2022-2023学年福建省宁德市高一上学期第三次月考数学试题

绝密★启用前

宁德市2022-2023学年度第一学期高一第三次月

考

o|r

槌数学

★祝考试顺利★

温馨提示：请将全部答案填写在答题卡上，拍照上传.

本试卷有第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，考试时间12。分钟，满分

150分.

第I卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合4=卜产-X-240},8={x|lgx>0},则AA8=()

照

A.{x|-l<x<2|B.{x|l<x<2}

莒!C.{x|l<x<2}D.{x|x>-l}

2,已知A={x|照W2},B={y\}^2）,下列图形能表示以A为定义域，8为值域的

函数的是（）

料

栏

*»­«»

题

3.如图所示，函数产cosx|tanx|(且力)的图象是()

4.若。=1(^3,6=3-3,c=]Og3l,则。、b、c的大小关系为()

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

5.不等式/用＞16的解集为()

35u(|,+8

A.—,+ooB.—00,-------

22

55

C.—co,-----行D.-00,-------

2u(|,2

6.若关于x的方程(sinx+cosx)2+cos=in在区间(0,句上有两个不同的实数根xi,

IT

X2,且m-也巨7,则实数机的取值范围是()

A.[0,2)B.[0,2]

C.[1,夜+1]D.[1,&+1)

7.“字节”(Byte,B)常用于表示存储容量或文件的大小.随着网络存储信息量的增大，

我们还用干(K,kilo)、兆(M,mega)、吉(G,giga)、太(T,tera)、拍(P,peta)

等单位表示存储容量.各单位数量级之间的换算关系如下：1KB=1O24B;1MB=1024KB;

1GB=1024MB;1TB=1024GB;!PB==1024TB=xBo已知x是一个机位整数，贝［|加=

()(参考数据：姓2/0.3010)

A.8B.9C.15D.16

8.函数/（x）的定义域为。,若对于任意的,当占时，都有/（%）工”々）,

则称函数/（x）在。上为非减函数.设函数在［0』上为非减函数，且满足以下三个

条件：①"0）=0；②个）=?（力；③〃1）=一（力，则）岛，等于（）

A.—B.—C.—D.----

163264128

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项

中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分

9.已知。«0,兀），sin0+cos0=l,则下列结论正确的是（）

A.^e|—,7tIB.cos^=--C.tan0=--D.sin0-cos0=—

\2J545

10.下列说法正确的是（）

A.幕函数产（疗-机+1卜”+2是奇函数，则利=1

B.在（》-1）（》-2乂*-3）（》-4）的展开式中，含『的项的系数是-10

2的展开式中第项的系数最大

C.（X+4=］6

D.已知函数/（x）=《；］与函数&（x）=ku•的值域相同，则实数〃的取值

范围是（—1）

11.若6“=2,6〃=3,则下列不等关系正确的有（）

A.Ja+1+Jl+lv2B.，+［>4C.a2+b2>D.—|+—j>2

ab2a\3b)

12.已知函数"x)=1og力］I>。，则方程严(x)-2/(x)+/_i=。的根的个数可能

为()

A.2B.6C.5D.4

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应

位置

13.方程电(Gsinx)=lg(cosx)的解集为.

io

14.已知函数4x)=log,(2x-a)在区间上恒有/(x)>0,则实数”取值范围—

15.给出下列四个命题：

①〃x)=sin(2x-?卜勺对称轴为x=g+eZ;

②函数/(x)=sinx+6COSX的最大值为2；

③Vxe(0,;r),sinx>cosx;④函数了⑶=sin(g-2x］在区间0,y上单调递增.

