2022-2023学年山东省威海市高一（下）期末数学试（含答案）

2022-2023学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求.

1.（5分）（2021春•威海期末）也是（）

6

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.（5分）（2021春•威海期末）已知向量1=（1,3）,5=（-1,⑼，且G//6,则机=（）

A.3B.-3C.-D.--

33

3.（5分）（2021春•威海期末）已知tana=3,则sin（j~+a）cosa=（）

A.--B.—C.--D.-

101044

4.（5分）（2021春•威海期末）如果函数y=cos（2x+0）的图像关于点（C,0）对称，那么|夕|

6

的最小值为（）

A.—B.-C.-D.—

12633

5.（5分）（2021春•威海期末）在AAfiC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

己知。=6，h=2,csinA=acos（C+—）>贝!]c=（）

6

A.1B.V13C.4D.13

6.（5分）（2021春•威海期末）已知"?，"是两条不同的直线，a,力是两个不同的平面，

则下列说法正确的是（）

A.若6//a,〃///，a11（3,则加〃〃B.若m//a,n!I（3,mVn,则a_L尸

C.若/n_La,aLp,”///,则〃?_L〃D.若znJLa,mlInn10,则a//4

7.（5分）（2021春•威海期末）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定

位等方面都有广泛的应用.球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣

弧长，称为测地线.己知正三棱锥S-ABC,侧棱长为2,底面边长为3,设球O为其外接

球，则球O对应的球面上经过S,A两点的测地线长为（）

A.-B.2C.—D.4

33

8.（5分）（2021春•威海期末）在正方体A8CO-A4CQ中，E,F,G分别为OR,A4,,

AB的中点，尸为底面A8C。上一动点，且直线£）///平面比6,则RP与平面A8CD所

成角的正切值的取值范围为（）

人,吟冷B.4,1]C.口,&]口.吟净

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.（5分）（2021春•威海期末）下列命题正确的是（）

A.PA+AC-PB=BC

B.若屈=38,则A,B,C,。四点共线

C.任意向量1,（々3）d=|dF

D.若向量5满足万石=|圳方|,则方共线

10.（5分）（2021春•威海期末）下列等式正确的是（）

A.sin15。cos15"=1

2

B2tan22.5"1

'1-tan222.5"一

C.cos4150-sin415'=—

2

、2-cos22001

3-sin50"2

11.（5分）（2021春•威海期末）己知正四棱台A3CZ）-ABC.，上底面A4GA边长为2,

下底面ABCD边长为4,高为1,则（）

A.该四棱台的侧棱长为G

B.二面角A-8C-筋的大小为?

C.该四棱台的体积为出血

3

D.A4,与3<7所成角的余弦值为：

12.（5分）（2021春•威海期末）将绘有函数/（x）=0sin（5-2）3>O）一个周期图像的纸

4

片沿X轴折成直二面角，若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为20,则（

)

A.4为函数/（x）的一个周期

B.函数/（x）的图像关于直线x=g对称

C.函数/（x）在（V）上单调递增

D.方程/（万=-1在（0M）上有两个实根,则4<67

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）（2021春•威海期末）设向量q,e2为单位正交基底，若N=2q，6=q+ke2,

且ML方，则左=.

14.（5分）（2021春•威海期末）在AA8C中，已知C=乙，若=*,则AA8C的面

32

积为•

15.（5分）（2021春•威海期末）现有一个圆锥形礼品盒,其母线长为30cm,底面半径为10cm,

从底面圆周上一点A,围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最

短长度为cm.

16.（5分）（2021春•威海期末）在平面直角坐标系xQy中，角均以x轴正半轴为始边.已

知角。的终边在直线y=2x上，则tan6=；已知角a与角力的终边关于直线y=2x对

称，且角。与单位圆的交点坐标为（噜，噜），则8S?=—.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）（2021春•威海期末）己知四棱锥S-ABC。的底面是正方形，必，平面A8C£>.

（I）设平面S3CC平面SAZ）=/,求证：IUBC；

（II）求证：平面S4CJ_平面S8£）.

18.（12分）（2021春•威海期末）已知函数/（x）=V3sincoxcoscox-sin2fyx+-,其中3>O,

Xl,%是函数/（X）的两个零点，且।的最小值为

（I）求3的值及/（X）的单调递减区间;

（11）将函数y=f\x）的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移3

个单位，得到函数），=g（x）的图像，求g（x）在［0,身上的值域.

