2022-2023学年湖南省衡阳市雁峰区名校高一年级上册学期期末考试数学试卷含答案

衡阳市雁峰区名校2022-2023学年高一上学期期末考试

数学

考试时间：120分钟试卷满分：150分

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.与-20°角终边相同的角是（）

A.-300°B.-280°c.320°D.340。

2.不等式3-一8-2*0的解集是（）

A,卜一14TB.卜MTc.卜卜［3

-<1

3“.x>1”是“x，，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件

,小）=（；）-x-f

4.函数的零点所在的一个区间是（）

0,1

A.（-3,-2）B.（-27）C.（-叫D.（）

5.已知指数函数/。）=优,将函数/（X）的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大

为原来的倍，得到函数g（x）

的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象

恰好与函数/*）的图象重合

•，则〃的值是（）

22

C.3D.百

A.2B.3

।।71

6,函数/(x)=2sin®x+e)(。＞(),“的部分图象如图所示，则/（"）=（）

:/?A—B.

2C,2D.百

丸/Li

W-27.已知函数”)_ax—\

-x-a在（2,+oo）上单调递减，则实数。的取值范围

是()

A(-8—1)(1+8)B.（-L1）

C(-%7)51,2]D（-8,-1）5,2）

8.已知20"=22,22"=23,a，=b,则圆4c的大小关系为（）

A.c>a>b>a>CQa>c>bY）a>b>c

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得

2分，有选错的得0分）

9.下列说法中正确的是（）

ab

二—>-^—

A.若a>b,则，+1c+1B.若-2<a<3,\<b<2,则

mm

—〈—

C.若a>b>0,m>0,贝ija6D.若a>b,c>d,贝ijac>bd

工

io.下列各式中，值为5的是（）

.5兀IV3

2o

A,加0sin45c.2个D,丁皿210

11.已知函数g（x）=lg^/x2+l-x）则（）

A.函数/（X）为偶函数B.函数8（*）为奇函数

C.函数“x）=/（x）+g（x）在区间［TH上的最大值与最小值之和为0

D.设尸G）="x）+g（x）,则尸（2a）+尸（—-）<0的解集为（1,+8）

/(x)=sin(2x+?

12.已知函数，则（）

A.函数y=u（x）i的最小正周期为万

5

X——71、

B.直线8是y=/w图象的一条对称轴

C.0肛0）是V="X）图象的一个对称中心

71

D.若0〉。时，/（3）在区间12'」上单调，则。的取值范围是（0口或U3

（'8「卬8」

3、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）

13.若函数/（x）=tan（0r+§3HO）的最小正周期是］，则。的取值可以是.（写

出一个即可）.

14.已知函数/G）=asinx+&+1,若止1）=2,则〃1）=

15.己知：max力}二4

I'[ba<b.

设函数/G）=max{2j,4-|x-2]},若关于x的方程分）=，有三个不相等的实数解，

则实数的取值范围是.

TC34

16.设函数/（x）=2sm3+。）-13>0）,若对于任意实数夕，小）在区间[了4]上

至少有2个零点，至多有3个零点，则。的取值范围是

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

sin2(〃-a)♦cos(24-a)•tan(-〃+a)

己知/（a）

sin(一乃+a)•tan(-«+3万)

(1)化简/(a);

(2)若a=—子3ITT，求/(a)的值.

18.（本小题满分12分）

已知集合)={xCR|210g2X/log2(2x},集合8={x€R|(X-1)(x-a)<0}.aCR

（1）求集合小

（2）若8UCR/,求。的取值范围.

19.（本小题满分12分）

f（x）=ax+-z_]卜,J]

己知函数x,a,bsR,且该函数的图象经过点刃，I2人

（1）求a,b的值；

（2）己知直线>="+优（"*1）与x轴交于点7,且与函数/（、）的图像只有一个公共点.求

口外的最大值.（其中。为坐标原点）

20.（本小题满分12分）

比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动

力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对

比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h.经数次测试，得到该纯电动汽车

每小时耗电量。（单位：wh）与速度x（单位：km/h）的数据如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量°与速度x的关系，现有以下三种函数

模型供选择：

P，（x）=—X3-2x2+CX02（X）=1-fw]

①50；②V3J;Q3（x）=3001og〃x+b.

