2022-2023学年上海职业高级中学(凌云校区)高三数学理联考试卷含解析

2022-2023学年上海职业高级中学(凌云校区)高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(

)A．m∥β且l1∥α B．m∥l1

且n∥l2 C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．故m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分而不必要的条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线和平面，平面和平面平行的性质是解决本题的关键．2.已知定义在R上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则的取值范围是A.

B.

C.

D.

参考答案：A略3.在右程序框图中，当时，函数表示函数的导函数.若输入函数，则输出的函数可化为

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.已知i是虚数单位，则复数i（2+i）的共轭复数为（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：复数i（2+i）=2i﹣1的共轭复数为﹣1﹣2i． 故选：D． 【点评】本题考查共轭复数的定义、复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.已知等比数列满足，且，则当时，（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.函数的值域为(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C略7.已知函数f（x）=，当x∈[0，10]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为（）A．55 B．100 C．110 D．120参考答案：B【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．【解答】解：x∈[0，1）时，f（x）=（x﹣1）2+2（x﹣1）+1=x2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣x+=0，∴x1+x2=1；x∈[1，2）时，f（x）=（x﹣1）2+1=x2﹣2x+2，令f（x）=x﹣，得：x2﹣3x+；∴x3+x4=3，x∈[3，4）时，f（x）=（x﹣2）2+2=x2﹣4x+6，令f（x）=x﹣，得：x5+x6=5，…，x∈[n，n+1）时，f（x）=（x﹣n）2+n，令f（x）=x﹣，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，x∈[9，10]时，f（x）=（x﹣9）2+9，令f（x）=x﹣，得：x19+x20=19，∴1+3+5+…+19=100，故选：B【点评】本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，难度中档．8.若的展开式中常数项为14，则实数的值为（

）A．

B．±1

C.

D．参考答案：C9.根据市场统计，某商品的日销售量X（单位：kg）的频率分市直方图如图所示，则由频率分布直方图得到该商品日销售量的中位数的估计值为

A．35

B．33．6

C．31．3

D．28．3参考答案：B频率分布直方图中，中位数左边及右边的面积相等，所以，则，所以中位数估计值为，选B.10.下列命题是真命题的为A．若,则

B．若,则

C．若,则

D．若,则参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果

。

参考答案：5

程序框图运行过程如表所示：i12345a1051684

【相关知识点】程序框图12.在中,,AB=2,AC=1，D是边BC上一点DC=2BD,则参考答案：13.若，则行列式=

．参考答案：【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】根据行列式的运算法则可得式=cosθ2﹣sinθ2，再利用二倍角的余弦公式化为1﹣2sin2θ，运算得结果．【解答】解：则行列式=cosθ2﹣sinθ2=1﹣2sin2θ=1﹣2×=，故答案为．【点评】本题考查行列式的运算，二倍角的余弦公式的应用，把要求的式子化为1﹣2sin2θ，是解题的关键．14.的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为________．参考答案：15.命题：若x≥1，则x2+3x﹣2≥0的否命题为．．参考答案：“若x＜1，则x2+3x﹣2＜0”略16.过原点作曲线的切线，则切线方程为________________.参考答案：略17.某高中共有2000名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30、30名学生，则该校高三有

_________名学生．参考答案：800

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．参考答案：考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题： 空间位置关系与距离．分析： （1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥B1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答： 证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE?面CA1D，BC1?面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD?面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD?面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B1﹣A1DC的体积===1点评： 本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性19.在数列{an}中，若a1，a2是正整数，且an=|an﹣1﹣an﹣2|，n=3，4，5，…，则称{an}为“D﹣数列”．（1）举出一个前五项均不为零的“D﹣数列”（只要求依次写出该数列的前五项）；（2）若“D﹣数列”{an}中，a1=3，a2=0，数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，写出数列{an}的通项公式，并分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值（若不存在不需要交代理由）；（3）证明：设“D﹣数列”{an}中的最大项为M，证明：a1=M或a2=M．参考答案：【考点】数列的极限．【分析】（1）由新定义，比如如10，9，1，8，7，1；（2）{an}的极限不存在，{bn}的极限存在．运用分段形式写出an与bn的通项公式，即可得到结论；（3）运用反证法证明．假设a1≠M且a2≠M，设a1=k，a2=l，讨论k，l的关系．运用推理论证得到矛盾，即可证明．【解答】解：（1）如10，9，1，8，7等等．（2）{an}的极限不存在，{bn}的极限存在．事实上，因为|3﹣0|=3，|0﹣3|=3，|3﹣3|=0，当n∈N*时，an=，k∈N*时，因此当n∈N*时，bn=6．所以bn=6．（3）证明：假设a1≠M且a2≠M，设a1=k，a2=l，若k=l，由an=|an﹣1﹣an﹣2|，可得{an}中的最大项为k，（k≠m），这与{an}中的最大项为M矛盾；若k≠l，可设k＞l，由an=|an﹣1﹣an﹣2|，可得前几项为k，l，k﹣l，k﹣2l（或2l﹣k），…，由k﹣2l＜k，2l﹣k＜k，可得k﹣3l＜k，3l﹣2k＜k，…，则{an}中的最大项为k，（k≠m），这与{an}中的最大项为M矛盾．综上可得假设不成立．则a1=M或a2=M．20.已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，，点Q在椭圆上，且的周长为6.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为(2,1)，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线，求的最大值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根据焦距和焦点三角形周长可求得，利用求得，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）当直线斜率不存在时，可判断出，，三点不共线，不符合题意；所以可假设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出和；由三点共线得到斜率相等关系，从而可求得；利用弦长公式和点到直线距离公式求得和，代入可整理出：，可知当时取最大值.【详解】（Ⅰ）由题意得：，解得：，

椭圆的方程为（Ⅱ）设，当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点在轴上，且与点不重合显然，，三点不共线，不符合题设条件故可设直线的方程由，消去整理得：……①则，

点的坐标为，，三点共线

此时方程①为：，则

则，又当时，的最大值为【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆综合应用中的求解最值的问题，解决直线与椭圆综合问题时，常采用联立的方式整理出韦达定理的形式，利用韦达定理表示出所求的距离或弦长，从而将所求问题转变为函数最值的求解问题.21.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，且各棱长均相等.D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点.（1）证明：EF∥平面A1CD；（2）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（3）求直线EF与直线A1B1所成角的正弦值.参考答案：（1）证明：连接，∵、分别是、的中点，∴，，∵三棱柱中，∴，，又为棱的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）证明：∵是的中点，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，∴面，又面，∴平面平面；（3）解：∵，，∴为直线与直线所成的角.设三棱柱的棱长为，则，∴，∴.即直线与直线所成角的正弦值为.22.(本题满分12分)如图，在等腰直角中，，，，为垂足．沿将对折，连结、，使得．（1）对折后，在线段上是否存在点，使？若存在，求出的长；若不存在，说明理由；

（2）对折后，求二面角的平面角的大小．

参考答案：（本小题满分12分）解：（1）在线段上存在点，使．

由等腰直角可知，对折后，，．在中，，∴，．

过作的垂线，与的交于点，点就是

满足条件的唯一点．理由如下：连结，∵，∴平面，∴，即在线段上存在