4

19.（12分）（2021春•威海期末）某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：

（Usm—=3sin---4sin—；

266

/Q\.37r..71^71

②sin——=3sin4sin—；

444

③sin（-^）=-3siny+4sin'y.

（I）请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论；

（II）证明：sin3^=4sin（^--0）sin^sin（y+0）.

20.（12分）（2021春•威海期末）已知菱形A8C£＞的边长为2,P为对角线3。（异于5,

D）上一点.

（I）如图1,若BP=3PD,APBD=3,T&AB=a,AD=b.试用基底仅，6｝表示Q,

并求I而I；

（H）如图2,若血•A£i=0,点尸在边3C,8上的射影分别为E,F,求Q与乔的

夹角.

S1

21.（12分）（2021春•威海期末）在直三棱柱ABC-A/IG中，D,E分别是A4,,用0的

中点.

(I)求证：AE//平面GBD;

(II)若D”BD,AC=BC=\,A4,=2.

(i)求二面角-C的正切值;

（ii）求直线AE到平面QBD的距离.

22.（12分）（2021春•威海期末）如图，水平放置的圆柱形玻璃容器中和圆台形玻璃容器乙

的高均为3%”，容器甲的底面直径AC的长为lO/ca,容器乙的两底面直径G”，的

长分别为14c7〃和62ca.分别往容器甲和容器乙中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃

棒/,其长度为40cm.（容器壁厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

容器甲容器乙

（I）将/放在容器甲中，/的一端置于点A处，另一端置于母线CG上点B处，求/浸入水

中部分的长度;

（H）将/放在容器乙中，/的一端置于点G处，另一端置于母线”凡上点M处，求/浸入

水中部分的长度.

2022-2023学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求.

1.（5分）（2021春•威海期末）之三是（

）

6

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【解答】解：•.•也=竺巴±=3万+工，

666

，也是第三象限角.

6

故选：C.

2.（5分）（2021春•威海期末）已知向量1=（1,3）,b=,且G/历，则加=（）

A.3B.-3C.-D.--

33

【解答】解：由平行关系有lxm—3x（-1）=0,解得加=—3.

故选：B.

则sin(半+a)cosa=(

3.（5分）（2021春•威海期末）已知tana=3,)

A.--B.—C.--D.

101044

cos1a11

【解答】解：原式二-cos?a=-

si.n2~a+cos2~atatVa+\10

故选：A.

4.（5分）（2021春•威海期末）如果函数旷=8$（2万+9）的图像关于点（三,0）对称，那么|9|

6

的最小值为（）

A.—B.—C.—D.—

12633

【解答】解：函数f（x）=cos（2x+e）的图像关于点（生,0）对称，

6

rrrr

所以/（—）=cos（—+9）=0，

63

故：?+夕=攵4+],（RwZ）,

整理得：（p=k7T+—（＜kGZ），

当&=0时，|夕|的最小值为工.

故选：B.

5.（5分）（2021春•威海期末）在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

已知。=百，6=2,csinA=acos（C+—）,则c=（）

6

A.1B.V13C.4D.13

【解答】解：•・,csinA=QCOS（C+.）,/.sinCsinA=sincosC-sinC）,

6]

,/sin,/.sinC=-^-cosC——sinC，/.3sinC=V3cosC,

22

h

tanC=,・・・C£（0,乃）,/.C=—,

36

由余弦定理得力=3+4-2x6x2x且=1,・・・c=l.

2

故选：A.

6.（5分）（2021春•威海期末）已知加，”是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，

则下列说法正确的是（）

A.若〃z//c,〃//夕，a//p,则〃"/〃B.若zn//a,〃///?,mLn<则a_L/?

C.若aA./3>"//£,则〃?_L〃D.若〃?_La,m1In,n±/?,则a//£

【解答】解：小，〃是两条不同的直线，a，/?是两个不同的平面，

对于A,若利//a,〃///,a///?,则机与"相交、平行或异面，故力错误；

对于8,若zn//a,nlIP,mVn,则a与4平行或相交，故8错误；

对于C,若〃z_La,a1./3,nil。,则机与〃相交、平行或异面，故C错误；

对于。，若m_La,mlIn,〃J■广，则由面面平行的判定定理得a//6，故£>正确.

