课件：人教版八年级下册数学第十六章《二次根式》共8课时

第十六章《二次根式》人教版八年级数学下册情景引入新知探究课堂练习课堂小结达标测试读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。16.1.1二次根式(1)1．复习平方根、算术平方根的概念和性质；2.根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由；2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．学习重点：

从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念．学习目标

先填空再探索：990乘方运算(乘方的逆运算)开平方运算±3±0(乘方的逆运算)不存在复习回顾∵（±1.2）2=1.44∴±1.2叫做1.44的平方根∵（±2）2=4∴±2叫做4的平方根∵x²=a∴x叫做a的平方根如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。平方根：算术平方根：

正数的正的平方根叫做它的算术平方根。请分别说出49，，0的平方根和算术平方根。☞解：∵（±7）2=49∵（±）2=∵02=0∴49的平方根是，∴的平方根，∴0的平方根和算术平方根都是0(a≥0)(a≥0)49的算术平方根是；±77

的算术平方根。ｘ就是a的平方根。X2

底数指数幂=a如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。概念再认识2根指数被开方数（m≥0)读作：正负二次根号m根号平方根算术平方根（m≥0)请你区别（a≥0）下列式子分别表示什么意义？例:

先说出下列各式的意义，再计算。

的平方根

的算术平方根

的负平方根平方根与算术平方根有什么区别和联系？

区别

平方根算术平方根联系(1)平方根包含算术平方根(2)被开方数都为非负数(3)0的平方根和算术平方根都是0（4）平方根和算术平方根都是开平方运算定义个数表示结果如一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根非负数a的非负平方根叫a的算术平方根一个两个正数的平方根一正一负，互为相反数。正数的算术平方根只有一个正数。你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？算术平方根平方根立方根表示方法的取值性质≥开方≥正数0负数正数（1个）0没有互为相反数(2个)0没有正数（1个）0负数（一个）求一个数的平方根的运算叫开平方求一个数的立方根的运算叫开立方是本身0,100,1,-1平方根的性质：(1)一个正数有

个平方根,它们

.(2)0的平方根是

．(3)负数

平方根．互为相反数两0没有正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。算术平方根的性质：1.判断下列说法是否正确：（1）－9的平方根是－3;（2）49的平方根是7；（3）（－2）2的平方根是±2；（4）1的平方根是1；（5）－1是1的平方根;（6）7的平方根是±49.（7）若X2=16，则X=4××√×√××2.问：3有没有平方根？若有怎样表示运算？

求一个数的平方根的运算叫做开平方。课堂练习

试一试：说出下列各式的意义；观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数情景导入如图示的值分别表示正方形和圆的面积，则S正方形的边长是

；圆的半径长是

。b-31.二次根式的概念：合作探究想一想：3、a≥0,≥0(双重非负性）例1:判断，下列各式中那些是二次根式？定义：式子叫做二次根式.

不要忽略其中a叫做被开方式。例题学习由，得；（2）由,

得。(1)(2)(3)例2a取何值时,下列根式有意义?（1）解：a为任何实数（3）正数0没有x≥2课堂练习x≥-3x≤25x>0任意实数x>3x<43<x<4x≥1x≠0x≥11、什么叫做二次根式？

2、二次根式有哪两个形式上的特点？

课堂小结2、若，那么=

,=

。达标测试3、当

=

时，代数式有最小值，其最小值是

。（一）填空题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？二次根式：

。2、二次根式中，字母a的取值范围是（）

A、a＜lB、a≤1C、a≥1D、a＞13、已知则x的值为（）A、x>-3B、x<-3C、x=-3D、x的值不能确定CC（二）选择题：1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（）

A、B、C、D、D（三）、当是怎么的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）（

）（2）（

）（3）（

）（4）（

)

a≥1a≥32–a≤0a≤5祝同学们学习进步！再见第十六章《二次根式》人教版八年级数学下册情景引入新知探究课堂练习课堂小结达标测试读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。16.1.1二次根式(2)1．复习巩固二次根式的概念及意义；2．了解二次根式的性质，并能用二次根式的性质解决问题．学习重点：运用二次根式的性质解决问题．学习目标

复习回顾1.什么叫二次根式？2.二次根式的意义：（1）.a可以是数,也可以是式；（2）.形式上含有二次根号；（3）.a≥0,≥0(双重非负性）（4）.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.3、x取何值时,下列二次根式有意义?由，得；（2）由,