（1）当04x460时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），

并求出相应的函数表达式；

（2）现有一辆同型号纯电动汽车从衡阳行驶到长沙，其中，国道上行驶50km,高速上行驶

300km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量0与速度

x的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速x（单位：km/h）满足xw[80,120],

且每小时耗电量N（单位：wh）与速度x（单位：km/h）的关系满足

N（x）=2x2-10x+200（80<x<120）则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的

总耗电量最少，最少总耗电量为多少？

21.（本小题满分12分）

已知sinx+cosx=t,'‘["也]

⑴当一万且x是第四象限角时，求sinJ-cos'的值;

⑵若关于x的方程-sin%cosx+a(sinx+cosx）=1有实数根，求。的取值范围.（

a3-h3=(a-h)(a2+ah+h2^

22.（本小题满分12分）

已知函数/G）的定义域为。，若存在实数。，使得对于任意王0都存在々6°满足

三一—“，则称函数/（X）为“自均值函数”，其中。称为/（X）的“自均值数”.

⑴判断函数是否为”自均值函数，，，并说明理由:

九

g（x）=sin3x+—）（ty>0）

（2）若函数6,xe[0，l]为“自均值函数”，求。的取值范围;

⑶若函数〃(x)="+2x+3,xw[0,2]有且仅有i个“自均值数0求实数的值.

衡阳市雁峰区名校2022-2023学年高一上学期期末考试

数学

参考答案：

1.D

【分析】由终边相同的角的性质即可求解.

【详解】因为与一20°角终边相同的角是-20。+360。&，keZ,

当％=1时，这个角为340°,

只有选项D满足，其他选项不满足AeZ.

故选:D.

2.C

【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】解：3X2-X-2=(3X+2)(X-1)W0

2T,

x<——1

解得：3

故选：C.

3.A

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

1<11—^<0

【详解】解：因为x，所以x，.-.x(x-l)>0)

x<0或x>l,

一<1

当X>1时，x<0或X>1一定成立，所以“X>1”是“X”的充分条件；

-<1

当X<0或X>1时，X>1不一定成立，所以“X>1”是“X”的不必要条件.

-<1

所以，，X>1„是“X”的充分不必要条件.

故选：A

4.B

【分析】由零点的存在性定理求解即可

【详解】•「CM〉。，/（-2）=1>°,

/（-!）=-2<0/（0）=-4<0）

根据零点的存相性定理知，

函数，（x）的零点所在区间为（—2，-1）.

故选：B

5.D

【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数。的

等式，进而可求得实数”的值.

【详解】由题意可得g（x）=3"',再将g（x）的图象向右平移2个单位长度，得到函数

/（x）=3广2

又因为所以，。*=3优一2,整理可得/=3,

因为。>0且”1,解得a=G.

故选：D.

6.A

【解析】由函数/G）的部分图像得到函数/G）的最小正周期，求出代入（12'J求出

。值，则函数/（X）的解析式可求，取x=%可得/（/）的值.

【详解】由图像可得函数,（X）的最小正周期为J"」？（121］一"，则”=T=2.

—4-^9=2ATC+—(p=2k冗一三

则62,丘Z,则3,左£Z,

7in/(x)=2sinf2x-y

,•----<(p<——(p=—

22,则4=0,3,则

=2sinf2^--yj=-2siny=-73

3

故选：A.

f(x)=力sin(dzr+e)+b[/〉0,o>Oj同<]

【点睛】方法点睛：根据三角函数的部分图像

求函数解析式的方法：

f(x)-/(x).x+x

h:A=J'/max\'min6y(Lx/(L

(1)求A、22

2万

co——

(2)求出函数的最小正周期T,进而得出T;

(3)取特殊点代入函数可求得。的值.

7.C

f(x)=-_-+a

【分析】先用分离常数法得到8-a，由单调性列不等式组，求出实数。的取值范

围.

