2022-2023学年苏教版必修第一册基本不等式复习讲义

专题3.2基本不等式

一、考情分析

-［重要不等式］

-［基砒知识卜一（基本不等式］

基本不等式与最值］

H基本不等式1--［利用基本不等式求函数的最

-［变形技巧：“1”的代换［

T基本题型卜

-1忽视等号成立的条件而致误1

基本不等式

-［利用基本不等式比较数的大，」口

（---------,T和定积最大j

H基地知识H;［

1------------1y7丁和最小］

—基本不等式的应用一证明与最值问题卜L（字母轮换不等式的证法］

-［基本题型卜一］求参数的取值范国问题］

T均值不等式在实际问题中的加］

二、考点梳理

【基本不等式（或）均值不等式】

2

【基本不等式的变形与拓展】

1.（1）若a,/?£R,则/+〃2之2出?；（2）若£/?,则"十"（当且仅当。=6时取

一2

2.（1）若。>0力〉0,则巴心之至；（2）若。>0乃>0,则。+〃之2而（当且仅当。=匕时

2

取"="）；

a=b

⑶若a>0fb>0,则ab<（审J（当且仅当时取

3•若x>0,则x+，22（当且仅当x=l时取"=〃）；若x<0,则x+,«—2（当且仅当工=一1

XX

时取"="）；若XHO,则x+222,即龙+,22或％+，4-2（当且仅当a=6时取

XXX

若ah>0,则且+222(当且仅当a=b时取"=")；若曲。0,则q+222,即

4.

hababa

或0+2K—2(当且仅当。=人时取

ba

5.一个重要的不等式链:

6.函数“力=依+々。>0力〉0)图象及性质

⑴函数/(x)=ax+—(4、6>0)图象如右图所示:

X

(2)函数/(x)=ox+—(a、b>0)性质:

x

①值域：(-oo,-2,+8卜

7.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求

它们的积的最小值,正所谓"积定和最小，和定积最大"；

(2)求最值的条件"一正，二定，三相等"；

⑶均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有

广泛的应用.

三、题型突破

(-)利用基本不等式求最值

2

例1.(1)若x>0,则尤+—的最小值为.

x

【答案】2拒

【解析]\-x>0^x+->2y[2,当且仅当x=2nx=&时取等号.

XX

(2)、(2021•浙江•高二学业考试)已知正实数X、>满足个=2,则x+y的最小值是()

A.B.2及C.2D.72

【答案】B

【分析】

利用基本不等式可求得结果.

【详解】

由基本不等式可得x+y22而=20，当且仅当x=y=0时，等号成立.

因此，X+N的最小值是2夜.

故选：B.

【变式训练-1】、(2022•浙江•高三专题练习)已知X/0,则x+3的取值范围是()

X

A.(-oo,-4]B.[4,+oo)

C.y,-4]U[4,+8)D.R

【答案】C

【分析】

分别讨论x>0和x<0两种情况，根据基本不等式，即可求得答案.

【详解】

4I~44

当x>0时，x+->2,x--=4,当且仅当》=一，即x=2时等号成立，

X\XX

4

所以x+-£[4,+co),

X

当X<0时，x+-=-+<-2=-4,

xL(-幻」V(一幻

4

当且仅当-x=即x=-2时，等号成立，

-X

4

所以X+-G(YO,-4].

X

综上：x+3的取值范围是(-«),-41U[4,+a)).

X

故选：C

【变式训练『2】、(2020•江苏省黄桥中学高二月考)当x>l时，函数y=4x+_\的最小

X-1

值为()

A.8B.7C.6D.5

【答案】A

【分析】

根据给定条件配凑，再利用均值不等式求解即得.

【详解】

当x>l时，y=4x+—=4(x-l)+—+4>2J4(x-l)--+4=8,当且仅当

x-\x-\Vx-1

13

4(x-l)=——，即》=一时取

x-\2

31

所以当x=A时，函数y=4x+」7的最小值为8.

2x-1

故选：A

例2.(1)、(2020•浙江省杭州第二中学高一期中)(多选题)《几个原本》中的几何代数法

研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数

公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线段AB上

的点，且AC=a,BC=b,。为A8的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交

半圆于3,连接。。，AD,BD,过点C作。。的垂线，垂足为E,则该图形可以完成的

无字证明有()

A.b>0）B.cT+b2>2ab[a>0,b>0）

C,9Nj（a>0，&>。）D,<z竽（。>0,占>0）

【答案】AC

【分析】

直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果.