得;（1）解：（3）由,

得x为任何实数；（4）由,

得;（5）由,

得;（6）由,

得;二次根式的性质（１）合作探究1-2面积性质二:5练习1:二次根式的性质（２）试一试（4）把下列各数写成平方的形式：3=，利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。如4=。

根据等式的定义，可得我们已经得到:在实数范围内因式分解：①；②练习2:a-a|a|02233二次根式的性质（３）由,可以得。

利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“”的形式，例：

a0-a(a>0)(a=0)(a<0)归纳知识迁移1.计算下列各题:(1)(2)2.若,则x的取值范围为()A.x≤1B.x≥1C.0≤x≤1D.一切有理数课堂练习解：（1）（2）A

与是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。解：（a为任意实数）（a≥0）与不相同。1、什么叫做二次根式？

2、二次根式有哪两个形式上的特点？

课堂小结（一）填空题：1、

；2、若，那么=

,=

。4、在实数范围内因式分解：（1）()2=（x+

）(y-

)；达标测试3、当

=

时，代数式有最小值，其最小值是

。()2=（x+

）(y-

)。

（2）4、下列计算中，不正确的是（）。

A、3=

B、0.5=C、D、

（二）选择题：1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（）

A、B、C、D、2、二次根式中，字母a的取值范围是（）

A、a＜lB、a≤1C、a≥1D、a＞13、已知则x的值为（）A、x>-3B、x<-3C、x=-3D、x的值不能确定DCCD解：（1）（2）（三）计算：（3）∵x<0（四）已知：x<0,化简解：∴4x<0（五）化简：解：祝同学们学习进步！再见第十六章《二次根式》人教版八年级数学下册情景引入新知探究课堂练习课堂小结达标测试读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。16.2.1二次根式的乘法1．探索二次根式乘法法则；2．能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算。学习重点：二次根式乘法法则的探究和应用．学习目标

情景导入1、一个平行四边形的底为，高为，

求：这个平行四边形的面积。根据平行四边形的面积公式S=ah求解。提示这是最终结果吗？这个结果能否继续化简？如何化简？2.如果矩形的面积是，长为，求宽。根据矩形的面积公式S=ab求解。提示？这是最终结果吗？这个结果能否继续化简？如何化简？合作探究有什么规律？有什么规律？算术平方根的积被开方数积的算术平方根二次根式的乘法：逆向等式：可以进行二次根式的化简。归纳（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）

下面的等式成立吗？为什么？被开方数不能为负数！不成立正确：不成立正确：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1.5cm，AC=3cm，求斜边AB的长。CAB3cm？1.5cm例题学习解：由勾股定理AB2=AC2＋BC2，∴AB=（cm）（2）（1）课堂练习解：1、计算：（2）（1）16，b2，c2，

是开得尽的因数或因式。（2）2、化简：（1）（1）解：（2）一题多解3、计算：解：（2）一题多解解：1、二次根式的乘法：课堂小结2、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。3、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。达标测试1、选择题（1）等式成立的条件是（）

A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1（2）下列各等式成立的是（）．A．4×2=8B．5×4=20C．4×3=7D．5×4=20

AD（3）二次根式的计算结果是（）A．2B．-2C．6D．12

2、化简：（1）；（2）；A解：（1）（2）3、计算：（1）；（2）；

解：（1）（2）4、计算：（1）6×（-2）；

（2）；

解：（1）（2）5、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

(1)-3；(2)。

解：（1）（2）祝同学们学习进步！再见第十六章《二次根式》人教版八年级数学下册情景引入新知探究课堂练习课堂小结达标测试读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。16.2.1二次根式的除法1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。学习重点：

掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。学习目标

复习回顾1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质二次根式的乘法：积的算术平方根的性质：可以进行二次根式的化简。（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）2、计算：（1）（2）解：（1）（2）有什么规律？有什么规律？合作探究商的算术平方根算术平方根的商二次根式的除法：逆向等式：可以进行二次根式的化简。归纳（a≥0，b>0）（a≥0，b>0）1、化简：（2）（1）

如果被开方数是带分数，应先化成假分数。例题学习解:（1）（2）2、计算：（1）

如果根号前有系数，就把系数相除，仍作为二次根号前的系数。解:（1）一题多解（2）为了去掉分母中的根号最后结果的分母中不含二次根式。（3）（4）为了去掉分母中的根号最后结果的分母中不含二次根式。分母有理化

