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2023年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷一、选择题:本大题共10道小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为,它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为()A.3×10﹣7 B.0.3×10﹣6 C.3×10﹣6 D.3×1072.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是()A.水落石出 B.水中捞月 C.水涨船高 D.水滴石穿3.如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图,该几何体是()A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥4.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2:3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是()A.4 B.6 C.9 D.165.下列运算正确的是()A.a²+a3=a6 B.(ab)2=ab2 C.(a+b)²=a²+b² D.(a+b)(a﹣b)=a²﹣b26.如图,直线a∥b,一个三角板的直角顶点在直线a上,两直角边均与直线b相交,∠1=40°,则∠2=()A.40° B.50° C.60° D.65°7.小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是()A.200(1+x)2=242 B.200(1﹣x)2=242 C.200(1+2x)=242 D.200(1﹣2x)=2428.如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个相邻刻度间的弧长均相等,过9点和11点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为()A.π﹣ B.π﹣ C.π﹣2 D.π﹣9.如图,在矩形ABCD中,AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于点M,N,直线MN分别交AD,BC于点E,F.下列结论:①四边形AECF是菱形;②∠AFB=2∠ACB;③AC•EF=CF•CD;④若AF平分∠BAC,则CF=2BF.其中正确结论的个数是()A.4 B.3 C.2 D.110.在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号(x,y,z,m,n均不为零),加括号后仍只有减法运算,然后按给出的运算顺序重新运算,称此为“加算操作”.例如:(x﹣y)﹣(z﹣m﹣n)=x﹣y﹣z+m+n,x﹣y﹣(z﹣m)﹣n=x﹣y﹣z+m﹣n,….下列说法:①至少存在一种“加算操作”,使其运算结果与原多项式相等;②不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题:本大题共5道小题,每小题3分,满分共15分,要求只写出最后结果.11.若有意义,则x的取值范围是.12.如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是.13.某品牌护眼灯的进价为240元,商店以320元的价格出售.“五一节”期间,商店为让利于顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,则该护眼灯最多可降价元.14.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图,已知三角形纸片ABC,第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处,折痕AD交BC于点D;第2次折叠使点A落在点D处,折痕MN交AB′于点P.若BC=12,则MP+MN=.15.如图1,在△ABC中,∠B=36°,动点P从点A出发,沿折线A→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分∠BAC时t的值为.三、解答题:本大题共7道小题,满分共55分,解答应写出文字说明和推理步骤.16.求不等式组的解集,并把它的解集表示在数轴上.17.某中学积极落实国家“双减”教育政策,决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量,促进学生全面健康发展为优化师资配备,学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程(要求必须选修一门且只能选修一门)?”的随机问卷调查,并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图:请结合上述信息,解答下列问题:(1)共有名学生参与了本次问卷调查;“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是度;(2)补全调查结果条形统计图;(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门,请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率.18.如图,一次函数y=2x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(1,4),与y轴交于点B.(1)k=,b=;(2)连接并延长AO,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点C,点D在y轴上,若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似,求点D的坐标.19.2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价﹣进货价)类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价(元/件)3025销售价(元/件)4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少?(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元?20.