其中正确命题的序号为

16.市劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学

家鲁伊兹.布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在一个点3,

使得〃毛)=看，那么我们称该函数为“不动点''函数，而称所为该函数的一个不动点.现

新定义：若%满足/5)=』,则称4为f(x)的次不动点有下列结论：

①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

②函数"X)=e'+2(X-1)仅有一个不动点

③当144蜡时，函数/'（切=1。81（4'-丈2'+1）在［0』上仅有一个不动点和次不动点

22

上述结论正确的是___________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知函数/"）=1083不彳.

（1）判断函数〃X）的奇偶性并证明；

⑵判断函数/（X+3）在区间（0,+8）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.

18.（本小题满分12分）

/,、土sin7°+cos15°sin8°

（1）求值：-----------------；

cos70-sin15°sin8°

711

（2）己知<x<0,sinx+cosx=—,,求sinx-cosx的值.

25

19.（本小题满分12分）

设函数〃力=（%-1）“'+小3>0且OH1）是定义域为R的偶函数，/（1）=|

（1）求。的值并用定义法证明〃x）在（0,+8）上的单调性；

⑵若/（m+2）-〃加-4）>0,求实数加的取值范围；

（3）若g（x）=/*+a-2，（2m+l）f（x）在［1,m）上的最小值为-3,求机的值.

20.（本小题满分12分）

2022年年底，与冬奥会相关的周边产品,因可爱而闻名的冰墩墩为迎接兔年2023,摇

身一变，成为了在国内外深受大家追捧的“兔墩墩”.对某商户所售的“兔墩墩'’在过去的一个月

内（以30天计）的销售情况进行调查发现：“兔墩墩”的日销售单价P（x）（元/套）与时间

X(被调查的一个月内的第尤天)的函数关系近似满足P(X)=2000+R^(常数k>0),

“兔墩墩'’的日销量。(力(套)与时间x的部分数据如表所示：

381524

。(工)(套)12131415

已知第24天该商品日销售收入为32400元，现有以下三种函数模型供选择：

@Q(x)=tax+b,®12(x)=p(x-l6)2+q,@Q(x)=m>Jx+l+n

(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入/(X)(14x430,xwN+)在哪天

达到最低.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=3-21nx,g(x)=lnx.

⑴若xeUd],求函数喋x)=(7(x)+l>g(x)的值域;

(2)已知neN*,且对任意的xe[e",e"T不等式/(/)"(«)2必*)恒成立，求―的

取值范围.

22.(本小题满分12分)

已知函数/")=1嗝(2'+切伏€用的图象过点2(0,2).

(1)求上的值并求函数/(x)的值域；

(2)若关于x的方程/(x)=x+〃?在[-2,0)有实根，求实数机的取值范围;淅

(3)若函数/7(力=2/(')_4.2/')，则是否存在实数。，对任意百目0,4],存在

毛€[0,2]使|〃&)|2"%)+2成立？若存在，求出〃的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案:

1.B

【分析】利用一元二次不等式的解法和又掇不等式的解法求解.

【详解】由x2—x-240解得-14x42，所以A={x|-14x42},

由lgx>0解得x>l,所以3={小>1},

所以AcB={x|K2},

故选:B.

2.B

【分析】A.其值域为。2],故不符合题意；B.符合题意；CD是函数图象，值域为U2,

故不符合题意.

【详解】解：A是函数图象，其值域为[。⑵，与已知函数的值域为8={y|展62）不符，

故不符合题意；

B是函数的图象，定义域为【。，21,值域为U,2],故符合题意；

C是函数图象，值域为口，2},与已知函数的值域为B={y|掇62}不符，故不符合题意；

D是函数图象，值域为{1,2},故不符合题意.

故选：B

3.C

【分析】根据绝对值的定义化简函数式,然后可判断.

sinx,O<x<—,

2

【详解】由已知.v=cosx|tanx|=，-sinx,5<x4肛，对照各选项，C是正确.

.34

SinX.7T<x<—

故选：c.

（也可以根据函数值在三个区间上的正负判断）

4.D

【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法判断可得出结论.

【详解】因为a=log23>log22=l,b=y3=-^j,c=log,y<log,1=0,故a>b>c.