把分母中的根号化去,使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化。2.分母有理化的关键是要搞清分式的分子和分母都乘什么。注意1.在二次根式的运算中，一般先观察把能化简的二次根式化简，再考虑如何化去分母中的根号。归纳总结这样的二次根式，叫做最简二次根式。知识要点最简二次根式的特点

被开方数不含分母。被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。以上各例题的最后结果：

分母中不含二次根式。被开方数不能含有小数或分数。分子分母不能约分。最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。在二次根式的运算中，最后结果的一般要求××××

看谁算得快化简。课堂练习1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.2.应用3.将平方式（或平方数）应用把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。化简二次根式的步骤课堂练习1、计算：（1）

（2）

解:（1）（a≥0，b>0）（2）2、化简：（1）（2）解:（1）（2）（a≥0，b>0）3、化简：（分母有理化）(1)；

（２）；(３)；(４)。解:（1）（2）（3）（4）或1、二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。课堂小结（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。（2）应用。（3）将平方式（或平方数）应用把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。2.化简二次根式的步骤：达标测试

1、选择题（1）计算的结果是（）．A．B．C．D．（2）化简的结果是（）A．-B．-C．-D．-

m>52.等式成立的条件是____________。解：要想等式成立，必须满足：m－3≥0m－5>0m≥3m>5m>5（4）（3）（2）3.在括号内填写适当的数或式子使等式成立。（1）4.化简:解：(1)(2)6.已知实数a、b满足求:的值。解：要想原等式有意义，

必须满足：将a、b

代入∴祝同学们学习进步！再见第十六章《二次根式》人教版八年级数学下册情景引入新知探究课堂练习课堂小结达标测试读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。16.2.1二次根式的乘除混合运算1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。学习重点：

会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。学习目标

1、二次根式的性质(1)复习回顾(2)(3)(4)化简：（1）；（2）；（3）；(4）。课堂练习解：（1）（2）（3）（4）观察下列二次根式及其化简所得结果,比较被开方数发生了什么变化?被开方数不含开得尽方的因数或因式被开方数不含分母合作探究分母中含二次根式被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（2）被开方数不含分母．如：√√（1）被开方数不含开得尽方的因数或因式。

（被开方数各因式的指数都为1）．（3）分母中含二次根式．解(1)∵被开方数含分母３，∴不是最简二次根式．(2)∵被开方数分解：∴是最简二次根式．注:被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察。例１．判断下列二次根式是不是最简二次根式例题学习(3)∵被开方数分解：∴不是最简二次根式．(3)∵被开方数分解：∴不是最简二次根式．由和,得原式=例2.将下列二次根式化成最简二次根式.＆把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式

解:(1)(2)原式＆把被开方数开得尽方的因数或因式移出根号。＆将被开方数中的分母化去解：原式=原式=解：原式=＆分母含有二次根式需进行分母有理化分母的有理化因式化简二次根式的步骤:1.把被开方数分解因式(或因数)；

2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面.3.将被开方数中的分母化去4.被开方数是带分数或小数时要化成假分数.5.分母中含有二次根式要进行分母有理化.1、判断下列各式是否为最简二次根式？（2）（）；（6）（）；（3）（）；（7）（）；（5）（）；（4）（）；（1）（）；√×××××√被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断．课堂练习解:（1）2、把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）（2）3、把下列各式化成最简二次根式：（1）（2）（3）解:（1）（2）（3）4.将下列二次根式化成最简二次根式.解:解:解:×正解:这节你学到了什么？1.最简二次根式的概念.满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数不含分母；（3）分母中不含二次根式。2.如何化二次根式为最简二次根式.（1）把被开方数分解因式(或因数)；

（2）将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面；（3）将被开方数中的分母化去；课堂小结（4）分母中含二次根式要分母有理化。达标测试1、选择题（1）如果是二次根式，化为最简二次根式是（）．

A．B．C．D．以上都不对（2）化简二次根式的结果是（）

A、B、-C、D、-

CB2、化简下列各式：解:解:解:祝同学们学习进步！再见第十六章《二次根式》人教版八年级数学下册情景引入新知探究课堂练习课堂小结达标测试读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。16.3.1二次根式的加减1、

理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式；2、理解和掌握二次根式加减的方法；3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．学习重点：

二次根式化简为最简根式．学习目标

●情景导入1、二次根式的性质(1)复习回顾(2)(3)(4)二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；分母不含根号；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.2、最简二次根式3、计算：