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,点D为的中点,⊙O的切线DE交OC的延长线于点E.(1)求证:DE∥AC;(2)连接BD交AC于点P,若AC=8,cosA=,求DE和BP的长.21.【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出的值.【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且==.连接BD,CE.(1)求的值;(2)延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC的值.22.已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表:x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式;(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图象向右平移k(k>0)个单位,得到二次函数y=mx2+nx+q的图象,使得当﹣1<x<3时,y随x增大而增大;当4<x<5时,y随x增大而减小.请写出一个符合条件的二次函数y=mx2+nx+q的表达式y=,实数k的取值范围是;(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图象上互不重合的三点.已知点A、B的横坐标分别是m、m+1,点C与点A关于该函数图象的对称轴对称,求∠ACB的度数.
参考答案一、选择题:本大题共10道小题,每小题3分,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为,它与π的误差小于0.0000003.将0.0000003用科学记数法可以表示为()A.3×10﹣7 B.0.3×10﹣6 C.3×10﹣6 D.3×107【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.解:用科学记数法可以表示0.0000003得:3×10﹣7;故选:A.【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.2.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是()A.水落石出 B.水中捞月 C.水涨船高 D.水滴石穿【分析】根据事件发生的可能性大小判断.解:A、水落石出,是必然事件,不符合题意;B、水中捞月,是不可能事件,符合题意;C、水涨船高,是必然事件,不符合题意;D、水滴石穿,是必然事件,不符合题意.故选:B.【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.3.如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图,该几何体是()A.四棱柱 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥【分析】根据三视图即可判断该几何体.解:由于主视图与左视图是三角形,俯视图是正方形,故该几何体是四棱锥,故选:B.【点评】本题主要考查由三视图判断几何体的形状,掌握常见几何体的三视图是解题的关键.4.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2:3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是()A.4 B.6 C.9 D.16【分析】根据位似图形是相似图形,相似三角形的周长比等于相似比,可以求得△DEF的周长.解:∵△ABC与△DEF位似,相似比为2:3.∴C△ABC:C△DEF=2:3,∵△ABC的周长为4,∴△DEF的周长是6,故选:B.【点评】本题考查位似变换,解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比.5.下列运算正确的是()A.a²+a3=a6 B.(ab)2=ab2 C.(a+b)²=a²+b² D.(a+b)(a﹣b)=a²﹣b2【分析】根据积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则判断即可.解:A、a²+a3不是同类项不能计算,故A不正确;B、(ab)²=a²b²,故B不正确;C、(a+b)²=a²+2ab+b²,故C不正确;D、(a+b)(a﹣b)=a²﹣b²,正确;故选:D.【点评】本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则的应用,熟练的运用法则是解题关键.6.如图,直线a∥b,一个三角板的直角顶点在直线a上,两直角边均与直线b相交,∠1=40°,则∠2=()A.40° B.50° C.60° D.65°【分析】先由已知直角三角板得∠4=90°,然后由∠1+∠3+∠4=180°,求出∠3的度数,再由直线a∥b,根据平行线的性质,得出∠2=∠3=50°.解:如图:∵∠4=90°,∠1=40°,∠1+∠3+∠4=180°,∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°,∵直线a∥b,∴∠2=∠3=50°.故选:B.【点评】此题考查了平行线性质,解题的关键是熟练掌握平行线性质:两直线平行,同位角相等.7.小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是()A.200(1+x)2=242 B.200(1﹣x)2=242 C.200(1+2x)=242 D.200(1﹣2x)=242【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x,关系式为:第三天揽件数=第一天揽件数×(1+揽件日平均增长率)2,把相关数值代入即可.解:根据题意,可列方程:200(1+x)2=242,故选:A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找到关键描述语,就能找到等量关系,是解决问题的关键.同时要注意增长率问题的一般规律.8.如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个相邻刻度间的弧长均相等,过9点和11点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为()A.π﹣ B.π﹣ C.π﹣2 D.