轴的扭转课件

工程应用实例工程应用实例几个重要概念扭转：是杆的又一种基本变形形式。其受力特点是：构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的、大小相等的、转向相反的力偶矩作用，使杆件的横截面绕轴线发生相对转动。扭转角：任意两横截面间的相对角位移。轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。MMOBAABO一、外力偶矩§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图

设电机输入功率为

N

(kW)，轴的转速为n

(r/min)，则N=mω，将ω=2πn/60带入整理可得外力偶矩计算公式：

电机传递扭矩

转动机器已知匀速转速—n转/分钟

；输出功率—N千瓦

，求扭矩T（图中

T是机器对于电机扭矩的反作用力矩）解:

《出发点

——计算一分钟的功

W》从扭矩看

从电机看

两式得扭矩

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图二、扭矩和扭矩图扭矩矢量背离截面为

+

，指向截面为

-符号规定：用矢量表示，采用右手螺旋法则：

——绕轴线旋转

∴由截面法

扭矩（T）

的内力偶矩

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图扭矩图——扭矩沿轴线的变化图线

2.正值画在上方，扭矩图的做法：1.横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩；负值画在下方。§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图例

8-1

某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350N·m，1.求扭矩

解：

MeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此轴的扭矩图。

对AB段：

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图1.求扭矩

对AB段：

对BC段：

MeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此轴的扭矩图。解：

§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图例

8-1

某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350N·m，1.求扭矩

解：

对AB段：

对BC段：

2.作扭矩图MeAACBMeBMeCMeB=1000N·m，

MeC=650N·m。作此轴的扭矩图。§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图例

8-1

某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350N·m，3.讨论

将轮B与轮C的位置对调

结论：

为了减小传动轴内的

扭矩，应合理的安排主动轮与从动轮的位置。。

MeAACBMeBMeC§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图求扭矩的法则：

任意横截面上的扭矩

实用法则：

取左(右)段时，向左(右)的外扭矩矢量，在截面上

=截面一侧所有外扭矩的

代数和

产生正扭矩，反之，产生负扭矩；代数和为正，则扭矩为正，代数和为负，则扭矩为负。MeAACBMeBMeC§8.1外力偶矩、扭矩和扭矩图薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）薄壁圆筒扭转实验（1）实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。1、薄壁圆筒扭转时的切应力§8.2受扭构件的应力及强度条件（2）实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。（3）结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。§8.2受扭构件的应力及强度条件推论横截面上无正应力，只有切应力；切应力方向垂直半径或与圆周相切.dxt

圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等，近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化。MeMeABDC§8.2受扭构件的应力及强度条件薄壁圆筒扭转时的切应力：

A：平均半径所作圆的面积r：圆筒平均半径Tττ§8.2受扭构件的应力及强度条件xdydzdxyz2、切应力互等定理ττ

2.1在单元体左、右面（杆的横截面）上只有切应力，其方向于y

轴平行.

可知，两侧面的内力元素

dydz

大小相等，方向相反，将组成一个力偶。由平衡方程其矩为(dydz)dx§8.2受扭构件的应力及强度条件xydydzzdxττ2.2要满足平衡方程在单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对内力元素它们组成力偶，其矩为此力偶矩与前一力偶矩数量相等而转向相反，从而可得(dydz)dx§8.2受扭构件的应力及强度条件2.3切应力互等定理在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。xydydzzdxττ§8.2受扭构件的应力及强度条件§8.2受扭构件的应力及强度条件单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。acddxbdy´´tz纯剪切单元体：单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体.

