2021-2022学年湖南省永州市大路铺中学高三数学文测试题含解析

2021-2022学年湖南省永州市大路铺中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，是定义在[0,1]上的四个函数，其中满足性质“，且，恒成立”的为（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】设，根据恒成立可得与点的位置关系，从而可得正确的选项.【详解】设，则，表示线段上的点（除端点外），因为恒成立，所以点始终在下方，所以函数的图像是下凸的，故选A.【点睛】在坐标平面中，对于上的可导函数，若，时，总有成立，则函数的图像是向下凸的（即函数的导数是增函数）.2.某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：D【考点】E7：循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S，k值并输出k，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S

k

是否继续循环循环前

100

0/第一圈100﹣20

1

是第二圈100﹣20﹣21

2

是…第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0

6

是则输出的结果为7．故选D．3.若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B． C．4 D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．4.设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（?UB）=(

)A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：?RB={1，5，6}；∴A∩（?RB）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．5.已知、的取值如下表所示：若与线性相关，且，则（）01342.24.34.86.7（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略6.复数，则复数在复平面上对应的点位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D略7.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A. B.

C.或－ D.和－参考答案：C【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知k=±．故选C．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．8.已知R为实数集，集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|x＞1}，则（?RA）∩B=（）A．（0，1） B．（0，1] C．（1，2） D．（1，2]参考答案：C【分析】求出集合A，B，从而CRA，由此能求出（?RA）∩B．【解答】解：∵R为实数集，集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，B={x|x＞1}，∴CRA={x|0＜x＜2}，∴（?RA）∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．【点评】本题考查补集、交集的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是基础题．9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力10.均为正实数,且,，，则

A.

B.

C.

D.参考答案：A因为均为正实数，所以，即，所以。，因为，即，所以，即。，因为，所以，即，所以，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”。现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的的序号为

．参考答案：12.已知M是曲线y＝lnx＋x2＋(1－a)x上任意一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数a的取值范围是________．参考答案：13.中，角所对的边分别为，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）.②若AsinB>BsinA，则B＞A③存在某钝角，有；④若，则的最小角小于；⑤若，则.参考答案：①④⑤14.“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，于2016年8月16日发射升空．“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信．量子通信是通过光子的偏振状态，使用二进制编码，比如，码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度，码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度．如图所示

编码方式1编码方式2码元0

码元1

信号发出后，我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码，比如，信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式1进行解码，这时能够完美解码；信号发送端如果按编码方式1发送，同时接收端按编码方式2进行解码，这时无法获取信息．如果发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率是；如果发送端发送3个码元，那么恰有两个码元无法获取信息的概率是．参考答案：，【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，由此能求出发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率；进而利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率．【解答】解：发送端发送一个码元，基本事件总数n=2，接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1，∴发送端发送一个码元，那么接收端能够完美解码的概率p1==．发送端发送3个码元，恰有两个码元无法获取信息的概率p2==．故答案为：，．15.函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数m的取值范围是

．参考答案：作出的图象，与交点个数就是方程的个数，由图知，点当时，，，当直线与相切时，设切点，则，得，当直线由绕点转至切线过程中，与由四个交点，所以的取值范围是

16.给出下列命题中

①向量的夹角为；

②为锐角的充要条件；

③将函数的图象按向量平移，得到的图象对应的函数表达式为；

④若为等腰三角形；

以上命题正确的是

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：③④17.=

．参考答案：3【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：原式=log28=3，故答案为：3【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AB⊥BC,AD//BC,AD=3,PA=BC=2AB=2,PB＝．(Ⅰ)求证：BC⊥PB;(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；(Ⅲ)若点E在棱PA上，且BE//平面PCD，求线段BE的长．

参考答案：（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，且平面平面，因为⊥，且平面所以⊥平面．

……3分因为平面，所以⊥．

……4分

（Ⅱ）解：在△中，因为，，，所以，所以⊥．

……5分所以，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，，，，，，．易知平面的一个法向量为．

……6分设平面的一个法向量为，则，

即，令，则．

……8分设二面角的平面角为，可知为锐角，则，即二面角的余弦值为．

…10分（Ⅲ）解：因为点在棱，所以，．

……11分因为，所以，．……12分又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以．…13分所以，所以．

……14分19.（14分）设函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若当时，设函数图象上任意一点处的切线的倾斜角为，求的取值范围；

(Ⅲ)若关于的方程在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。参考答案：解析：(Ⅰ)函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,＋∞)

…2分由得，由得.所以函数的递增区间是(-2,-1),(0,+∞),递减区间是(－∞,-2)，(-1,0)…4分（Ⅱ）令，则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知，故

……9分(Ⅲ)方程,即记，

则.由得，由得∴在[0,1]上递减，在[1,2]递增.

…………11分为使在[0,2]上恰好有两个相异的实根，只须在[0,1)和(1,2]上各有一个实根，于是有

解得.

……14分20.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m3），侧面积为S（单位：m2）．（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式；（Ⅱ）求侧面积S的最大值；（Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）列出梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），求解体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．（II）得出g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，利用二次函数求解即可．（III）V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，），求解导数得出V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1），根据导数与单调性的关系求解．【解答】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），梯形ABCD的面积SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cos+1），θ∈（0，），设g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴当sin=，θ∈（0，），即θ=时，木梁的侧面积s最大．所以θ=时，木梁的侧面积s最大为40m2．（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．当θ∈（0，）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；当θ∈（，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．∴当θ=时，体积V最大．21.（本小题共12分）如