高中数学-高中数学人教A版选修1-2教学课件设计

2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法【学习难点】对反证法的证明特点和思考过程的概括。

【学习重点】会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.1.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．【学习目标】目标导航1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论已知条件知识回顾路边苦李古时候有个人叫王戎，7岁那年的某天，他和小伙伴在路边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的，我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎：“这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？”王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！”

王戎是如何推断李子是苦涩的？他用的是什么方法？反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.反证法新课导入A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎,则A、B都撒谎.由A撒谎,知B没有撒谎.那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，

引例

反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

反证法的思维方法：正难则反新课讲授练习：在∆ABC中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角。例1已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,

是唯一性问题,常用反证法不妨设方程的两根分别为证：由于，因此方程至少有一个根假设方程至少存在两个根。则：与已知矛盾，故假设不成立，结论成立。典例探究反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.所以假设错误，故原命题成立证明:假设不大于则或因为所以否定要全面注：否定型命题(命题的结论是“不可能……”，“不能表示为……”，“不是……”，“不存在……”

，“不等于……”，“不具有某种性质”等)常用反证法典例探究证明：不可能成等差数列证明:假设能成等差数列，则两边平方得:化简得:两边平方得:此式显然不成立，所以假设错误不可能成等差数列

应用反证法的情形：

(1)直接证明困难;(2)结论为“唯一”类命题；(3)“否定”类命题

(4)需分成很多类进行讨论．

(5)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”类命题；正难则反!常见否定用语是－－－不是有－－－没有等－－－不等成立－－不成立大于－－不大于小于－－不小于都是－－不都是，即至少有一个不是都有－－不都有，即至少有一个没有都不是－部分或全部是，即至少有一个是至少有一个有（是）－－全部没有（不是）至少有一个不－－－－－全部都1、写出用“反证法”证明下列命题的“假设”.

(1)互补的两个角不能都大于90°.

(2)△ABC中,最多有一个钝角

假设互补的两个角都大于90°.假设△ABC中,至少有两个钝角(3)“若a2≠b2,则a≠

b”

。

假设a=b当堂达标2．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设(

)A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°【解析】

三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．【答案】

B当堂达标3．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．【解析】

“p且q”形式的否定为“非p或非q”．【答案】

x＝a或x＝b当堂达标4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形的内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°．

上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②当堂达标三个步骤：反设—归谬—存真归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。

一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。