2021年辽宁省沈阳市南昌新世界学校高三数学文模拟试卷含解析

2021年辽宁省沈阳市南昌新世界学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（

）A．720

B．360

C．240

D．120参考答案：D略2.设函数f（x）=，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2t2+at，则正实数a的最小值是(

)A．2B．C．D．参考答案：B考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合f（x）的值域范围或者图象，易知只有在f（x）的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当f（x）＞2时，才会存在一一对应．解答： 解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R，又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R，∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2t2+at，在t∈（1，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1（因为2a2t2+at＞0），所以：f（x）＞2，解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，∴2a2t2+at＞1，t∈（1，+∞），且a＞0，所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，解得：t＞或者t＜﹣（舍去），∴≤1，∴a≥，故选：B点评：本题主要考查了分段函数的应用，本题关键是可以把2a2t2+at当作是一个数，然后在确定数的大小后再把它作为一个关于t的函数．3.过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A.x+y-2=0

B.y-1=0

C.x-y=0

D.x+3y-4=0参考答案：A要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线垂直即可.又已知点，则,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点，故由点斜式得，所求直线的方程为，即.故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.4.阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5.如图是用二分法求方程近似解的程序框图，其中，判断框内可以填写的内容有如下四个选择：①②③④，其中正确的是（

）A．①③

B．②③ C．①④ D．②④参考答案：C6.已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB得方程，由PF1⊥PF2，得?=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为：，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y）则bx=ay﹣ab，∴x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，∴?=（﹣c﹣x，﹣y）?（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴?=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e=．椭圆的离心率，故选：D．7.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为（

）A.-5

B.1

C.2

D.3参考答案：D8.已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得分的中位数之和是（

）A．62 B．63 C．64 D．65参考答案：B9.已知命题p：x<1，，则为(A)x≥1, (B)x<1,(C)x<1, (D)x≥1,参考答案：C10.如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个几何概型，由题意，试验包含的所有事件是∠BAD，而满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果．解答： 解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是∠BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则tan∠CAB=，∴∠CAB=30°，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点∴概率P==，故选：C．点评：本题考查了几何摡型知识，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，球面上有A，B，C三点，∠ABC=90°，BA=BC=2，球心O到平面ABC的距离为，则球的体积为．参考答案：π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意可知球心到平面ABC的距离为，正好是球心到AC的中点的距离，可求出球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：由题意，∠ABC=90°，BA=BC=2，AC=2，球心到平面ABC的距离为，正好是球心到AC的中点的距离，所以球的半径是：2，球的体积是：=π，故答案为：π．【点评】本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是中档题．确定三角形ABC的形状以及利用球半径与球心O到平面ABC的距离的关系，是解好本题的前提．12.函数f(x)＝的零点个数为________．参考答案：213.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________.

参考答案：略14.已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面

积为，则异面直线与所成角余弦值为 .参考答案：15.如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的体积为．参考答案：（2+）π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别计算圆锥和圆柱的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆锥的高为，体积为=π，圆柱的体积为π?12?2=2π，∴该组合体的体积为（2+）π．故答案为：（2+）π．【点评】本题考查圆锥和圆柱的体积，考查学生的计算能力，比较基础．16.一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次，如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为

．参考答案：17.函数的定义域是_______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分11分）已知函数（1）试求所满足的关系式；（2）若b=0，试讨论方程零点的情况.参考答案：【答案解析】（1）(2)当a=0或a=﹣2时，一个零点；当a＞0或﹣2＜a＜0时，有两个零点；当a＜﹣2时无零点.解析：（1）由，得∴b、c所满足的关系式为．(2)原方程等价于根据图像可得：当时，一个零点当时，两个零点，当时，两个零点，当时，一个零点，当时，无零点.【思路点拨】遇到判断方程的根的个数问题，若无法直接求根时，可转化为两个函数的图像的交点问题解答.19.(本小题满分14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）

（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系。

（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？参考答案：解：（1）设，所以，

即

…………6分(两个函数各3分)（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为()万元依题意得：…………8分令，…………9分

则…………12分所以当，即万元时，收益最大，万元…………14分略20.（本小题满分12分）袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，从袋中每次任取一个球，记下其编号；若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．（Ⅰ）求第二次取球后才“停止取球”的概率；（Ⅱ）求停止取球时所有被记下的编号之和为的概率．参考答案：解：（Ⅰ）记第二次取球后才“停止取球”为事件A．．答：第二次取球后才“停止取球”的概率为．

………6分（Ⅱ）记停止取球时所有被记下的编号之和为为事件．记下的编号为2、4、1为事件，记下的编号为4、2、1为事件，记下的编号为4、3为事件，互斥，；；；；．………12分答：停止取球时所有被记下的编号之和为的概率为．21.（本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（Ⅰ）求k的值及的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.参考答案：（Ⅰ）设陋热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为再由，得k=40，因此………3分而建造费用为.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为……………5分（Ⅱ）.解得（舍去）……………8分当时，故时，的最小值点，对应的最小值为.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.……12分22.（12分）（2015?陕西一模）已知函数f（x）=x?lnx，g（x）=ax3﹣x﹣．（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值．参考答案：【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）求导f′（x）=1+lnx，令f′（x）=1+lnx＞0解得增区间，再求最小值即可；（2）求导f′（x）=1+lnx，g′（x）=3ax2﹣，则由函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线知1+lnx=3ax2﹣，x?lnx=ax3﹣x﹣；联立求解．解：（1）