解：合作探究把下列各根式化简：被开方数都是2被开方数都是3下列3组根式各有什么特征?被开方数都是5被开方数都是3被开方数都是2的最简二次根式同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.判断同类二次根式的关键是什么？(1)化成最简二次根式，(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)。归纳例1:下列各式中,哪些是同类二次根式?注意：判断一组式子是否为同类二次根式，只需看化为最简二次根式后的被开方数是否相同，与最简二次根式前面的因式及符号无关．例题学习2.与是同类二次根式的是()A.B.C.D.1.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A.；B.;C.;D..3.如果最简二次根式与是同类二次根式,求m、n的值.BD课堂练习解：由题意，得解之，得(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运多少？_______________2x+3x=5x吨(2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运多少？_______________。(2x+3y)吨以下问题你能用同样的方法计算吗？合作探究2x+3x解：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？先化简,后合并例题学习例2：1、整式的加减的实质是合并同类项．2、二次根式的加减实质是合并同类二次根式．

与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部都不变。二次根式加减运算的步骤如何合并同类二次根式?解:1、计算:课堂练习（3）合并同类二次根式。一化二找三合并二次根式加减法的步骤：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式；交流归纳2.计算：(先化简,后合并)1．同类二次根式是相对于一组二次根式而言的．判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要把这几个二次根式化为最简二次根式，然后再看它们的被开方数，如果被开方数相同，那么原来的几个二次根式就是同类二次根式．3.几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.课堂小结2．同类二次根式不一定是最简二次根式．如:，

，

等.注意:不是同类二次根式的二次根式(如与)不能合并4.同类二次根式合并：把根号外系数或字母相加减,根指数和被开方数不变错误达标测试错误正确(一）.判断:下列计算是否正确?为什么?错误错误错误（二）、选择题：1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）．

A．①和②；B．②和③；C．①和④；D．③和④。2．下列各式：

①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（）．

A．3个B．2个C．1个D．0个3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是()A．和；B.和；C.和；D.和。4．下列各式的计算中，成立的是()A.B.C.D.

5．若,则的值为()A.2 B.－2 C.D.(三）.计算：强调：先化简，再合并解：解：解：（四）：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm（化成最简二次根式）（分配律）∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．思考:二次根式的加减的一般步骤.祝同学们学习进步！再见1、计算：Ｄ备用练习2.计算:3、要焊接一个如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1米）?ACDB4m1m2m解：根据勾股定理得：所需钢材的长度为：答：大约需要13.7m的钢材.4、如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).R-r6.细心算一算)432276(32)3()4554513()54180)(2()723250811()25.028)(1(32aabababa--+--++--第十六章《二次根式》人教版八年级数学下册情景引入新知探究课堂练习课堂小结达标测试读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。16.3.1二次根式的加减1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．学习目标

创设情景1

怎样计算下式？观察所得的积是否含有二次根式？含有二次根式不含二次根式

两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式.与互为有理化因式.创设情景2

二个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式.例如：的有理化因式是的有理化因式是的有理化因式是指出下列各式的有理化因式解：的有理化因式为的有理化因式为的有理化因式为的有理化因式为一.分母有理化常规基本法

练习：

二.分解约简法解：解:例题1:如图,在面积为的正方形中,截得直角三角形的面积为,求的长.∵正方形面积为例题学习例题2：已知，求值.解：先将分母有理化.例题3：已知，求值.解：先将分母有理化.课堂练习（1）的有理化因式为

;（2）的有理化因式为

;（3）的有理化因式为

;（4）的有理化因式为

.一、填空：二、把下列各式分母有理化:解：三、计算解：课堂小结1.本课掌握一种数学思想：类比（二次根式的混合运算可以类比整式的混合运算）；2.进行二次根式的混合运算时，先算乘除，后算加减，若有括号应先算括号里面．一、计算达标测试解：解：二、计算比较根式的大小.提高题解:137146++146+=（）26+2+14=20+2√84√84∵（）137+2=20+2910146+0137+又∵提高题1、计算：课后练习2、计算：祝同学们学习进步！再见第十六章《二次根式》人教版八年级数学下册情景引入新知探究课堂练习课堂小结达标测试读书之法，在循序而渐进，熟读而精思。小结与复习一般地，形如

(a≥0)的式子叫做二次根式；(1)对于二次根式的理解：

①带有根号；②被开方数是非负数．(2)是非负数，即≥0.[易错点](1)二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义；(2)是二次根式，虽然＝3，但3不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．一、二次根式的概念：例1、找出下列各根式中的二次根式。

解：无意义有意义无意义∴二次根式