//、ax-1a(x-a)+a2-1a2-1

/(x)=------=------------------=-------+a

【详解】解：根据题意，函数.x-ax-a,

a2-l>0

若/(X)在区间⑵”)上单调递减，必有1g2,

解可得："-1或即。的取值范围为(Y°,T)51,2],

故选：C.

8.D

【详解】分别对2。"=22,22*=23,两边取对数，得。=1。8?。22,^='og2223；

c=log”b

lg22lg23(lg22)2-lg20.lg23

a-ft=log22-log,23=

202lg20-lgH-lg20-lg22

由基本不等式，得:

Q0」g23<H2H臂[<(若明(等卜*y

所以(lg22)2-lg20-lg23>0,

即。一6>0,所以a>b>l.

又c=log“b<bg“a=l,所以a>z>>c

故选：D.

9.AC

【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.

1ab

【详解】对于A,因*+1>0,于是有/+1>0,而a>b,由不等式性质得^+1>/+1,A

正确；

对于B,因为1〈X2,所以-2V-X-1,同向不等式相加得-4<a-X2,B错误；

竺

对于C,因为a>b>0,所以4b,又因为加>0,所以。b,C正确；

对于D,T>-2且-2>-3,而(-1>(-2)<(-2)(-3),即改>比不一定成立，D错误.

故选：AC

10.ABD

【分析】利用诱导公式、指数募的运算以及特殊角的三角函数值计算各选项中代数式的值,

可得出合适的选项.

.5兀.(兀、.兀1

sin—=sin兀——=sm—=—

)

【详解】对于A选项,6V662

・2代⑷

sm45=——

2

对于B选项，I>2

16

2

对于C选项,F-

争an2W=争an(180+30)=争an30。邛=；

对于D选项,

故选：ABD.

11.BCD

【分析】根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案

f(x)=-------f(-x)=------=----------=—/(X)

【详解】对于A：.1+2］定义域为R,.1+2-,1+2'-

则/(X)为奇函数，故A错误；

对于氏g(x)=lg——X),定义域为人,

g(-X)=1g《(-X?+1_(-x)>-lg(^Jx2+\-x>-g(x)

则g(x)为奇函数，故B正确：

对于C：*x)=/(x)+g(x),〃x),g3都为奇函数，

M(x)=/(x)+g(x)为奇函数，

尸(x)=/(x)+g(x)在区间上的最大值与最小值互为相反数，

必有E（x）在区间[T[]上的最大值与最小值之和为0,故C正确；

心=U=_（2、1-2]=_2__1

对于D：1+2'I2'+1）2»+1,则/（x）在R上为减函数,

g（x）=lg（^x-+\-x）=1g-r=；-

'/yJx-+\+x,则&（V在&上为减函数，

则«x）=/（x）+g（x）在R上为减函数，

若/（2。）+尸（一1一4）<0即/（24）<尸（1+4）,

则必有2a>1+。,解得。>1,

即/（2"）+尸（--）<。的解集为（1，+8）,故D正确；

故选：BCD

12.BCD

/（x）=sin（2x+f]r=—=

【详解】因为函数I4J的最小正周期为2,

兀

而函数〃x）i周期为5,故A错误;

55乃、.57r7iA.,3兀、[

x-—n/(——)=sin2x——十—=sin(——)=-1

当8时,8I84)2

_5

所以直线'-W"是歹=/（X）图象的一条对称轴，故B正确;

x=^zr/（K）=sin（2x,+?）=sin（乃）=0故C正确

7171

f(cox)=sin(2Gx+—)

G>°时，4在区间L2」上单调,

2Gx+—£①乃十一,2①乃十一

即4L44.

冗7T

0）71+—>0。乃+—2—

《442

C冗，3冗

2。.071+、—冗<,—冗lCD7C+—<—

所以142或42

0<6y<--<69<—

解得8或48,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】⑴应用公式时注意方程思想的应用，对于s/力a+cosa,sina—cosa,s山acosa这三

个式子，利用（s加oicosa）2=\±.2sinacosa可以知一求二.

