(完整版)考研高数必备公式

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2

22212211cos12sinudu

dxxtguuuxuux+==+-=+=，，，

4一些初等函数：两个重要极限：

5三角函数公式：·诱导公式：

x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxx

x

xx

xx

x-+=-+±=++=+-==+=

-=

11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim1

sinlim

0==+=∞→→ex

x

x

xxx

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12

2

cos12cos2cos12

sin-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctgtg

·正弦定理：RC

c

BbAa2sinsinsin===·余弦定理：

Cabbaccos2222-+=

·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx-=

-=2

arccos2

arcsinπ

π

8中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=''=

'=-)(F)

()

()()()()()

)(()()(ξξξ

曲率：

α

ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=

-=

-=-=-==

.

1

;0.)

1(limMsMM:.,13202a

KaKyydsdsKMMs

Ktgydxydss=='+''==??='?'???=

=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

α

9定积分的近似计算：

???+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

nnnb

a

nnb

anyyyyyyyyn

a

bxfyyyynabxfyyyn

a

bxf)](4)(2)[(3)(])(2

1

[)()()(1312420220110ΛΛΛΛ抛物线法：梯形法：矩形法：

10定积分应用相关公式：

??--==?=?=b

a

badttfabdx

xfabykr

m

mkFA

pFs

FW)(1)(1

,2

221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：

空间解析几何和向量代数：

。

代表平行六面体的体积为锐角时，

向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(22

2

2

2

2

2

212121*********cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaak

ji

ba

cbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMM

dz

y

xzyx

z

yx

z

y

x

zyx

z

yxzyxz

zyyxxzzyyxxuu?

???

?????????????

??

?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

多元函数微分法及应用

z

yzxyxyxyxyxFFyz

FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux

v

vzxuuzxzyxvyxufzt

v

vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz

udyyudxxududyyzdxxzdz-

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??===???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：

时，

，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv

Gu

GvF

u

F

vuGFJvuyxGvuyxFv

uvu???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??==隐函数方程组：

微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0

),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy

xyxxzxzzyzy-=

-=-=-+-+-==????

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线?

?ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：

上的投影。在是单位向量。方向上的

，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。

轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflf

ljieeyxfl

fjy

fixfyxfyxpyxfzlxyf

xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=???

???????

?多元函数的极值及其求法：

????

???

??=--=====不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx

重积分及其应用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

???

?????+???????+==='

D

zD

yD

xzyxD

yD

xD

D

yD

xD

DD

ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM

MydyxdyxxM

MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面

曲线积分：

??

?==+-+-+-+-nnnn

nnnnurrusuuuuuuuuuuuΛΛ肯定收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ

级数：收敛；

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而假如收敛级数；绝对收敛，且称为肯定收敛，则假如为随意实数；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupn

nnnΛ

ΛΛΛ

幂级数：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnn

nnnnn时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的办法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，假如它不是仅在原点对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρΛΛΛΛ函数绽开成幂级数：

Λ

ΛΛ

Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

nnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!

)0(!2)0()0()0()(00

lim)(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2022)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以绽开成泰勒级数的余项：函数绽开成泰勒级数：ξ一些函数绽开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin)11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--xnx

xxxxxxnnmmmxmmmxxnnn

mΛΛΛΛΛ欧拉公式：

???

????-=+=+=--2sin2cossincosixixix

ixixeexeexxixe或三角级数：

。

上的积分＝在随意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)

sincos(2)sin()(00101

0ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

=ΛΛnxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn

傅立叶级数：

是偶函数，余弦级数：是奇函数

，正弦级数：（相减）

（相加）

其中，周期∑?

∑???∑+=

==

======+-+-=++++=+++=

+++???

?

???=====++=--∞

=nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnn

nnnnnnncos2

)(2,1,0cos)(2

0sin)(3,2,1nsin)(2

012413121164

1312112461412185

1311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(1

2)sincos(2)(0

2

2222

2222

222

2

221

0ΛΛΛΛΛΛΛΛπ

π

π

ππ

ππ

π

πππππππ

周期为l2的周期函数的傅立叶级数：

???

????=====++=??∑--∞=l

lnll

nnnnndxlxnxflbndxlx

nxflal

l

xnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos

)(12)sincos(2)(10ΛΛ其中，周期ππππ

微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分别变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分别变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyux

y

yxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy-=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0