故选：D.

5.B

【分析】根据指数函数单调性解不等式，得到解集.

【详解】不等式2PM>16,

2|2X+I|>24,即|2x+l|>4.

2x+l<~4或2x+l>4,

解得：知,5或工吗3,

•.•解集是‘°°，-'|）口（1+8）-

故选：B.

6.A

【分析】首先化简方程为sin（2x+?）=*,通过换元设r=2x+?,若满足条件，利

用图象分析可知-#4*〈寄,求得实数，”的取值范围.

【详解】关于x的方程（sinx+cos»2+cos2x=zn可化为sin2x+coslx-/n-1,gp

Sin（2x+^=W.

易知sin［2x+f=苗在区间（0,句上有两个不同的实数根X?,⑶且|XL阳吟.

Tim—\（7194

令2x+7=t，即sint=再在区间［丁彳］上有两个不同的实数根

作出y=sinY等）的图象，如图所示，

TTTT

由|Xz-闷之7得|七-fe|>y,

所以一正正

2-722（

故0</77<2.

故选：A

【点睛】本题考查根据三角方程的实数根的个数求参数的取值范围，重点考查转化与

化归的思想，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是理解条件，并

会数形结合分析问题，转化为不等式解集问题.

7.D

【分析】先算得1PB=25OB,然后利用对数转化为10进制，得出结论.

【详解】1PB=2IOTB=22OGB=23OMB=24＜）KB=25OB,lg250=50xlg2«15，则250alOG,

因为x是一〃，位整数，则机=16,

故选：D.

8.D

【解析】由③可得/0）=1,；，然后由②可得（击）,

f（小卜去，然后结合f（x）在［0,1］上非减函数可得答案.

【详解】由③得〃1-0）=1-/（0）=1，=l-呜），二，⑴T，吗）=；•

故选：D

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由条件得到七）="肾）=*,

9.ABD

【分析】由题意得（sin，+cos，）2=l+2sinOcose=*,可得2sinOcosO=-||，根据。

的范围，可得sin。,cos。的正负,即可判断A的正误；求得sine-cos。的值,即可判

断D的正误，联立可求得sin。,cos。的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的

关系，可判断C的正误，即可得答案.

【详解】因为sin，+cos，=（,

所以（sin，+cos，『=]+2sin，cos，=支，则2sin9cos0=-^^,

因为。£（0,兀），所以sin8>0,cos^<0,

所以Oeg],故A正确；

所以（sinO—cos。）？=l-2sin9cos0=^1,

7

所以sine-cose=gz故D正确；

sin6+cos6=一

543

联立7,可得sin"g,cosO=--,故B正确；

sin6-cose=一

sin04

所以te蓊，，故C错误

故选：ABD.

10.ABC

【分析】选项A,由黑函数的定义可知其系数为1,求得机后再验证奇偶性；选项B,

展开式中丁的项的系数是从其4个括号的3个括号中分别取x,剩余括号中取常数项相

乘得到；选项C,展开式中每一项的系数恰好和二项式系数相等，所以只需找到展开

式中间一项即可；选项D,分段函数的值域是指每一段函数值域的并集，所以需要判

断含有参数的一段函数的单调性以及边界点处的函数值大小关系.

【详解】选项A,依题意)，=(川-机+1卜布幕函数,则/_〃?+i=i,解得〃?=0或I,

当他=0时，y=/是一个偶函数，不合题意；当，〃=1时，y=V是一个奇函数，满足

题意，故A正确；

选项B,a(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)的展开式中，V的项的系数是从其4个括号的3

个括号中分别取x,剩余括号中取常数项相乘得到的，所以F的项的系数为

-1-2-3-4=-10,故B正确；

选项c，]2+白]的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，展开式共11项，中

间一项即第6项的二项式系数最大，即系数最大，故C正确；

选项D,函数8(加成的值域为R,所以函数小)=号一"卜+/'；二的值域为R.