π﹣【分析】连接OA、OB,过点O作OC⊥AB,根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形,再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=π,再根据三角形面积公式求出S△AOB=,进而求出阴影部分的面积.解:连接OA、OB,过点O作OC⊥AB,由题意可知:∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形,∴AB=AO=BO=2∴S扇形AOB==π,∵OC⊥AB,∴∠OCA=90°,AC=1,∴OC=,∴S△AOB==,∴阴影部分的面积为:π﹣;故选:B.【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算,熟练应用面积公式,其中作出辅助线是解题关键.9.如图,在矩形ABCD中,AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于点M,N,直线MN分别交AD,BC于点E,F.下列结论:①四边形AECF是菱形;②∠AFB=2∠ACB;③AC•EF=CF•CD;④若AF平分∠BAC,则CF=2BF.其中正确结论的个数是()A.4 B.3 C.2 D.1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可.解:根据题意知,EF垂直平分AC,在△AOE和△COF中,,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,∴AE=AF=CF=CE,即四边形AECF是菱形,故①结论正确;∵∠AFB=∠FAO+∠ACB,AF=FC,∴∠FAO=∠ACB,∴∠AFB=2∠ACB,故②结论正确;∵S四边形AECF=CF•CD=AC•OE×2=AC•EF,故③结论不正确;若AF平分∠BAC,则∠BAF=∠FAC=∠CAD=90°=30°,∴AF=2BF,∵CF=AF,∴CF=2BF,故④结论正确;故选:B.【点评】本题主要考查长方形的综合题,熟练掌握长方形的性质,基本作图,菱形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.10.在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号(x,y,z,m,n均不为零),加括号后仍只有减法运算,然后按给出的运算顺序重新运算,称此为“加算操作”.例如:(x﹣y)﹣(z﹣m﹣n)=x﹣y﹣z+m+n,x﹣y﹣(z﹣m)﹣n=x﹣y﹣z+m﹣n,….下列说法:①至少存在一种“加算操作”,使其运算结果与原多项式相等;②不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【分析】根据“加算操作”的定义可知,当只给x﹣y加括号时,和原式相等;因为不改变x,y的运算符号,故不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中,可通过加括号改变z,m,n的符号,因为z,m,n中只有加减两种运算,求出即可.解:①(x﹣y)﹣z﹣m﹣n=x﹣y﹣z﹣m﹣n,与原式相等,故①正确;②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中,可通过加括号改变z,m,n的符号,无法改变x,y的符号,故不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为0;故②正确;③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中,可通过加括号改变z,m,n的符号,加括号后只有加减两种运算,∴2×2×2=8种,所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果.故选:D.【点评】本题属于新定义问题,涉及整式的加减运算,加法原理与乘法原理的知识点和对加法原理的理解能力,利用原式中只有加减两种运算求解是解题关键.二、填空题:本大题共5道小题,每小题3分,满分共15分,要求只写出最后结果.11.若有意义,则x的取值范围是x≥1.【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0,解不等式即可求得x的取值范围.解:根据题意得x﹣1≥0,解得x≥1.故答案为:x≥1.【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键.12.如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是AB=DE(答案不唯一).【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,然后再利用全等三角形的判定方法即可解答.解:∵AB∥ED,∴∠B=∠E,∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF(AAS),故答案为:AB=DE(答案不唯一).【点评】本题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.13.某品牌护眼灯的进价为240元,商店以320元的价格出售.“五一节”期间,商店为让利于顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,则该护眼灯最多可降价32元.【分析】设该护眼灯可降价x元,根据“以利润率不低于20%的价格降价出售”列一元一次不等式,求解即可.解:设该护眼灯可降价x元,根据题意,得,解得x≤32,故答案为:32.【点评】本题考查了一元一次不等式的应用,理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键.14.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图,已知三角形纸片ABC,第1次折叠使点B落在BC边上的点B′处,折痕AD交BC于点D;第2次折叠使点A落在点D处,折痕MN交AB′于点P.若BC=12,则MP+MN=6.【分析】先把图补全,由折叠得:AM=MD,MN⊥AD,AD⊥BC,证明GN是△ABC的中位线,得GN=6,可得答案.解:如图2,延长NM交AB于点G,由折叠得:AM=MD,MN⊥AD,AD⊥BC,∴GN∥BC,∴AG=BG,∴GN是△ABC的中位线,∴GN=BC=×12=6,∵PM=GM,∴MP+MN=GM+MN=GN=6.故答案为:6.【点评】本题考查了三角形的中位线定理,折叠的性质,把图形补全证明GN是△ABC的中位线是解本题的关键.15.