故选：D.

7.（5分）（2021春•威海期末）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定

位等方面都有广泛的应用.球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣

弧长，称为测地线.已知正三棱锥S-ABC,侧棱长为2,底面边长为3,设球O为其外接

球，则球。对应的球面上经过S,A两点的测地线长为（）

A.-B.2C.—D.4

33

【解答】解：如图,

设点。是点S在平面MC上的投影，则ZM=D3=DC,点O在直线SZ）」二，设球O的半径

为R,

.AB=BC=AC=3,SA=2,AO=|^32-(|>=6,则SL>=1,

在RtAAOD中，尸=(Gy+(R_i)2,解得R=2.

■JT

:.OA=OS=SA=2,可得/AOS=一，

3

球。对应的球面上经过S,A两点的测地线长为-x2=—.

33

故选：C.

8.（5分）（2021春•威海期末）在正方体A8CO-A4CQ中，E,F,G分别为伍，

4?的中点，P为底面ABC。上一动点，且直线〃？//平面EFG,则2P与平面ABC。所

成角的正切值的取值范围为（）

A.冲当B.母,1]C.[1.>/2]D.浮坐

【解答】解：由题意，如图所示，面耳G在正方体上的截面为EFG4，且

“为DC中点，

因为"尸//平面E尸G,而平面ABC.〃平面EFG,

所以RPu平面ABCR,又点尸为底面438上的一个动点，则点P在3c上，

所以RP与平面43CD所成的角为，

当点尸与点3重合时，NDPQ最小,此时tan/OBA=*=孝，

当点P与点C重合时，NDPQ最大,此时tanN£）C〃=*=1,

所以tanNOPR.

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共2（）分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.（5分）（2021春•威海期末）下列命题正确的是（）

A.PA+AC-PB=BC

B.若A月=3C/j,贝IJA,B,C,。四点共线

C.任意向量N,（d-a）a=|a|!

D.若向量4,6满足4•5=|d||b|,则。，万共线

【解答】解：对于A,PA+AC-PB=PC-PB=BC,故A正确；

对于8,由A月=3而，得AB//CZ）或A,B,C,。四点共线，故5错误;

对于C,任意向量2,®•砂G表示向量，而于（为非负实数，.•.他出阳司"％故C错误;

对于。，由足||6|cos<d,6>=|&|闻，可得cos<3,6>=1,则<d,6>=0,

a与6共线，故。正确.

故选：AD.

10.（5分）（2021春•威海期末）下列等式正确的是（）

A.sin15°cos15"=2

2

B2tan22.5"1

'1-tan222.5"一

C.cos4150-sin415'=—

2

、2-cos22001

3-sin50"2

【解答】解：对于A,sinl50cosl5°=—sin30°=—,故A错误;

24

2tan22.5"

对于8,=tan45°=1故8正确;

1-tan222.5"

对于C,cos;4150-sin4150=(cos2150-sin2150)(cos2150+sin2150)=cos30°=—，故C正

2

确;

14-cos40°

北崔故〃正确'

对于。，

故选：BCD.

11.（5分）（2021春•威海期末）已知正四棱台AB8-ABCQ，上底面A4GA边长为2,

下底面他CD边长为4,高为1,则（）

A.该四棱台的侧棱长为逐

B.二面角4-BC-4的大小为生

4

C.该四棱台的体积为"眩

3

D,仅与BC所成角的余弦值为g

【解答】解：A选项，设上下底面的中心分别为。，O,则四边形。由80为直角梯形.

其中04=0，03=20,所以C4=』2+（2夜-0）2=上,A选项正确.

3选项：见点在底面MCE）的射影为03的中点，设为E,过E作瓦'_LBC,垂足为尸.

则用E_LBC,EF±BC,所以BC_L平面gEF,所以81F_L8C,则NqFE为二面角

A-8C-4的平面角.

因为81E=1,EF=\,所以tanNB尸£=坐=1,ZB,FE=~,8选项正确.

'EF14

C选项：上底面的面积为4,下底面的面积为16,所以棱台的体积为

1亦

-x（4+16+V4xl6）xl=y,C选项错误.

O选项：因为4）〃8C,所以A4,与所成角即为A4,与4）所成角，

在等腰梯形的。。中，AAi=DDl=y/3,AR=2,4）=4,所以朋与何）所成角的余弦

值为J==当，。选项错误.