因为“X)=3、是一个增函数，所以当X》时，〃x)=3、Z3,即〃x)w[3,+oo);

若函数“X)的值域为R,则当X<1时，(Yo,3)u{.f(x)"(x)=(l-a)x+/,x<l},

所以〃x)=(j)x+〃满足条件1I；；、，即1I:220，解得金1，则实数”的

取值范围是(r，T],故D错误.

故选：ABC.

11.BCD

【分析】指对互化后求得。+匕=1,对A、C选项可利用不等式“2+〃N立誓及变形

判断结论是否正确；

对B选项可用的代换判断结论是否正确；

对D选项：由换底公式得小+「=［|x传|+黑］，分别计算警与黑+船的范

a\3b）ln2<ln631n3）In2ln63In3

围可判断结论是否正确.

【详解】由6"=2,6=3，得”1暇2,6=1暇3,所以，对于A,由不等式

x2+y2>2x.y得x?+y2>（,“；））,r.x+y4^2（x2+y2）,

又a'b,.•.而T+历T<何许不而可="，所以A不正确；

对于B,因为a=k>g62>0,Z?=log63>0,a+人=1,所以

，+：=［，+：］（4+6）=2+。+**4,因为〃b,所以等号不成立，所以工+）>4,所

ao\ab）abab

以B正确；

对于C,因为片+加22",所以反等=；,因为标h,所以等号不成立，

所以片+尸，所以C正确；

对于D,因为"需ln6ln4

加黑所吗由于>——2

ln2ln2

口ln3ln6ln3ln6Jlln3ln6

且——+——>2J--------=2J-,因为一，——,所以等号不成立，所以

ln631n3Vln631n3V3ln631n3

所以=当义［［|+黑］>2><24>2,所以:L+《)>2,所以D正确，

八3b)ln21ln631n3)V3八如)

故选：BCD.

12.ACD

【分析】先画出〃x）的图象，再讨论方程尸⑺-2〃刈+/_1=0的根，求得/（X）的范

围，再数形结合，得到答案.

【详解】画出“X）的图象如图所示：

令t=/(x),则『—2f+er—1=0,则△=4(2—a~),

当A=0,即/=2时，r=l,此时/(x)=l,由图.v=l与y=〃x)的图象有两个交点，

即方程.产3-2/(尤)+6?-1=0的根的个数为2个，A正确；

当A>0时，即/<2时，t=l±yj2-a2,贝/()<J2-/&收

故Icl+JZ—Y41+拒,1->/2<1->/2-«2<1,

当f=l一亚二/时，即/（x）=l-=，贝［|x有2解，

当f=l+6W时，若fe（l，2,则x有3解；若fw（2,l+也］,则“有2解,

故方程产（刈-2.“可+片_1=0的根的个数为5个或4个，CD正确；

故选：ACD

【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和

数形结合思想，难度较大.

13.\x\x=—+2k7r,keZ＞

【分析】对数函数y=igx是增函数，方程的解转化为豆豆叱=3乂＞0求解即可。

【详解】因为对数函数＞=lgx是增函数，所以方程】g（右sinx）=lg（cosx）的解,

tanx=

即是由sinx=cosx＞（）的解，即,sinx>0,x=—+2k7r9kEZ

cosx>0

故答案为：\x\x=^+2k7r,keZ

【点睛】此题考查三角函数方程的解，注意正切值解的写法是加氏,属于简单题目。

【分析】将对数型函数的底数”分类讨论：,然后根据对数式恒大于零列

出对应的不等式组并求解出解集，即可得到。的取值范围.

[2

【详解】若函数/（x）=log“（2x-〃）在区间f(x)>0,

413

0<2x-a<\^l\2x-a>]

0<6f<l

一.

a<2x-々,1/1

0<2x-a<l时，4，解得广。<5；

2

a>2x——1

3

当：,时，V。2「此时”无解.