【详解】

解：根据图形，利用射影定理得：CD2=DEOD,^OD=^AB=^a+h）,

CD2=ACCB=ab,

2

nP_CD_ah

所以访=正

2

由于OD.CD,

所以土也...

2

由于CD.QE,

rjrN而.•卫2=一~^(。>。力>口)

所以a+h11

—।—

ah

故选：AC.

（2）.（2021•陕西省子洲中学高二开学考试（理））数学里有一种证明方法叫做

Proofswithoutwords,也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证

自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优

雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形AABC中，点。为斜边AB的中点，点。为斜边

AB上异于顶点的一个动点，设=BD=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

oa+b\a~+b~A.八、

A.--->Q,b>0)丁气~^~9>°力>。)

3^-<

C.>0,Z>>0)D.a2+b2>2>fab(a>0,b>0)

a+b

【答案】B

【分析】

根据等腰直角三角形的性质，分别表示0C和CO,根据长度关系，判断选项.

【详解】

由图可知，OC=^AB=^-,OD=\OB-BD\=^--li

在中，CD=Joe?+on?=住也1,显然OCWCD,

a+bla2+b2

即

2-v-T~

故选：B.

【变式训练2-1】、（2021•浙江•金华市方格外国语学校高一月考）（多选题）己知。>0,b>0,

下列命题中正确的是（）

A.若a+b=2,则lga+lg方<0B.若ab-a-2b=0,则a+»29

C.若n+b=2,则3正D.+=.则而+“+%215+6布

bab22a+1b+23

【答案】AC

【分析】

对于AB选项，构造合适的表达式，利用基本不是求最值即可；而对于CD选项，需要消元,

将表达式化简成关于〃或人的表达式，接着整理化简，最后利用基本不等式求解即可.

【详解】

若a+b=2,则劭4学）一=1,当且仅当。=11=1时等号成立，所以lga+lgb40成立，故

A正确；

若而一a—2b=0,则〃0=a+»,a+2b=ab=—xax2b<—x（|,

22[2J

所以。+如28,当且仅当即。=4,6=2时等号成立.故B错误;

,,,八„,a11a2+11_)+ii

右。+匕=2,则7+下-7=——

bab2ab2a(2-a)2

r-psici~+11ci~—2a+2a+112a+13

17sIyj---------=-----------------=----------

2a-a222a-a22la-er2

令/=2z+l,则，£(1,5),

所以

2。+13t341343、43逐

2

2…22”1_(X)226t-t-526_(,+5)2-6-2石22,

当且仅当1=有即4=且二1/=匕5时等号成立，故C正确；

22

—+—!—=-,则3（。+1）+3（〃+2）=（a+1）S+2）,

a+\h+23

BPah=a+2h+7,显然bwl,所以。=匚---，又

b-l

〃>0,所以6>1,

.71"r46+14,_3从+汕+7

右。/?+〃+/?=2。+36+7=-----+3a0+7=----------

b-lb-l

所以也任丝26+型+14*2后+14=14+6#,

b-lb-l

当且仅当人=#+l,a=2+域时等号成立，故D错误；

2

故选：AC

【点睛】

在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是"一正一一各项均为正；

二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.

【变式训练2-2】.（2020•江苏省南京市第十二中学高一月考）（多选题）下列命题正确的

是（）

c44

A.若a工0,则矿H—7N4B.若。<0,贝!Jan—N—4

aa

C.若a>0,Z?>0,则a+D.若avO,b<0,则2+

【答案】ACD

【分析】

根据基本不等式〃一正，二定，三相等〃的原则即可得到答案.

【详解】

易知C正确；

对A,因为“0,所以/>o,则〃+3之242:=4,当且仅当/=：na=±2时取

crVa-a~

正确；

4

对B,若。=—1,则。+—=-5,错误；

a

对D,因为。<0,b<0,所以：>0,2>0,则：+222、解=2,当且仅当乌=2=>。=6时

baba\baba

取正确.

故选：ACD.

（二）不等式变形技巧：“1”的代换

21

例3.（1）（2020•六安市裕安区新安中学）已知都是正数，且一+—=1,则x+y的最小

%y

值等于

A.6B.472

C.3+2&D.4+2&

【答案】C

【详解】（工+丁）（2+，］=互+2+322</1^^+3=2/+3，故选C.