A/33

12.(5分)(2021春•威海期末)将绘有函数/(x)=0sin(s:-工)3>0)一个周期图像的纸

4

片沿》轴折成直二面角，若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为2夜，贝4(

)

A.4为函数/(x)的一个周期

B.函数f(x)的图像关于直线x对称

函数/(X)在(-1,|)上单调递增

C.

D.方程f(x)=-l在(0,4)上有两个实根，则4<&7

【解答】解：将绘有函数，(x)=0sin(8-&)(少>0)一个周期图像的纸片沿x轴折成直二

4

面角,

若原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为予+向=2五，

:.s=%,故/(x)=0singx-().

由于函数的周期为至=4,故A正确;

71

2

令x=1,求得f(x)=O,不是最值，可得函数/(x)的图像不关于直线x对称，故5错

误;

在得及上‘，如故函数小)在(-另)上单调递增，故C正确;

方程/（%）=T在（0M）上有两个实根，即&sin（|尤-?）=-1有2个解，

即sin（^x-?）=~~Y有2个解.

।-T717ia冗兀、7不〃乃4134

由十一x——G（z——，--------）,——<---------„，

244244244

则4<%7,故O正确，

故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）（2021春•威海期末）设向量不，窈为单位正交基底，若&=2"；-贰，6=4+kZ，

且则4=2.

【解答】解：根据题意，向量不，［为单位正交基底，则।不|=函1=1，

若a=2弓一-,b=et+ke2,且1-L6,

则有ab=(2e,-e2)-(e,+ke2)=2e}-ke；+(2k-l)et-e2=0>

即2—々=0,解可得々=2,

故答案为：2.

14.（5分）（2021春•威海期末）在AABC中，已知C=工，若围=则AABC的面

32

积为迪•

—4—

【解答】解：在AA3C中，由。=工，若5-C4=*,

32

得|CElOi|cosC=3,即」x|c力||C4|=3,

222

可得|5||而|=5,

1______1pi5/3

-SMBC=-|C%l|CB|sinC=-x5x^-=-^-

故答案为：亚.

4

15.（5分）（2021春•威海期末）现有一个圆锥形礼品盒,其母线长为30o〃,底面半径为10cm,

从底面圆周上一点A,围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最

短长度为—30\/3_cm.

【解答】解：将圆锥沿着侧棱展开可得扇形A8C,其圆心角248。=迎=红把=生

/303

连接AC,可得所用金色彩线的最短长度为AC={6+BC1-2AB-BC-cos手

=^302+302-2X30X30X(-1)=30百.

故答案为：30后.

16.（5分）（2021春•威海期末）在平面直角坐标系x0y中，角均以x轴正半轴为始边.已

知角。的终边在直线y=2x上，则tan，=2:已知角a与角尸的终边关于直线y=2x对

称，且角a与单位圆的交点坐标为（噜,噜），则cos/?=.

【解答】解：直线y=2尤的斜率为2,所以tan6=2或tan（〃+»）=2,即tan8=2.

3V10

y+姬x+----

1―10-.2X10

22

设角尸的终边与单位圆的交点坐标为（x,y），则,解得

二^x2=—l

3而

x-

10

V103面

x=.....-,y=-~-

1010

所以cos夕=工二一一患.

故答案为：2；—叵.

10

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）（2021春•威海期末）己知四棱锥S-AB8的底面是正方形，SA_L平面AfiC£）.

（I）设平面SBCC平面SAT）=/,求证：〃/8C；

（II）求证：平面S4C_L平面S3O.

s

【解答】证明：(I)•••5CC平面Q4D,ADu平面皿),AD//BC,

.•.8C〃平面

又8Cu平面P8C,平面C平面P5C=/,

:.UIBC.

(II)•.•S4JL平面ABCD,8£>u平面458,.-.S4±fiD,

•.,四棱锥S-ABC。的底面是正方形，AC_L3D,

•."ACp|5A=A,AC,SAu平面54C,

平面SAC,

3Z)u平面SBD,平面SAC±平面SBD.

18.(12分)(2021春•威海期末)已知函数/(x)=>73sinatxcoscox-sin2axx+g,其中。>0,

%，3是函数/(x)的两个零点，且-x?|的最小值为^■.