\2x-a>1a<2x——1

i3

综上实数〃的取值范围是[-§1，51、.

钻依一%r1一

故答条为：->-1.

【点睛】本题考查对数函数以及不等式恒成立问题，难度一般.

（1）讨论指数型、对数型函数的值域时，若底数是参数形式，一定要注意对底数作分类

讨论；

（2）不等式恒成立问题的两种处理方法：分类讨论法、参变分离法.

15.①②

【分析】对①，由正弦型函数的通式求解即可；

对②，结合辅助角公式化简，再进行最值判断；

对③，由特殊函数值可判断错误；

对④,先结合诱导公式将函数化为/（x）=fin[2x-?）,由xe0号求出2x-《的范围，

再结合增减性判断即可

【详解】令2x-g=--F卜兀、%£ZX=---1---,k",故①正确；

4ZZo

/(x)=sinx+Geosx=2sin口+?),故该函数的最大值为2,故②正确；

JT

当x=W时，sinx=cosx,故③错误；

由xe0,fng-J，故/。)=可］-2+-5m(2犬-：|在区间0,(上

单调递减，故④错误.

故答案为①②

【点睛】本题考查函数基本性质的应用，正弦型函数对称轴的求法，辅助角公式的用

法，函数在给定区间增减性的判断，属于中档题

16.②③

【分析】对于①举反例，对于②研究函数g(x)=/a)7的单调性由零点存在性定理可判

断，对于③分别研究/(X)=X与/(X)=T分离参数研究新函数的单调性，再由交点个

数确定参数的范围，两者取交集后即可判断.

【详解】对于①，取函数"x)=V,〃0)=0,0既是,“X)的不动点，又是f(X)的次不动

点，故①错误，

对于②，f(x)=e'+2(x-l)=x,

令g(x)=e'+x-2,易知g(x)为R上的增函数,

又g(0)=e°+0-2<0,g⑴=3+1-2>0,

由零点存在性定理得g(x)在区间(0,1)存在唯一的零点，故②正确；

又寸于③，当［ogl(4'_a.2'+l)=x时.•.4r_..2*+］=4,即a=2*+J—2.

令2』,问1,2］,w+；d在区间［1,2］上单调递增,故。=2，+,或在［0,1］上单

调递增，满足陷(4、-。2+1)=》有唯一解，则14”蜷.

24

当log1(4,-a-2v+l)=-x时，

2

:.4x-a-2'+\=2x,即a=2'+呆1.

令2'=/"5,2］,.5=/+：-1在区间［1,2］上单调递增，故”=2，+!-1在［0,1］上单调递增，

满足log,(4'-a2+1)=t有唯一解，则14a42

22

3

综上14。4］.故③正确；

故答案为：②③.

17.(1)函数〃x)为奇函数，证明见解析

(2)函数〃x+3)在区间(0,+8)上单调递减，证明见解析

【分析】(1)先求得f(x)的定义域，然后利用单调性的定义判断出f(x)的奇偶性.

(2)利用单调性的定义，由/&+3)-〃/+3)>0作出判断.

【详解】(1)因为三>0,即(x-3)(x+3)>0,解得x<—3或x>3,

所以函数〃x)的定义域为(TO，-3)U(3,+«O),定义域关于原点对称,

f(-X)=1%=]og.3|

-x-3x+3

x+3x+3

=log|=-1呜=-/W-

37^3x—3

因为"-x)=-/(x)，所以y=/(x)为奇函数.

(2)f(x+3)=log3早=10g3(l+g)J(x+3)在区间(0,m)上单调递减,

证明：任取用,9€(0，”)且不＜*2,

/(与+3)—+3)=log-log=log*尸：

3331,

X|X2x(&+6)

因为°<%<无2,所以0<6%|<6X2,X,X2+6X2>x1x2+6x,>0,

可得x^(x北>4-6方)I，所以噫X>(悬M+6才)°，

所以〃％+3)>〃9+3),

所以〃x+3)在区间(0,+8)上单调递减.