如图1,在△ABC中,∠B=36°,动点P从点A出发,沿折线A→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1cm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图2所示.当AP恰好平分∠BAC时t的值为2+2.【分析】由图象可得AB=BC=4cm,通过证明△APC∽△BAC,可求AP的长,即可求解.解:如图,连接AP,由图2可得AB=BC=4cm,∵∠B=36°,AB=BC,∴∠BAC=∠C=72°,∵AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠PAC=∠B=36°,∴AP=BP,∠APC=72°=∠C,∴AP=AC=BP,∵∠PAC=∠B,∠C=∠C,∴△APC∽△BAC,∴,∴AP2=AB•PC=4(4﹣AP),∴AP=2﹣2=BP,(负值舍去),∴t==2+2,故答案为:2+2.【点评】本题是动点问题的函数图象,考查了等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,证明三角形相似是解题的关键.三、解答题:本大题共7道小题,满分共55分,解答应写出文字说明和推理步骤.16.求不等式组的解集,并把它的解集表示在数轴上.【分析】分别求出每一个不等式的解集,再求出其公共部分即可.解:,由①得:x≥1,由②得:x<4,∴不等式组的解集为:1≤x<4,将不等式组的解集表示在数轴上如下:【点评】本题考查了解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,掌握“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解题的关键.17.某中学积极落实国家“双减”教育政策,决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量,促进学生全面健康发展为优化师资配备,学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程(要求必须选修一门且只能选修一门)?”的随机问卷调查,并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图:请结合上述信息,解答下列问题:(1)共有120名学生参与了本次问卷调查;“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是99度;(2)补全调查结果条形统计图;(3)小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门,请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率.【分析】(1)由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数,即可解决问题;(2)求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数,即可解决问题;(3)画树状图,共有25种等可能的结果,其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种,再由概率公式求解即可.解:(1)参与了本次问卷调查的学生人数为:30÷25%=120(名),则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为:360°×=99°,故答案为:120,99;(2)条形统计图中,选修“厨艺”的学生人数为:120×=18(名),则选修“园艺”的学生人数为:120﹣30﹣33﹣18﹣15=24(名),补全条形统计图如下:(3)把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为A、B、C、D、E,画树状图如下:共有25种等可能的结果,其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有5种,∴小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为=.【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.18.如图,一次函数y=2x+b与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(1,4),与y轴交于点B.(1)k=4,b=2;(2)连接并延长AO,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点C,点D在y轴上,若以O、C、D为顶点的三角形与△AOB相似,求点D的坐标.【分析】(1)将点A(1,4)分别代入反比例函数y=(k≠0)和一次函数y=2x+b的解析式中,求解即可;(2)根据题意,需要分类讨论:当点D落在y轴的正半轴上,当点D落在y轴的负半轴上,△COD∽△AOB或△COD∽△BOA,依次根据比例关系,求解即可.解:(1)将点A(1,4)代入反比例函数y=(k≠0)的解析式中,∴k=1×4=4;将A(1,4)代入一次函数y=2x+b,∴2×1+b=4,解得b=2.故答案为:4;2.(2)当点D落在y轴的正半轴上,则∠COD>∠ABO,∴△COD与△ABO不可能相似.当点D落在y轴的负半轴上,若△COD∽△AOB,∵CO=AO,BO=DO=2,∴D(0,﹣2).若△COD∽△BOA,则OD:OA=OC:OB,∵OA=CO=,BO=2,∴DO=,∴D(0,﹣),综上所述:点D的坐标为(0,﹣2),(0,﹣).【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,考查了待定系数法求函数的系数,三角形相似的性质,解题的关键根据相似三角形的性质进行分类讨论.19.2022北京冬奥会期间,某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣,进货价和销售价如下表:(注:利润=销售价﹣进货价)类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价(元/件)3025销售价(元/件)4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,求两款钥匙扣分别购进的件数;(2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后,该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件(进货价和销售价都不变),且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润,最大销售利润是多少?