(I)求。的值及/(x)的单调递减区间；

(II)将函数y=/(%)的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移£

个单位，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)在［0,为上的值域.

4

▼加"多工、缶"/T\£(\'x/^•c1—2sin"cox\/3._1个•/--)、冗、

【解答】W：(1)/(X)=——sin2cox+--------------=——sin2cox4-—cos2cox=sm(269xH—),

22226

・・W，超是函数/(x)的两个零点，且1%-々1的最小值为

—=—,即T=乃，则2^=兀，则69=1,

222a)

即/(x)=sin(2x+—)，

由2攵4+工弱2r+工2k/r+—,k^Z,

262

得2人4+工领2x2k/r+—,keZ,

33

即版■+3kkn+容keZ,即函数的单调递减区间为伙乃+奈，版'+争，kwZ.

(II)将函数y=f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到

71

y=2sin(2^+—),

再向左平移合个单位，得到函数y=g(x)的图像，即

71TTTT

g(x)=2sin[2(x+；)+E=2sin(2x+；)，

12:;63

当瞬k工时，-^x+-—,

4336

则2sin葛领2sin(2x+?)2sin^,即掇史(x)2,

即g(x)的值域为[1,2].

19.(12分)(2021春•威海期末)某同学在三角函数的研究性学习中发现以下三个等式：

@sin—=3sin--4sin?—；

266

@sin—=3sin--4sin3—；

444

③sin(-Tr)=-3siny+4sin3y.

(I)请根据上述三个等式归纳出一个三角恒等式，并证明你的结论；

(II)证明：sin30=4sin(—-^)sin0sin(—+0).

33

【解答】解：(1)结论：sin3<9=3sin-4sin30,

证明如下：sin38=sin(2,+9)=sin2，cos0+cos26sing

=2sin夕cos?0+(1-2sin26)sin0

=2sin0(\-sin2夕)+(1—2sin28)sin0

=3sin0-4sin30；

(2)证明：4sin(——8)sin8sin(—+0)=4sin0(—cos0--sin0)(—cos。'sin6)

332222

3i

=4sin8(—cos20——siirO)=sin^(3cos20-sin20)=sin0(3-4sin20)=3sin0-4sin30.

44

结合(1)的结论sin3，=3sine—4sin3夕,

JTJT

可证得sin30=4sin(-----6)sin6sin(——F0)成立.

33

20.（12分）（2021春•威海期末）己知菱形的边长为2,P为对角线双）（异于8,

D)上一点.

(I)如图1,若BP=3PD,APBD=3,]&AB=a,AD=b.试用基底伍，石｝表示A7,

并求I而I；

(II)如图2,若A反A£i=O,点P在边8C,8上的射影分别为E,F,求A户与E户的

夹角.

图1图2

【解答】解：(I)因为3P=3PZ),所以丽=。而，

4

贝|」丽=丽+丽=诟+_丽=诟+_(而一函=一说+—而=_万+_6,

444444

_____1--3-11_311_

因为AP,BD—3,所以(一aH—6)(6—67)=—6"—6f2—u,b——x16—x16—a,b=3,

44442442

解得a-b=-2，

贝ij|Q=/_!-歹2+252+3鼠5=

V16168

fl"""""9~~13/iV7

J——x4+——x4+-x(-2)=——；

V161682

(II)因为A月•4万=0,所以A^_LA),

以A为原点，4?所在直线为x轴，4)所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

设尸(x,2-x),则E(2,2-x),F(x,2),

所以丽=(x,2-x),EF=(x-2,x)

贝|JQ•砺=x(x-2)+x(2-x)=0,故而与丽的夹角为C.

2

21.（12分）（2021春•威海期末）在直三棱柱ABC-48cl中，D,E分别是4cl的

中点.

（I）求证：AE//平面CBQ；

（H）若。G_LB。，AC=BC=\,M=2.

（i）求二面角B-OG-C的正切值；

（ii）求直线AE到平面QBD的距离.

【解答】证明：（I）取GB中点F并连接EF,

因为E是4G的中点，所以EFIIBg,且EF=；BB「

因为。是明的中点，所以且A〃=EF,所以四边形AOFE为平行四边形,

所以尸，因为4EC平面«8£）.。尸u平面GBQ,

所以AEII平面