7

18.(1)2-6；(2)sinx-cosx=--

【分析】(1)将7。改写成15。-8。的形式，然后根据两角差的正余弦公式展开并化简，最

后借助两角差的正切公式即可得到结果；

(2)利用(sinx+cosx)?=1+sin2x以及角的范围完成计算即可.

【详解】(1)

sin7+cos15sin8_sin(15-8)+cosl5sin8_sin15cos8-cos15sin8+cosl5sin8

cos7-sin15sin8cos(15°-8°)-sin15°sin8"cos15cos8+sin15sin8"-sin15°sin8

V3

r13-6

sin15cos8sin15tan450-tan30

-=tan15=tan(45-30)=

cos15cos8cos151+tan45tan30.x/33+石

1d-----

3

(3-6)x(3-扬12-6色2皿

一(3+G)x(3-G)-6一'

(2)由题意得(sinx+cosx)?=sin2x+cos2x+2sinxcosx=l+sin2x=则

sin2x=-—,

25'

49

因为(sinx-cosx)2=sin2x+cos2x-2sinxcosx=1-sin2x=1-

25,

冗

又一万<》<0,则sinx<0,cosx>0,所以sinx-cosx<0,

7

所以sinx-cosx=-—

【点睛】本题考查三角函数的化简与计算，难度一般.

(1)计算非特殊角的三角函数值时，可通过非特殊角与特殊角之间的和、差、倍、分关

系，转而去计算特殊角的三角函数值；

(2)注意三角恒等式：(sinx+cosx)-=l+sin2x,(sinx-cosx)2=l-sin2x.

19.(皿=2或者”;,证明见解析；

(2)。，”)；

【分析】(1)根据偶函数的定义，结合函数单调性的定义、指数函数的单调性进行求

解即可；

(2)根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可；

(3)利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论进行求解即可.

【详解】(1)••由函数f(x)=("l)a'+a-'是定义域为R的偶函数，

，满足/(X)寸(-X),

即(1)/+武="+(,

=\t即Z=2,

:.f(x)=ax+ax,

又〃1)=9,即…T=|,

化简为：2a2-5a+2=0,

解得：。=2或者。=3,

.-./(x)=r+2-v,

设西,々€(0,+<»)且看,则

/(%)-“七)

=2为+2f一(2%+2-迎)

=2&_2jJ——L

=2再—2》2+±——_

2XI+X2

xl2)/

由王，得2F一2-<0

•・,0<%)<X2,

*<1，即1一手>>°，

”(内)-〃々)=(2"-2"“1-/<0

\/（X）在xe（0,y）单调递增；

（2）/（可是R上的偶函数,

\/（X）在x«0，M）单调递增，在x«e,0）单调递减.

,.,/(zn+2)­/(/H-4)>0,

即〃〃?+2)>〃…)，

.,.|m+2|>|/n-4|/

两边平方彳导：/M2+4+Am>m2+16—8/w

解得：力>1,

实数机的取值范围为：（1，”）；

(3)由(1)知，g(x)=a2、+a3-(2〃?+l)/(x)=2"+22，-(2,1)(2'+2-v)

将g(x)变形得：g(x)=22x+2&-(2机+1乂2,+2-*)=(2,+2-，丫-(2m+1乂2、+2-，)-2

令f=2，+2-，，因为xc[l,+8）,由对勾函数的性质得已|.

