第04章-平面问题的极坐标解答习题课课件

第04章习题课习题课_例1例1（习题4-9）：半平面体表面上受均布水平力q，试用应力函数Φ=r2(Bsin2f+Cf)求解应力分量（不计体力）。习题课_例1按逆解法进行求解（1）校核相容方程：应力函数代入式相容方程有满足相容方程。（2）求应力分量：将上式代入（4-9），得：习题课_例1习题课_例1本题的边界条件应分为两部分考虑：f=±p/2，代入边界条件公式，有：3、考察边界条件，求待定常数代入应力分量表达式，得：在y轴正半轴上（正f面）：在y轴负半轴上（负f面）：代入各系数，得：习题课_例2例题2（习题4-18）：设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。习题课_例2（2）求应力函数表达式：Φ应比应力的长度量纲高二次幂，可假设按半逆解法进行求解（3）由相容方程求应力函数的一般形式：上述应力函数必须满足相容方程，代入式（4-6）得：（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与M,

ρ,φ

有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即L-1MT-2，应力只能以

M/ρ2

形式组合。习题课_例2其中A、B、C和D为四个待定常数。方程为一个四阶常微分方程，其全部通解只有4项。用特征根法求解，得到其解：（3）求应力分量一般表达式：将上式代入（4-9），得应力分量为：习题课_例2习题课_例2集中力偶作用在原点，本题的边界条件应分为两部分考虑：（1）不包含原点，则在r≠0，f=±π/2的边界面上，没有任何法向和切向面力作用。4、考察边界条件，求待定常数首先分析问题的对称性：由于结构是正对称的，而荷载是反对称的，因此应力函数是反对称的。习题课_例2（2）在原点附近，考虑平衡条件。以点O为中心，以r为半径作圆弧线，取上半截为脱离体，然后考虑此脱离体的平衡条件，得到三个平衡方程：习题课_例2前两式自然满足，由第三式有：习题课_例2进而求得应力分量：习题课_例3例题3（习题4-19）：设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解Φ=Arlnrcosf+Brfsinf习题课_例3解：（1）经校核，上述Φ满足相容方程。（2）代入应力公式，得习题课_例3（3）考察边界条件。本题只有原点o

附近的小孔口上作用有集中力

F，可取出包含小孔口在内的、半径为ρ的脱离体，列出其三个平衡条件：将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出B=-F/2π

(a)习题课_例3（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。由物理方程求出应变分量，习题课_例3代入几何方程，得，

由前两式积分，得习题课_例3将

uρ,uφ

代入几何方程第三式，并分开变量，得

为了使上式在区域内任意的ρ,φ都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，

由式（b）解出

()cGdfddfABE。=--+-òjjjjmj)()(]2)1[(sin2习题课_例3

将式（c）对φ求导一次，再求出再将上式的f(φ)

代入uρ，得

()cGdfddfABE。=--+-òjjjjmj)()(]2)1[(sin2习题课_例3

显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须将式（a）代入上式，得习题课_例3

将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F

的解答：

习题课_例4例题4：图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，且远大于宽度。在两端受有力矩M的作用，试根据轴对称应力问题的应力通解求解该问题。习题课_例4解：（1）由题意知该问题属于轴对称问题。根据轴对称应力问题的定义，在每一个截面上，内力都必为M。引用轴对称应力解：应力表达式中的待定参数根据应力边界条件来确定。

习题课_例4

在主要边界ρ=R,r上，边界条件是由于τρφ=0，后两式自然满足，而其余两式为

习题课_例4

在两端部，或者任一截面φ=φ上，有边界条件上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式

习题课_例4