（2）关于sina,cosa的齐次式，往往化为关于tana的式子.

13.2或-2（写一个即可）

14.0

15.2<1<4

【分析】根据函数新定义求出函数”X）解析式，画出函数”X）的图象，利用转化的思想将

方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出f的范围.

【详解】由题意知，令2-'=4-卜-2],解得x=0,x='2,

2Z，x<0

,、\a,a>b/（X）=]4-|X-2|,0<X<X2

max\a,、

根据‘l瓦a<b,得[2,x_x2,

作出函数/（X）的图象如图所示，

由方程〃x）T=°有3个不等的根，

得函数'=/（'）图象与直线夕='有3个不同的交点，

由图象可得，当2<，<4时函数夕=/（刈图象与直线V=，有3个不同的交点,

所以f的取值范围为2<f<4,

故答案为：2</<4

440＜竺

16.：3

_11

sint—y=一

【分析】'=°x+s,只需要研窕2的根的情况，借助于夕=$»1/和.2的图像，根

据交点情况，列不等式组，解出/的取值范围.

〃.八sin（cox+（p}=-

【详解】令〃x）二°,则、2

1

sin/—

令t=(ox+(p,则2

7134

-(o+(p,—g+81

44sin/=—

则问题转化为N=sin/在区间L-」上至少有两个，至少有三个f,使得2,

求①的取值范围.

1

由题意列不等式的:

71夕万+%

2万<<2

4

4“<<y<—16

解得：3.

【点睛】研究尸4si〃(s+°)+8的性质通常用换元法(令t=3x+(p),转化为研究

y=sinf的图像和性质较为方便.

sin2(兀-a)，cos(2兀-a)，tan(-兀+a)

17、解：(l)/(a)=

sin(-兀+a)•tan(-a+3兀)

.2

sina.cysa.tan?=sina・cosa…5分

(-sinJ)(-tana)

(2)；a=-212L=-6X5兀

2兀*-，

30

/./(-31兀)=cos(-兀)sin(-31兀)=cos(-6X2KA5-兀)、

333o

旺)=cos/sin

sin(-6X27TX(--分

33324

J

18、解：(1)根据题意，集合4={x€R|210g2X，Iog2(2x)),即lOg2x1og22x

则4、2)2X,得则集合/={X€R|X22},

x>0

(2)CR^={X6R|X<2},又集合5={XWR|(x-1)(x-a)<0},

①当。=1时，（x-1）2<0,则无解，故8=0,满足8GCR4,

②当。>1时，由（x-1）（x-a）<0,得1VxVa,若5GCR4,则Q<2,得

l<a<2,

③当〃VI时、由（x-1）（x-tz）<0,得qVxVl,显然满足5GCR4

综上所述，a的取值范围是（-co,2].

\a=\

19.（I）1'=T；（n）i.

【分析】（I）根据已知点的坐标，利用函数的解析式，得到关于a/的方程组，求解即得;

（口）设M⑼厕直线尸去+"（**1）方程可以写成尸"（I）,与函数

y=/G）=x-—

x联立，消去歹，利用判别式求得,利用二次函数的性质求得

产取得最大值1,进而得到的最大值.

-a-b=0

<cb3a=1

2。H—=一

【详解】（I）由已知得122,解得b=-l

（□）设则直线了=丘+加（”"）方程可以写成^"（"一'）,与函数

y=f（x）=x-联立，消去九并整理得（I）-—也+1=。

-2_4依-1)=0

由已知得判别式

当工-5时，”取得最大值1,所以l°TLax=KL=l.

20.【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不

等式和二次函数求出最值即可得解.