则原函数化为：y="—（2m+l）”2,摩|,

由题知，y=--（2m+l）/-2在fe|,）上的最小值为-3,

函数）=/一（2m+1），一2的对称轴为：-一（2；+1）=*,

①当加+；＞|,即心2时，-（2/n+l）（，〃+；卜2=-3,

31

解得：m=-5或'"=5，均不符合题意,舍去，

②当机+g=|,即机=2时，）嬴=（1|一5xg-2=-曰/一3，不符合题意，

③当团+；＜|,即加＜2时,ymi„=f|'|-（2m+l）x|-2=-3,

19

解得：机=句符合题意，

所以"的值为1那9

【点睛】关键点睛：利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论是解题的

关键.

20.（1）模型③最合适，理由见解析；

（2）第3天达到最低.

【分析】（1）结合表中数据及其增速较慢的特点，分别对指数型、二次函数型、幕函

数型三种函数模型进行分析，即可选出最合适的一种函数模型；

（2）由表中数据和第24天日销售收入，分别求出第（1）问中选择的Q（x）模型和

网”中的参数，代入〃X）=P（X）Q（X），化简后使用基本不等式求解.

【详解】（1）模型③最合适，理由如下：

对于模型①Q（x）=〃'+6,为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较

慢，故模型①不合适；

对于模型②。（x）=P（x-16）2+q,为二次函数模型，其图象关于直线."16对称，有

2（8）=0（24）,与表中数据不符，故模型②不合适；

对于模型③Q（x）=mG+〃，幕函数型增长模型满足表格中Q（x）对应数据较慢的递

增速度，将表中数据（3,12）,（8,13）代入模型③,有

。⑶=mJ3+1+〃=12（2m+n=12/g（/n=l

Q（8）=my/8+l+n=13^>l3m+n=13恬j〃=]0，

Q（x）=^m+10,

经验证Q（15）=>/Bm+10=14,。（24）=技11+10=15均满足表中数据，

因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.

（2）:•第24天冰墩墩的日销售单价2（24）=P（"=2000+罟7=2000+1（元/套），

・•・第24天的日销售收入为尸（24）、2（24）=（2000+1b15=32400（元），

...左=800,

/,尸(x)=2000+-_

\J/x+\

由(1)所选模型③，当14x430且xeN.时，

〃x)=P(x)Q(x)=(

2000+

=20800+2000^/7+T+4221

Vx+1

>20800+2J2000VX+T-4^

VVTM

=20800+2x4000

=28800(元)

当且仅当2000而？=萼;，即“3时，等号成立，

Vx+l

•­•在第3天时，该商品的日销售收入“X)达到最低28800元.

21.(1)[0,2]；

9

⑵当〃=1时，k<-3；当心2且〃eN*时，k<4n+--15.

n

【分析】(1)由题设，令f=lnxe[0,2]则产也)=-2"1)2+2,即可求值域.

9

(2)令仁Inx,将问题转化为心4f+：-15在+上恒成立，再应用对勾函数的

性质，讨论〃=1、〃N2,〃eN*分别求出％的取值范围.

【详解】(1)因为〃(x)=(f(x)+l)g(x)=(4-21nx)lnx=-2(lnx)2+41nx,

设r=lnx,则y=_2产+今=_2«_1>+2,

因为xellQ],所以lnxe[0,2],即为[0,2].

当r=1时，Jmax=2,当f=0或/=2时，ymin=0,

所以心)=g)+l)g(x)的值域为[0,21.

(2)因为xe[e",e",],所以+,

又2kg(x)可化成(3-41nx)(3-Inx)2-nx,

因为〃eN',所以lnx>0,

/4(lnx)2—151nx+99

所以&4-------;----------=41nx+------15,

InxInx

9

令，=lnx,则+7—15,+,

9

依题意，+时，4f+：-15恒成立，

9

设〃=41+—―15fre[/?,n+l]f

3

当〃=1时，当且仅当/=y[L2],­=-3，故心-3；

9

当〃22,"EN*时，〃=4，+：—15在[上拉+1]上单调递增，

99

当"〃时，—=4〃+——15，故心4"——15,

nn

9

综上所述：当"=1时，及4-3；当〃2