（XyjXy\Xy

（2）.函数y=ai（a>0,。彳1）的图象恒过定点A,若点A在直线

7nx+〃y-1=0（根〃>0）上，则一+—的最小值为.

mn

【答案】4

【解析】函数丁="1（。>0,。声1）的图象恒过定点4（1,1）,lm+l-n-l=0,m+n=\,

m,n>0,

（方法一）：m+n>mn=>A2,2、/"22・2=4（当且仅当m=n=1

Vmnmn\mn2

时等号成立）.（方法二）：一+—=（一+一）・。77+〃）=2+—+—N2+2J--------=4（当

mnmnmnvmn

且仅当m二n=,时等号成立）.

2

19

（3）.（2021•江西宜春市•丰城九中高二期中（文））已知a>0,Z?>0,a+h=l,则一+：的

ab

最小值是・

【答案】16

【分析】

利用基本不等式求得上1+［Q的最小值.

ab

【详解】

依题意，+2=m+力x'+2）=io+2+%之10+2J2•%=io+6=i6.

abababNab

当且仅当〃=:1，3时等号成立.

44

故答案为：16

【变式训练3-1】.（2018•河北石家庄市•石家庄一中高一期中（文））若正数满足

L+1=1,则4"+/?的最小值为（）

ab

A.7B.1（）C.9D.4

【答案】C

【解析】

分析：由，+』=1,可得4。+匕=（4a+b）仕+」，进而展开用基本不等式可得最小值.

ab\ab）

详解：由，+」=1,可得44+8=（4。+人）（工+!）=4+色+2+125+21网.2=9.

ah'b）ba\ba

当且仅当空=2,即a=3,b=3时4。+。有最小值9.

ba2

故选C.

【变式训练3-2】、（2022•江苏•高三专题练习）设正实数。，b满足4+力=1,则（）

A.?有最小值4B.，石有最小值;

C.G+6有最大值&D./十〃有最小值g

【答案】ACD

【分析】

对于选项A：利用基本不等式中，结合"1"的灵活用法，即可求解；

对于选项BCD：使用基本不等式而494区尹即可求解.

【详解】

选项A：—+—=（t?+Z?）（—+—）=2+—+—>2+2J—•—=4，取等号时a=b=—,故A正确；

ahabah\ab2

选项B：而4—=g,取等号时〃=%=g,所以而有最大值故B错误；

选项C：（\[a+\/h）2=a+b+2y[ab=\+2y[ah<2,所以+或46,取等号时a=6=g,

故C正确;

选项D：由审=白产卢,化简得，a2+h2>^,取等号时”=匕=3,故D正确.

故选：ACD.

【变式训练3-3】、（2020•浙江省淳安县汾口中学高一月考）已知。>0,b>0,a+2b=3,

21

则的最小值为__________.

ab

Q

【答案】I

【分析】

171?11

将1=：（。+2）代入得至1」4+：=（二+:）（“+2份，再利用基本不等式可求最小值.

3abab3

【详解】

解：b>0,。+%=3,

21211

「•-+-=（-+-）（«+2Z?）x-

abab3

.4ba

4+——+—

二ab

3

4214ba

"'3+3\'a~9b

=?,（当且仅当竺=£即°=6=］时取等号），

3ab24

91Q

「•一+7•的最小值为w;

ab3

故答案为：g

(三)均值不等式在实际问题中的应用

例4.(2020•江苏省震泽中学高一月考)中欧班列是推进"一带一路"沿线国家道路联通、贸

易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前

车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m,底面积为12m2,且背面靠

墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给

出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每

平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为

Am(2<x<6).

(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？

(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为我警元伍>0)；

若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求。的取值范围.

【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.(2)

【分析】

(1)设总造价为元，列出y=90()(x+电)+72()().利用基本不等式求解函数的最值即可.

X

(2)由题意可得，9005+”)+7200>迎也必对任意的xe[2,6]恒成立

XX

.竺孚〉。》+1+々+6>。恒成立，利用基本不等式求解函数的最值即可.

X+lX+1

【详解】

解：(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为由(2。4),则屋子前

面新建墙体长为1萼7相，

x

则y=3(150x2x+400x2)+7200=900U+—)+7200(2轰*6)

XX

O^j900(.r+—)+7200..900x2xL—+7200=14400.

xvx

当且仅当尤="，即x=4时等号成立.

