2022-2023学年四川省广元市高二年级上册学期期末数学（文科）试题含答案

广元市2022年秋季普通高中二年级期末教学质量监测

数学试题（文史类）

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个是符合题目要求的.

1.在空间直角坐标系中，。为坐标原点，'（"J）,则等于（）

A.幅B,屈C.2GD.E

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间直角坐标系中两点距离公式求解即可.

【详解】°为坐标原点，'（123）,所以旧=庐百寿=》.

故选：A.

2.高二（8）班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为

4的样本，已知5号、18号•、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是（）

A.8B.13C.15D.31

【答案】D

【解析】

【分析】根据系统抽样的性质计算得到答案.

【详解】18-5=13,44-18=26=2x13,故还有一个学生的编号是18+13=31,

故选：D

3.已知。，b是非零实数，则“a＞b”是网,，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对数的真数大于零,“。”成立,“In”＞山网不一定成立，而“InIn网,，成立可得“

即可得出结论.

【详解】若°＞a＞b,贝U。不能是真数，I*1"山河不成立；

^＞叼4成立，则有”＞瓦；々＞6成立

故选:B

【点睛】本题考查命题的充分必要条件的判断，涉及对数的定义域和单调性，属于基础题.

4.与3x+4y=°垂直，且与圆（xT）2+V=4相切的一条直线是

A4%-3y=6B4x-3y=-64x+3y=6口

4x+3y=-6

【答案】B

【解析】

【分析】设与直线3'+4沙=°垂直的直线方程为/：4“-3少+加=°,求出圆的圆心坐标

与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线/的方程.

【详解】设与直线3"+4y=°垂直的直线方程为/：4“-3歹+耀=0,

直线与圆（”—1）+尸=4相切，则圆心（D0到直线的距离为半径2,即

|4+加|

J-------L=2・••加=6

5或〃?=—14,所以4x-3y+6=0,或4x—3»T4=°,由选项可知

B正确，故选B.

【点睛】本题是基础题，考查直线的垂直,直线与圆的位置关系，考查计算能力,注意直线的设

法，简化解题过程.

5.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行

该程序框图，若输入“力分别为14,18,则输出的。=（）

/^命入a,b/

A.0B.2C.4D.14

【答案】B

【解析】

【详解】由a=14,b=18,a<b,

则b变为18E14=4,

由a>b,则a变为14口4=10,

由a>b,则a变为10口4=6,

由a>b,则a变为614=2,

由a<b,则b变为4口2=2,

由a=b=2,

则输出的a=2.

故选B.

6.下表提供了某工厂节能降耗技术改造后，一种产品的产量工（单位：吨）与相应的生产

能耗了（单位：吨）的几组对应数据：

X3456

y2.5t44.5

根据上表提供的数据，求得丁关于x的线性回归方程为V=S7x+S35,那么表格中.的

值为

A.3B.3.15C.3.25D.3.5

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析:,线性回归方

程过样本点的中心

华叫好碱得心,

故答案为A.

考点：线性规划的应用.

x+y—340

<x-y+2>0

7.若实数x,y满足约束条件卜,1,则z=2x+»的最小值是（）

A.-1B.1C.3D.3.5

【答案】A

【解析】

【分析】画出约束条件表示的平面区域，平移目标函数，找出直线V=-2x+z在），轴上的

截距最小时经过点A,从而求出目标函数的最小值.

x+y—3Ko

<x-y-^-2>0

【详解】画出约束条件I7'】表示的平面区域，如图阴影三角形N8C所示:

x+y-3=0P

4-1,1)'、.

目标函数z=2x+y可化为y=-2x+z,平移目标函数知，

当目标函数过点A时，直线V=-2x+z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值,

x-y-h2=0

由1丁=1,求得'(T」)，

代入目标函数可得Z的最小值为Zmin=2、(-1)+1=-1

故选：A.

8.命题“Vxe[2,+8),/“，，的否定为()

2

AVxe[2,+oo),X<4b3xne[2,+oo)(片《4

c3x0e[2,+oo)(x^>4口.*()e[2,+e),片<4

【答案】D

【解析】

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】解：因为Vxe[2,+oo),/N4是全称量词命题，

所以其否定为存在量词命题,即招42,+8),片<4,

故选：D

9.若夕为直线2x+P+l=0的倾斜角，则过两点尸和4°)、Q(0,2cos8-3sm6)的

直线的斜率为()

【答案】B

【解析】

【分析】求出tan。的值，利用直线的斜率公式结合弦化切可求得结果.