【详解】（1）解：对于③2（x）=3001og“x+6,当x=0时，它无意义，故不符合题意,

>1010

e2u)=i-f|T1Aa(io)=i-f||I<

对于②⑶，当x=l。时，I又°<(I)

/^\|0

32

22(10)=1-—<1Q(x)=J_x_2x+ex

所以131,故不符合题意，故选①50

—X103-2X102+CX10=1420

由表中的数据可得，50,解得c=160

〜、1a

Q（x）=—x3-2x72+160x

50.（不需要说明理由，写对解析式即可）

300

-----n1

(2)解：高速上行驶300km,所用时间为x,

f(x)=—•7^(x)=--(2X2-10X+200)=600f.r+—V3000

则所耗电量为*x、<xJ

由对勾函数的性质可知，/（X）在［80［20］上单调递增,

100)

=/(80)=600x80+记J-3000=45750wh

—h

国道上行驶50km,所用时间为x,

g（x）=—-Q（x）=—J—x}-2x2+160x|=x2-100.r+8000

则所耗电量为xx150J,

...04x460,...当x=50时，g（x）mh,=g（50）=5500wh,

二当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h,在国道上的行驶速度为50km/h时,

该车从衡阳行驶到长沙的总耗电量最少，最少为45750+5500=51250wh.

577

21.(1)16

⑵L+8)

【分析】（1）由同角三角函数的平方关系求出sinxcosx、sinx-cosx的值，再结合立方差

公式可求得所求代数式的值；

（2）由已知可得出一?+'""一°,回°，伺，分，=0、0<Y&两种情况讨论，在

厂”［小］

f=0时直接验证即可，在0<f4J2时，由参变量分离法可得出21t）,结合基本不

等式可求得实数。的取值范围，综合可得结果.

t=-sinx+cosx=~(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=—

【详解】(1)解：因为2,即2,则'4,

3

smxcosx=——

即8,

(sinx-cosx)2=l-2sinxcosx=—

所以4.

因为x是第四象限角，则sinx<0,cosx>0,所以sinx-cosx<0,所以

sinx-cosx=------

2,

sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2

所以

(2)解:由(sinx+cosx?=l+2sinxcosxsinxcosx=

可得

-sinxcosx+6F(sinx+cosx)=1Ze[0,V2]

则方程可化为22

---00

①当上=°时，2,显然方程无解;

a=

②当时，方程22等价于

>41X2JZ--=1

当血时，由基本不等式可得

2，当且仅当，=1时，等号成立,

八1

+——>+oo

又/,

故21,

所以要使得关于x的方程-sinxcosx+a(sinx+cosx)=1有实数根，则〃21

故。的取值范围是

22.(1)不是，理由见解析；

「5乃、

[—,+<»)

⑵6;

-3-亚

(3)5或4

【分析】(1)假定函数/a)=2'是“自均值函数”，由函数/(々)的值域与函数y=2°-玉的值

域关系判断作答.

(2)根据给定定义可得函数g(、2)在［0,1］上的值域包含函数y=2a-玉在［0,1］上的值域，由此

推理计算作答.

(3)根据给定定义可得函数"(超)在@2］上的值域包含函数了=2a-西在@2)上的值域，再借

助a值的唯一性即可推理计算作答.

(1)

假定函数〃x)=2'是"自均值函数，，，显然〃x)=2'定义域为R,则存在a@R,对于％eR,

西+2*2_

存在X2‘R,有2",

即2-=2。-玉，依题意，函数〃、2）=2'2在R上的值域应包含函数）在R上的值

域,

而当/eR时，值域是（。,+8）,当再eR时，y=2a-玉的值域是R,显然（0,田）不

包含R，

所以函数/"）=2'不是"自均值函数”.

⑵

一+g(X2)=.

依题意，存在aeR,对于V±e[0,l],存在*2q0,1],有2，即

sin(69x2+-)=2a-xl

~6.

当%e血1］时，y=2。-百的值域是［2。-1,2a］,因此月小）一‘m（"+1）在/6［0,1］的值域

包含［2。-1,2a］,

「八11-WCDXj4WH

当当近0,1］时，而0>0,则6-66,

若"+7一5,则g"2mM_5,g（X2）41,此时g（%）值域的区间长度不超过5,而区间

［2a-1,20长度为1,不符合题意,

于是得@+不>5,g（Z濡=1,要以々）一sin®W+6）在X2e［0,1］的值域包含［2a-1,2a］

则g（x?）=sin®+］）在±€［0,］］的最小值小于等于0,