(3)冬奥会临近结束时,网店打算把B款钥匙扣调价销售,如果按照原价销售,平均每天可售4件.经调查发现,每降价1元,平均每天可多售2件,将销售价定为每件多少元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元?【分析】(1)设购进A款钥匙扣x件,B款钥匙扣y件,利用总价=单价×数量,结合该网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设购进m件A款钥匙扣,则购进(80﹣m)件B款钥匙扣,利用总价=单价×数量,结合总价不超过2200元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元,利用总利润=每件的销售利润×销售数量,即可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题;(3)设B款钥匙扣的售价定为a元,则每件的销售利润为(a﹣25)元,平均每天可售出(78﹣2a)件,利用平均每天销售B款钥匙扣获得的总利润=每件的销售利润×平均每天的销售量,即可得出关于a的一元二次方程,解之即可得出结论.解:(1)设购进A款钥匙扣x件,B款钥匙扣y件,依题意得:,解得:.答:购进A款钥匙扣20件,B款钥匙扣10件.(2)设购进m件A款钥匙扣,则购进(80﹣m)件B款钥匙扣,依题意得:30m+25(80﹣m)≤2200,解得:m≤40.设再次购进的A、B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元,则w=(45﹣30)m+(37﹣25)(80﹣m)=3m+960.∵3>0,∴w随m的增大而增大,∴当m=40时,w取得最大值,最大值=3×40+960=1080,此时80﹣m=80﹣40=40.答:当购进40件A款钥匙扣,40件B款钥匙扣时,才能获得最大销售利润,最大销售利润是1080元.(3)设B款钥匙扣的售价定为a元,则每件的销售利润为(a﹣25)元,平均每天可售出4+2(37﹣a)=(78﹣2a)件,依题意得:(a﹣25)(78﹣2a)=90,整理得:a2﹣64a+1020=0,解得:a1=30,a2=34.答:将销售价定为每件30元或34元时,才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元.【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,找出w关于m的函数关系式;(3)找准等量关系,正确列出一元二次方程.20.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,点D为的中点,⊙O的切线DE交OC的延长线于点E.(1)求证:DE∥AC;(2)连接BD交AC于点P,若AC=8,cosA=,求DE和BP的长.【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得OD⊥DE,根据垂径定理的推论得OD⊥AC,便可得AC∥DE;(2)连接OD与AC交于点H,连接AD,在△ABC中,解直角三角形得AB,进而由勾股定理求得BC,再由中位线定理求得OH,在△ADH中由勾股定理求得AB,在△ABD中由勾股定理求得BD,最后由△PDO∽△PCB求得BP,由△OHC∽△ODE求得DE.【解答】(1)证明:连接OD,∵DE与⊙O相切于点D,∴OD⊥DE,∵点D为的中点,∴OD⊥AC,∴DE∥AC;(2)解:连接OD与AC交于点H,连接AD,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴AB=,∴BC=,∵点D为的中点,∴AH=CH=4,OD∥BC,∴OH=,∵OD=AB=5,∴DH=OD﹣OH=5﹣3=2,∴AD=,∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴BD=,∵OD∥BC,∴△HPD∽△CBP,∴,即,∴BP=3,∵HC∥DE,∴△OHC∽△ODE,∴,即,∴DE=.【点评】本题是圆的综合题,主要考查了垂径定理的推论,相似三角形的性质与判定,勾股定理,关键是运用相似三角形的知识解题.21.【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,连接BD,CE.求证:BD=CE.【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写出的值.【拓展提升】如图3,△ABC和△ADE都是直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且==.连接BD,CE.(1)求的值;(2)延长CE交BD于点F,交AB于点G.求sin∠BFC的值.【分析】【问题呈现】证明△BAD≌△CAE,从而得出结论;【类比探究】证明△BAD∽△CAE,进而得出结果;【拓展提升】(1)先证明△ABC∽△ADE,再证得△CAE∽△BAD,进而得出结果;(2)在(1)的基础上得出∠ACE=∠ABD,进而∠BFC=∠BAC,进一步得出结果.【解答】【问题呈现】证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE;【类比探究】解:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∴==,∠DAE=∠BAC=45°,∴∠DAE﹣∠BAE=∠BAC﹣∠BAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD∽△CAE,∴==;【拓展提升】解:(1)∵==,∠ABC=∠ADE=90°,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,,∴∠CAE=∠BAD,∴△CAE∽△BAD,∴==;(2)由(1)得:△CAE∽△BAD,∴∠ACE=∠ABD,∵∠AGC=∠BGF,∴∠BFC=∠BAC,∴sin∠BFC==.【点评】本题考查了等腰三角形性质,全等三角形判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形.22.已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表:x…﹣1012
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