【详解】由题意可得tan6=-2,所以，

3sin8-2cos。

_3sin。-2cos。_cos。_3tan6^-2_

PQsin0sin。tan0

cose

故选：B.

10.为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成

如图所示的茎叶图.有下列结论：

甲乙

985289

2130I2

①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数：

②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；

③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；

④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.

其中所有正确结论的序号是o

A.②③B.①④

C.①③D.②④

【答案】A

【解析】

【分析】根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断;

【详解】甲的得分为25,28,29,31,32；

乙的得分为28,29,30,31,32；

-（25+28+29+31+32）=29，（28+29+30+31+32）=30

因为5,5

222

-P（25-29）+（28-29）2+啰_29）+（31-29）+（32-29）[=6

5L-

,（28—30）2+（29-30）2+（30—30）2+（31—30）2+（32—30）2]=?

故甲、乙得分中位数分别为29、30：平均数分别为29、30：方差分别为6、2.

故正确的有②③；

故选：A

11.已知加，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，给出下列命题:

①若M〃n,,mua,则。，夕；

②若a，/?,a[}p=m,〃_L加，则〃_La或〃JL£：

③若用,a,mIn,nu/3,则a〃〃或a_L£；

④若。口尸=加，n//mt〃za,〃0广，则〃〃a且“II尸.

其中正确命题的序号是()

A.@@B.①③C.①④D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】对于①，根据平面与平面垂直的判定定理可知该命题正确；对于②，只有当

〃ua或〃<=4时，才能得出该命题正确；对于③，a与,还有可能相交但不垂直；对

于④，根据直线与平面平行的判定定理可知该命题正确.

【详解】对于①，由加〃〃，n工。,得加工尸，又mua,所以故①正确；

对于②，若01•4，《口?=加，〃_Lm,则当〃ua时，可得〃,方；当〃u夕时，可

得“_La；当〃za且“且月时，”与&和,都不垂直，故②不正确；

对于③，若加，a,mA,nu/3,则a〃/或/或a与夕相交但不垂直，故③

不正确，

对于④，根据直线与平面平行的判定定理可知，若二口小=加，

〃//加，nua,〃UB,则“"a且〃〃£是正确的，故④正确，

故选：c.

12.三棱锥P-/8C中，P/J_平面48C,//8C=45°,△/尸。的面积为40,则三棱

锥产一/18C的外接球体积的最小值为()

4血兀

A.4近兀B.3c,6472rD.

64垃兀

3

【答案】D

【解析】

8V2

-尸A=_____

【分析】设〃C=x,利用的面积为4所以x,由正弦定理

ahc.

-----=-----=------=2r

sin/sin8sinC,得出△/8C外接圆半径，再用勾股定理表示出外接球半径，

用基本不等式求出半径的最小值，从而得出体积的最小值.

【详解】设〃C=x,因为的面积为4后，所以x,N/8C=45。，

ACFTV2x

设△“BC外接圆半径为r,利用正弦定理得sin45°，即2.

因为尸/_L平面ABC,所球心。在过△/BC外心且与平面ABC垂直的直线上，

,1472

d=-PDAJ=----

球心。到平面/8C的距离为2x,

.=.产+屋=二+与2y/^=2也

设球O的半径为R,则V2x,

当且仅当x=2a时，等号成立，

何二史生

故三棱锥尸一Z8C的外接球体积的最小值为33.

故选：D.

第n卷（非选择题共四分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案直接填写在答

题卡上.

13.已知两条直线4：G+⑼％+4y=5—3%4：2x+（5+m）y=8.若直线/（与直线4平行,

则实数加=.

【答案】f

【解析】

【详解】试题分析：由直线方程分析可知4斜率必存在,由直线4与直线4平行可得

3+加45—3加

----=-----w------

5+加#0.则有25+m8，解得加=一7.

考点：两直线平行.

14.如图，在正方体488-48|CQi中，上底面中心为O,则异面直线/O与。G所成

【答案】2

【解析】

【分析】建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，利用数量积公式求出两向量夹角

余弦的绝对值，即所求的异面直线A0与L»C,所成角的余弦值.

【详解】建立如图的坐标系，以■所在直线为横轴，DC所在直线为纵轴，所在直线

为竖轴.设正方体棱长为2.

则/(2,0,0),O(1,1,2),G(0,2,2),

益=(—1,1,2),函=(0,2,2)

则异面直线AO片DC,所成角0前余弦值为

即时2+4V3

cos6=

西•|西―Vl+1+4xV4+4V

故答案为：2.

15.以下5个命题中真命题的序号有.