扭转时,单元体abcd的ab边相对于cd发生了微小的相对错动，引起单元体abcd的剪切变形。

如图所示：ab边对cd边相对错动的距离是：

直角abc的角度改变量：3、剪切胡克定律§8.2受扭构件的应力及强度条件mml式中，r为薄壁圆筒的平均半径.由图所示的几何关系得到

薄壁圆筒的扭转试验发现，当外力偶

m在某一范围内时，与m（在数值上等于T）成正比.∴§8.2受扭构件的应力及强度条件τ∝mγ∝φγ∝τ切应力低于剪切比例极限时：φ∝m∴§8.2受扭构件的应力及强度条件

式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。

剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：

可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。§8.2受扭构件的应力及强度条件剪切胡克定律二、圆轴扭转时横截面上的应力1、变形几何关系

§8.2受扭构件的应力及强度条件扭转变形现象：

取一等直圆轴，在其表面上作圆周线和纵向线，在扭转力偶矩m作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象，即各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周间的距离不变。在小变形的情况下，纵向线近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的矩形，变形后错动成平行四边形。圆轴扭转平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直径，且相邻两截面间的距离不变。

扭转时,单元体abcd的ab边相对于cd发生了微小的相对错动，引起单元体abcd的剪切变形。

如图所示：ab边对cd边相对错动的距离是：

直角abc的角度改变量：§8.2受扭构件的应力及强度条件可以求得距圆心为处的切应变为：§8.2受扭构件的应力及强度条件2、物理关系

由剪切胡克定律

同一圆周上各点剪应力

均相同，且其值与成正比，

与半径垂直。§8.2受扭构件的应力及强度条件3、静力学关系

令：IP

—为横截面对形心的极惯性矩则：或：

从而得等直圆杆在线弹性范围内扭转时，横截面上任一点处切应力计算公式:§8.2受扭构件的应力及强度条件横截面周边上各点处(

=R)的最大切应力为:引入:

式中Wp称为抗扭截面系数，其单位为m3。§8.2受扭构件的应力及强度条件4、圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp实心圆截面：空心圆截面：§8.2受扭构件的应力及强度条件强度条件扭转强度条件同样可以用来解决三类问题：三、圆轴扭转时的强度计算圆轴扭转时的强度条件设计截面尺寸强度校核确定许用载荷§8.2受扭构件的应力及强度条件

例8-2

如图所示为阶梯形圆轴，其中实心AB段直径d1=40mm；BD段为空心部分，外径D=55mm，内径d=45mm。轴上A、D、C处为皮带轮，已知主动轮C输入的外力偶矩为MC=1.8kN·ｍ，从动轮A、D传递的外力偶矩分别为MA=0.8kN·m，MD=1kN·m，材料的许用切应力[]=80MPa。试校核该轴的强度。解：

1）画扭矩图：用截面法（或简捷方法）可作出该阶梯形圆轴的扭矩图如图所示。1.0kNm0.8kNm§8.2受扭构件的应力及强度条件2）强度校核：由于两段轴的截面面积和扭矩值不同，故要分别进行强度校核。

AB段：

CD段：轴的内外径之比

故：此阶梯形圆轴满足强度条件。

§8.2受扭构件的应力及强度条件一、扭转变形扭转角：圆轴扭转时，两横截面相对转过的角度称为这两截面的相对扭转角。抗扭刚度：式中的GIP

称为圆轴的抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。MMOBA若在圆轴的l长度内，T、G、IP均为常数，则圆轴两端截面的相对扭转角为：§8.3圆轴扭转时的变形和刚度计算

工程上[

]的单位通常用度/米（/m），由于1弧度=180/，故上述刚度条件又可写成单位长度扭转角刚度条件刚度条件二、刚度计算§8.3圆轴扭转时的变形和刚度计算单位长度许用扭转角[

]的大致取值如下：刚度条件说明

精密机器、仪器的轴：[]=/m（0.25～0.50）

精度要求不高的传动轴：[]=/m（2.0～4.0）

一般传动轴：[]=/m（0.5～1.0）§8.3圆轴扭转时的变形和刚度计算

例8-3

传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm，转速n

=300r/min。主动轮A输入的功率PA=36.7KW；从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=14.7KW，PC=PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用切应力[

]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=1.5/m，试校核轴的强度和刚度。解：

1）计算外力偶矩

同理§8.3圆轴扭转时的变形和刚度计算2）绘制扭矩图

用截面法求1-1截面的扭矩2-2截面的扭矩3-3截面的扭矩

绘出的扭矩图如图所示。显然AC段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。112233700Nm350Nm468NmBACD§8.3圆轴扭转时的变形和刚度计算3）强度校核

4）刚度校核因轴同时满足刚度条件，所以传动轴是安全的。