(完整word版)大一高数期末考试试题

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐(完整word版)大一高数期末考试试题2022学年第一学期

《高等数学（2-1）》期末模拟试卷

专业班级

姓名

学号

开课系室高等数学

考试日期2022年1月11日

页号一二三四五六总分得分

阅卷人

注重事项

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；

2．答题时请注重书写清晰，保持卷面清洁；

3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

1．

2

1

lim()

x

xxex→-=

.

2．

()()120221

1xxxxeedx--+-=

?

.

3．设函数()yyx=由方程

2

1

xytedtx

+-=?

确定，则0

xdy

dx

==

.

4.设()xf可导，且1

()()x

tftdtfx=?，1)0(=f，则()=xf.5．微分方程044=+'+''yyy的通解为.

二．挑选题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设常数0>k，则函数

kexxxf+-

=ln)(在),0(∞+内零点的个数为（）.

(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程43cos2yyx''+=的特解形式为（）.

（A）cos2yAx*=;（B）cos2yAxx*=;（C）cos2sin2yAxxBxx*

=+;（D）xAy2sin*

=.3．下列结论不一定成立的是（）.

（A）若[][]badc,,?,则必有

()()??

≤b

a

d

c

dx

xfdxxf;

（B）若0)(≥xf在[]ba,上可积,则()0b

a

fxdx≥?;

（C）若()xf是周期为T的延续函数,则对随意常数a都有()()??+=T

T

aa

dx

xfdxxf0

;

（D）若可积函数()xf为奇函数,则()0x

tftdt?也为奇函数.

4.设

()x

xee

xf11

321++=

,则0=x是)(xf的（）.(A)延续点;(B)可去间断点;

(C)跳动间断点;(D)无穷间断点.

三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分）

得分

1．计算定积分

2

23

x

xedx

-

?

.

2．计算不定积分

dx

x

x

x

?5

cos

sin

.

3．求摆线?

?

?

-

=

-

=

),

cos

1(

),

sin

(

t

a

y

t

t

a

x

在2

π

=

t

处的切线的方程.

得

分

本页满分12分本

页

得

分

4.设20

()cos()x

Fxxtdt

=-?，求)(xF'.

5．设nnnnnxn

n)

2()3)(2)(1(Λ+++=

，求n

nx∞→lim.

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线2-=xy与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

本页满分15分本页得分

2．设平面图形D由

222xyx+≤与yx≥所确定，试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.

3.设1,a>atatft

-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().ta问a为何值时)(at最小?并求最小值.

本页满分18分本页得分

五．证实题（7分）

设函数()fx在[0,1]上延续，在(0,1)内可导且

1

(0)=(1)0,()12fff==，

试证实至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()=1.fξ'

一．填空题（每小题4分，5题共20分）：

1．2

1

lim()x

xxex→-=

2

1

e.

2．

()()120221

1xxxxeedx--+-=

?

e4.

3．设函数()yyx=由方程2

1

xy

tedtx+-=?确定，则0

xdy

dx

==

1-e.

4.设()xf可导，且

1

()()

xtftdtfx=?

，1)0(=f，则()=xf2

2

1xe

.

5．微分方程044=+'+''yyy的通解为x

exCCy221)(-+=.

二．挑选题（每小题4分，4题共16分）：

1．设常数0>k，则函数

k

ex

xxf+-

=ln)(在

),0(∞+内零点的个数为（B）.(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.2．微分方程xyy2cos34=+''的特解形式为（C）

（A）cos2yAx*=；（B）cos2yAxx*=；

（C）cos2sin2yAxxBxx*

=+；（D）

xAy2sin*=3．下列结论不一定成立的是（A）

(A)(A)若[][]badc,,?,则必有

()()??≤b

a

dc

dxxfdxxf;

(B)(B)若0)(≥xf在[]ba,上可积,则()0b

a

fxdx≥?;

(C)(C)若()xf是周期为T的延续函数,则对随意常数a都有

()()??

+=T

Taa

dx

xfdxxf0

;

(D)(D)若可积函数()xf为奇函数,则()0x

tftdt?也为奇函数.

本页满分7分本页得分

4.设

()x

xee

xf11321++=

,则0=x是)(xf的（C）.(A)延续点;(B)可去间断点;

(C)跳动间断点;(D)无穷间断点.三．计算题（每小题6分，5题共30分）：1．计算定积分?-2

032

dx

exx.

解：

??

?

===2

02

02

322121,2

ttxtdedttedxextx则设2

?

??

???--=?--202221dtetett222

23210221=--=e

eet2

2．计算不定积分dxxxx?

5

cossin.

解：

???

???-==???xdxxxxxddxxxx4445coscos41)cos1(41cossin3

Cxxxxxdxxx+--=+-=

?tan41tan121cos4tan)1(tan41cos43

42

4

33．求摆线???-=-=),cos1(),sin(tayttax在

2π=

t处的切线的方程.解：切点为

)

),

12((aa-π

2

2

π==

tdxdyk2

)cos1(sinπ

=-=

ttata1=2

切线方程为)

12

(

--=-π

axay即

a

xy)22(π

-+=.2

4.设

?-=x

dt

txxF0

2)cos()(，则=')(xF)cos()12(cos22

2

xxxxx.

5．设nnnnnxn

n)

2()3)(2)(1(Λ+++=

，求n

nx∞→lim.

解：

)

1ln(1ln1∑=+=ninninx2

?∑+=+==∞→∞→101)1ln(1

)1

ln(limlnlimdx

xnnixn

innn2

=12ln211

)1ln(1010-=+-+?dxxxxx2

故n

nx∞→lim=

ee41

2ln2=-四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求由曲线2-=

xy与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.

解：

设切点为

),00yx（，则过原点的切线方程为x

xy221

0-=

，

因为点

),00yx（在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==yx.3

过原点和点)2,4(的切线方程为

22x

y=

3

面积

dy

yys)222(2

2

?

-+==32

23

或322)22

21(

2

2120

4

2

=

--+=?

?dxxxxdxs

2．设平面图形D由2

2

2xyx+≤与yx≥所确定，试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.

解：法一：21VVV-=

[]

[]

?

??==10

22

1

210

2

2)1(12)2()11(2dy

yy

dyydyyπππ6

)

314(201)1(3

1423-=??????--=ππππy3法二：V=

?1

2)2)(2(2dx

xxxxπ

??=10

10

22)2(22)2(2dx

xxdxxxxππ5

[]

?--+--=1

0223

4

222)22(π

πdxxxxxxππππππ

ππ32213421323

4141201)2(322223

2-=-+=-????????+-=xx4

3.设

1,a>atatft

-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().ta问a为何值时)(at最小?并求最小值.

解:

.lnlnln1)(0ln)(aa

ataaatft-==-='得由3

0)(ln1

lnln)(2