①样本数据的数字特征中，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本

数据全体的信息；

②若数据X】，*2,X3,…，X”的标准差为S,则数据g+6,ax?+b,/+力，…，

叫的标准差为aS；

③将二进制数UM。。。⑵转化成十进制数是200；

3

④x是区间［0,5］内任意一个整数，则满足“》＜3”的概率是

【答案】①②③

【解析】

【分析】命题①由平均数、众数和中位数与样本数据的关系比较即可；命题②，通过平均

数和标准差的计算公式代入计算即可；命题③，由十进制与其他进制的换算法则计算即可;

命题④，通过枚举，由古典概型计算概率即可.

【详解】对于命题①，平均数与每一个样本的数据有关，任何一个样本数据的改变都会引

起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质，故与众数、中位数比较起来，平均

数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，命题①是真命题；

_1n1n_

X=—S?=—七一'A

对于命题②，数据“1,%2,“3,…，Z的平均数,〃，=1

而数据g+”,ax2+b,平+~…，叼,+'的平均数为

1〃1〃2〃

S'2=+b-x）=~-+b-ax-by=—£（毛-x）'=a2S2

方差为nI=INI=I〃i=i

所以S'=aS,命题②是真命题;

“工人所自H001000.=1X27+1X26+1X23=200八的台旦吉人师

对于命题③，⑵2)，命题③是真命题；

对于命题④，x是区间［0,5］内任意一个整数，则x可取0、1、2、3、4、5共6种结果，满足“

3_J_

乂<3，，的有0、1、2共3种结果，故概率为％,，命题④不是真命题.

故答案为：①②③.

16.已知左eR,是直线x+N=2左与圆F+产=/_4左+5的公共点，则时的

最大值为.

【答案】25

【解析】

【分析】根据直线与圆有公共点可知圆心到直线距离由此可解得左的范围；利用

a-+b2=(a+b)-可将ab表示为关于左的二次函数，由二次函数最值求法可求得结

果.

【详解】由圆的方程知：圆心(°'°),半径尸="2-4k+5,

...直线x+y=2后与圆一+/二/-4个+5有公共点，

/、-=毕4〃2-4〃+5

，圆心“川)到直线x+>=2后的距离V2,

即父+4左一5<0,解得：-5<k<\.

a+b=2k

22

小Q2+b?=/一4左+5［曰(a+b)—2ah—4k—2ab=k—4k+5

由i得：、,，

,3,2c,53f,2?19

ah=—k"+2k——=—k+—----

222（3）6

即，

316919«

-x------=25

则当上=—5时，ab取得最大值296

故答案为：25.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆综合应用中的最值问题的求解，解题关键是能够

将46表示为关于左的函数的形式，从而利用函数最值的求解方法来求得最值；易错点是忽

略直线与圆的位置关系，导致变量人的范围出现错误.

三、解答题：本大题6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过

程或演算步骤.

22

17.设aGR,命题p：VxeR,ax+2ax+l>0t命题/a-a-20<0,

（1）若p为真命题，求实数。的取值范围；

（2）若p或夕为真命题，p且q为假命题，求实数”的取值范围.

【答案】（1）°Wa<l

⑵（<0）/1,5）

【解析】

【分析】（1）根据命题0为真，利用判别式法求解；

（2）由p或夕为真命题，p且q为假命题，则p,q中一真一假求解.

【小问1详解】

解：若命题p为真，

则当4=0时，1〉0,满足题意；

（7>0

当”0时，［A=4"--4a<0,解得0<a<l,

综上：04a<l；

【小问2详解】

若命题g为真，则-4<a<5,

由P或4为真命题，0且4为假命题，则°,夕中一真一假.

当p真g假时，°〈”<1且。之5或aW-4,无解；

当P假4真时，a<°或且一4<。<5得-4<a<°或lWa<5,

综上，实数a的取值范围为㈠⑼“⑸.

18.广元市某中学校为鼓励学生课外阅读，高二学年进行了一次百科知识竞赛考试（满分

150分）.全年级共1500人，现从中抽取了100人的考试成绩，绘制成频率分布直方图

（如图所示）.

上频率/组距

a-----------------

0.019---------

0.015_________

0.014--------T

0.010---------

0.008------1—

0.005---------

0.002——

O708090100110120130140150分数

（1）根据频率分布直方图，求。的值；

（2）现用分层抽样的方法从分数在［MO,150）的两组同学中随机抽取6名同

学，从这6名同学中再任选2名同学发言，求这2名同学的分数在同一组内的概率.