X

所以当x=4时，加=14400,

即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.

(2)由题意可得，900*+♦)+7200>900"。*刈对任意的xe[2,6]恒成立.

XX

即（x+4）-+从而。+4）-即X+I+2+6〉”恒成立，

XXx+1x+1

x+1H----+6..2、/（x+1）----+6=12.

x+\vx+\

9

当且仅当x+l=——，即x=2时等号成立.

x+1

所以0<"12.

【变式训练4-1】.（2021•江苏高三一模）甲、乙两地相距1000km,货车从甲地匀速行驶

到乙地，速度不得超过80km/h,已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固

定成本组成，可变成本是速度平方的5，固定成本为。元.

（1）将全程运输成本y（元）表示为速度u（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？

【答案】（1）y=1000（；v+$,定义域为（0,80]；（2）.见解析

【分析】

（1）由题意货车每小时的运输可变成本为固定成本为。元，求和后乘以时间即可；

4

（2）利用基本不等式求最小值，当u=40时等号成立，即知当火车以40km/h的速度行驶，

全程运输成本最小.

【详解】

（1）由题意，得可变成本为?一,固定成本为。元，所用时间为幽，

4v

所以>=华（5+4=10004+力，定义域为（0,80].

（2）y=1000f-1v+-^]>1000-2^|=1000>/«（元），

当了丫二一，得v=2«,

因为0<三80,

所以当0<“41600时，货车以v=2&km/h的速度行驶，全程运输成本最小：

当。21600时，货车以8（）km/h的速度行驶，全程运输成本最小.

（四）不等式的综合应用求参数的取值范围问题

例5.（1）、（2021•江苏•扬州中学高一月考）（多选题）若不等式x+4而4M3x+），）对所有

正数x,y均成立，则实数机可为（)

14

A.5-C.2D.4

【答案】BCD

【分析】

由题意可知刀2"+4而对所有正数x,y均成立，即〃i2，然后结合均值不

3x+y

等式求出x+4而的最大值即可.

3x+y

【详解】

:x+4，^Wm（3x+y）对所有正数x,y均成立，

二山2山逗对所有正数x,y均成立，

3x+y

3x+y」

、/max

x+4y[xy_x+4y[xyx+4yjxy_x+4y[xy4

又3x+y%+（>+'>+2历1+3而3，

9

当且仅当=y时等号成立，

4

4

m>—,

3

故选：BCD

,1?2

（2）.（2021•阜阳市耀云中学高二期中）设若』+恒成立，则k的最

大值为.

【答案】6+4应

【分析】

由基本不等式求得不等式左边的最小值即可得参数范围.

【详解】

因为0vm<g,

所以2+221-21-m+口

=—+-----=2m+=23+1

m1-27«m1mm

-----m•-——m——m

2227

tn\-2m-,,k

-----x------F3=6+4y12

1m

2~m)

Jm_1—2m

即机=立史时等号成立.

当且仅当1—二丁］

——m2

2

所以k46+4&.

故答案为：6+4A/2.

Q

【变式训练5-1】、（2021•江苏•高一课时练习）已知不等式2x+m+—；>（）对一切工£（1,住）

X—1

恒成立，则实数机的取值范围是（）

A.m<—8B./%<—10C.HI>—8D.>-10

【答案】D

【分析】

OQ

由参变量分离法可得r〃<2x+—利用基本不等式求出当xe（l,E）时，2x+一、的最

x-1x-l

小值，由此可求得实数机的取值范围.

【详解】

由参变量分离法可得-机<2x+士，当x«l,+oo)时，,

X-1IX-1人in

当xe(1,+co)时，X—1>0,2JCH-----=2(x—1)H-----+2W2^2(x—1)j-+2=10,

当且仅当x=3时，等号成立，故-m<10,解得”2>-10.

故选：D.

2

【变式训练5-2】.（2021•江苏省海州高级中学高一月考）不等式2x+m+三>0对一切

x-1

xe（l,+<»）恒成立，则实数m的取值范围是.

【答案】m>-6

【分析】

2?

不等式2R+/%H---->。化为2(x—1)H----->—m-2,利用基本不等式即可得解.

x-lX-1

【详解】

22

解：不等式2x+wd---->0化为：2(x-1)H----->-