BC=4cm；以点A为圆心；3cm为半径作⊙A；试判断：点C与⊙A的位置关系点B与⊙A的位置关系AB的中点D与⊙A的位置关系四．小结1．过三点作圆时；易忽略“过不在同一直线上的三点”这一前题条件；当三点在同一直线上时；无法确定一个圆。2．判断点与圆的位置关系时；只需确定点与圆心的距离及圆的半径；然后进行比较即可第八讲：直线和圆的位置关系练习：1．⊙O的半径为6。点O到直线的距离为6.5；则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离B相切C相交D内含2．设⊙O的半径为r；点O到直线的距离为d；若直线与⊙O至少有一个公共点；则r与d之间的关系是（）Ad＞rBd=rCd＜rDd≤r3．当直线和圆有唯一公共点时；直线与圆的位置关系是；；圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系为。4．已知∠AOC=30°；点B在OA上；且OB=6；若以B为圆心；R为半径的圆与直线OC相离；则R的取值范围是。二、圆的切线的性质和判定１．切线的判定定理：经过半径的并且的直线是圆的切线。２．判断一条直线是否为圆的切线；现已有种方法：一是看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系；三是利用。３．切线的性质定理：圆的切线的半径。练习1：１．下面关于判定切线的一些说法：①与直径垂直的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；④经过半径外端的直线是圆的切线；⑤经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；其中正确的是（）Ａ①②③Ｂ②③⑤Ｃ②④⑤Ｄ③④⑤２．圆的切线（）Ａ．垂直于半径Ｂ．平行于半径Ｃ．垂直于经过切点的半径Ｄ．以上都不对３．如图；AB是⊙O的直径；点D在AB的延长线上；DC切⊙O于C,若∠A=25°；则∠D等于（）Ａ４０°Ｂ５０°Ｃ６０°Ｄ７０°４．如图；两个同心圆；弦AB；CD相等；AB切小圆于点E。求证：CD是小圆的切线。练习2：1、如图；两个同心圆的半径分别为３ｃｍ和５ｃｍ；:弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为（）A4cmB5cmC6cmD8cm2、如图；若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°；切线CD与AB的延长线交于点D,且的半径为2；则CD的长为（）AB4C2D43如图；∠MAB=30°；Ｐ为ＡＢ上的点；且ＡＰ＝６；圆Ｐ与ＡＭ相切；则圆Ｐ的半径为。4．如图；在△ABC中；AB=BC；以AB为直径的⊙O与AC交于点D；过D作DE⊥BC；交AB的延长线于E；垂足为F。求证：直线DE是⊙O的切线。三、圆的切线长性质切线长定义：经过圆外一点作圆的切线；这；叫做圆的切线长。2切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线；它们的。这一点和圆心的连线。3．三角形的内切圆：与三角形各边；叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心是三角形的交点；叫做三角形的。练习1：1.如图；从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB,切点分别A、B,如果∠APB=60°；PA=10；则弦AB的长（）A．5B.C.10D.2.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC等于()A.130°B.100°C.50°D.65°如图,⊙O与∠ACB两边都相切,切点分别为A,C,且∠ABC=90°,那么四边形ABCO是4．.如图；PA；PB是⊙O的切线；A；B为切点；∠OAB=30°；求∠APB的度数。练习2：1．已知直角三角形的斜边长为了13ｃｍ；内切圆的半径是２ｃｍ；则这个三角形的周长是（）Ａ３０ｃｍＢ２８ｃｍＣ２６ｃｍＤ２４ｃｍ2．如图；△ABC的内切圆与各边相切于D；E；F；且∠FOD=∠EOD=135°；则△ABC是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形3如图；PA；PB是⊙O的切线；A；B为切点；⊙O的切线EF分别交PA；、、PB于E、F；切点C在eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))上；若PA的长为2；则△PEF的周长是四．小结１．在利用数量关系判断直线与圆的位置关系时；易忽略条件“圆心到直线的距离“；盲目选择圆心到直线上某一点的距离进行判定；导致出现错误的结论；应引起注意。２．要判断直线与圆的位置关系有两种方法：一看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系。3．在证明圆的切线问题时；常作两种辅助线：若已知一直线经过圆上一点；则连接这点和圆心得半径；证明该直线与半径垂直；若不知直线与圆有无公共点；则过圆心作直线的垂线；证明垂线段等于圆的半径。4．已知一条直线是圆的切线时；常作辅助线为连接圆心与切点；得半径；那么半径垂直于这条切线。5.切线长与切线是两个不同的概念；切线是直线；不能度量；切线长是线段的长；这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点；可以度量。注意区别和联系。第九讲：点及直线和圆的位置综合练习1.如图；已知ＰＡ是⊙O的切线；Ａ是切点；ＰＣ是过圆心的一条割线；点Ｂ；Ｃ是它与⊙O的交点；且ＰＡ＝８；ＰＢ＝４；则⊙O的半径为。2．如图；在平面直角坐标系中；点A在第一象限；⊙A与X轴相切于B,与Y轴交于C(0,1)D(0,4)两点；则点A的坐标是（）A.(,)B.(,2)C.(2,)D.(,)3．如图；ＡＢ为半圆Ｏ的直径；点Ｃ在半圆Ｏ上；过点Ｏ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于点Ｅ；交过点Ａ的直线于点Ｄ；且∠Ｄ＝∠ＢＡＣ。求证：ＡＤ是半圆Ｏ的切线。4、如图；⊙O是△ABC的外接圆；D是弧AB上一点；连结BD；并延长至E；连结AD若AB＝AC；∠ADE＝65°；试求∠BOC的度数．5、在中；BC=6cm；∠B=30°；∠C=45°；以A为圆心；当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？6．如图；AB为⊙O的直径；C是⊙O上一点；D在AB的延长线上；且∠DCB=∠A．（1）CD与⊙O相切吗？如果相切；请你加以证明；如果不相切；请说明理由．（2）若CD与⊙O相切；且∠D=30°；BD=10；求⊙O的半径．7.如图；PA；PB是⊙O的切线；A；B为切点。求证：∠AOB=∠APB。8.如图；直角梯形ABCD中；AB⊥BC；AD＝4；BC＝9；CD＝13；以AB为直径作⊙O；是判断⊙O与CD的位置关系并证明你的结论.9.如图；MN是⊙O的直径；MN＝2；点A在⊙O上；∠AMN＝30°；B为的中点；P为直径MN上一动点；求PA＋PB的最小值．10.如图；ＡＢ为半圆Ｏ的直径；点Ｃ在半圆Ｏ上；过点Ｏ作ＢＣ的平行线交ＡＣ于点Ｅ；交过点Ａ的直线于点Ｄ；且∠Ｄ＝∠ＢＡＣ。求证：ＡＤ是半圆Ｏ的切线。第十讲、圆与圆的位置关系一、圆与圆的位置关系：重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．难点：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．相离：外离：两圆没有公共点；