［答案］（1）a=0.027

7

⑵15

【解析】

【分析】（1）根据频率和为1求出纵坐标即可；

（2）应用古典概型公式，列出基本事件即可求解.

【小问1详解】

（0.002+0.008+0.014+0.019+«+0.015+0.01+0.005）x10=1

解得：a=0.027.

【小问2详解】

设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件人

由题意知，在分数为13°140）的同学中抽取4人，分别用％,ai,a3,%表示,

在分数为“4°，150）的同学中抽取2人,分别用牝均表示,

从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：

（《'生）（《吗）（《‘4）（。1，4）（%也）（生吗）（。2，%）（。2,4）

，，，，，，，，

Q也）

f

（%，4）,（。3也），（44,4）,（。4也），（4，台2）,共15种

抽取的2名同学的分数在同一组内的结果有：

（。1，。2）,（“I'%）,（"I,%）,（。2,。3）,（。2吗），（％'。4）,（"1也）共7种，

P(A)=L

故这2名同学的分数在同一组内的概率15.

19.如图，边长为3的正方形中，点£是线段N8上的动点，点尸是线段BC上的

动点，均不含端点，且满足6£=8尸，将MED,△DCF分别沿OE,。尸折起，使/,C

两点重合于点P.

(1)求证：PD1EF,

BE=BF=LBC

(2)当3时，求三棱锥尸-£7口的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【解析】

【分析】(1)由线线垂直证平面尸环，再证PZ)J_Eb；

(2)由等体积法求七-PEF.

【小问1详解】

证明：4c重合于P,...OP,PE,•••QC,CE,.•.DPJ.PE,

又PEu平面PEF,Pbu平面PEE,PECPF=P,...DP工平面PEF,

EEu平面PEF,：.PDVEF.

【小问2详解】

由已知得BE=8R=1,EF=叵,PE=PF=2,

,FTV14

则在尸中，七户边上的高N22

1

S°&PEF_=-xV/27x—V1—4=_V—7

则222,

.VP-EFD=VD-PEF=g“。EFX1X3X

20.已知坐标平面上两个定点'(3‘°)Q(°°),动点"(XJ)满足%|=2QM.

(1)求点”的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形;

（2）记（1）中的轨迹为曲线C,直线/过点PG"）且与曲线c交于£尸两点，点。在

以E尸为直径的圆上，求直线/的方程.

【答案】（1）（x+iy+V=4；以（T°）为圆心，以2为半径的圆；

y=±gx-2）

（2）3

【解析】

222

【分析】⑴由.=2|。徵，得到7（X-3）+K=2yjx+y；化简求解；

（2）设/:尸％*-2）,代入（x+l）2+y2=4,设F（x2,y2）根据点。在

以E尸为直径的圆上，由演工2+凹为=°求解.

【小问1详解】

解:由喇=2|。町

得yl（x-3）2+y2=2旧+y2,

化简整理得点"的轨迹方程为：（X+1）2+/=4,

点M的轨迹是以（一1'°）为圆心，以2为半径的圆；

【小问2详解】

由题可知直线斜率存在可设/y=4（x-2）,代入（x+l）2+》=4,

，旦（l+k2）x2+（2-4k2）x+4k2-3=0

△=（2—4公］—4（1+公*4左2一3）＞0

4F-24k2-3

设£（国,乂），/&，必），贝J+X2=7TF

由点°在以£尸为直径的圆上，

则OEOF=0,即+必8=0,

即斗工2+%~（再-2）（工2-2）=0,

2

所以再乙+左2玉々-2k（xt+12）+4左2=0

4k2-2、

1+r,

公2k=±2

整理可得3,即3,代入△＞（）成立,

y=士—(x—2)

所以直线/的方程为3

21.如图，四棱锥P—ABCD,平面。/6工平面力BCD,PALAB,AB//CD

ADAB=90°(PA=AD,DC=2AB,E为PC中点、.

（2）平面尸6C1平面尸Z）C.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）取中点证明平行四边形，应用线面平行判定定理证明即可；

（2）先证明线面垂直，再应用面面垂直判断定理证明.

【小问1详解】

取PD中点F,连接EF,AF,由E为尸C中点，

...2,又2,：.EF//AB,EF=AB,故四

边形/BEF为平行四边形，

•••BE/IAF，

又4Fu平面p/o,8£0平面4。，，3£//平面尸49.

由已知有力BAVAD,ADC\AP^At平面/尸。，“夕匚平面/尸。,

84_1_平面/P。，又NEu平面/尸。84_L4F,

ABHCDAF1DC,又P4=4D,

：.AF工PD,PDcDC