电路的过渡过程课件

第5章电路的过渡过程5.1过渡过程的产生和换路定律5.2RC电路过渡过程及三要素法5.3RL电路的过渡过程5.4RC电路对矩形波的响应思考题与习题5.1过渡过程的产生和换路定律5.1.1过渡过程产生的必然性在含有储能元件的电路中，当电路结构或元件参数发生改变时，会引起电路中电流和电压的变化，而电路中电压和电流的建立或其量值的改变，必然伴随着电容中电场能量和电感中磁场能量的改变。这种改变是能量渐变，而不是跃变（即从一个量值即时地变到另一个量值），否则将导致功率P=dw/dt成为无限大，这在实际中是不可能的。在电容中储能表现为电场能量

，由于换路时能量不能跃变，故电容上的电压一般不能跃变。从电流的观点来看，电容上电压的跃变将导致其中的电流变为无限大，这通常也是不可能的。由于电路中总要有电阻，iC只能是有限值，所以有限电流对电容充电，电容电荷及电压uC就只能逐渐增加，而不可能在瞬间突然跃变。对电感中储存的磁场能量，电感中的电压电流关系为，能量不能跃变，电压为有限值，故电感中的电流一般也不能跃变。因此，当电路结构或电路参数发生改变时，电感的电流和电容的电压必然有一个从原先值到新的稳态值的过渡过程，而电路中其他的电流、电压也会有一个过渡过程。5.1.2换路定律和初始值的计算用直接求解微分方程的方法分析电路的过渡过程需要确定积分常数，因此就必须知道响应的初始值，而初始值可由换路定律得到。电路理论中把电路结构或元件参数的改变称为换路。如图5-1（a），开关S由打开到闭合，假设开关动作瞬时完成，开关的动作改变了电路的结构，这就称为换路，开关动作的时刻选为计时时间的起点，记为t=0。我们研究的就是开关动作后，即t=0以后的电路响应。图5-1例5-1的图在换路瞬间，电容元件的电流有限时，其电压uC不能跃变；电感元件的电压有限时，其电流iL不能跃变，这一结论叫做换路定律。把电路发生换路时刻取为计时起点t=0，而以t=0-表示换路前的最后一瞬间，它和t=0之间的间隔趋近于零；以t=0+表示换路后的最前一瞬间，它和t=0之间的间隔也趋近于零，则换路定律可表示为（5-1）电容上的电荷量和电感中的磁链也不能跃变，而电容电流、电感电压、电阻的电流和电压、电压源的电流、电流源的电压在换路瞬间是可以跃变的。它们的跃变不会引起能量的跃变，即不会出现无限大的功率。响应在换路后的最初一瞬间（即t=0＋时）的值称为初始值。电容电压的初始值uC(0+)和电感电流的初始值iL(0+)可按换路定律(5-1)式求出。t=0-时的值由换路前的电路求出，换路前电路已处于稳态，此时电容相当于开路，电感相当于短路。其他可以跃变的量的初始值可由t=0+时的等效电路求出。首先画出0+等效电路，在0+等效电路中，将电容元件用电压为uC(0+)的电压源替代，将电感元件用电流为iL(0+)的电流源替代，若uC(0+)=uC(0-)=0，

iL(0+)=iL(0-)=0，则在t=0+这一瞬间电容相当于短路，电感相当于开路。电路中的独立电源则取其在0+时的值，0+等效电路是一个电阻性电路，可根据基尔霍夫定律和欧姆定律求出其他相关初始值。［例5-1］作出图5-1（a）所示电路t=0+时的等效电路，并计算iR3(0+)、iR2(0+)、

uC(0+)、

uL(0+)。已知开关闭合前，电路无储能。［解］因为换路前电路无储能，所以uC(0-)=0,

iL(0-)=0。作出t=0+时的等效电路如图5-1（b）所示。因为uC(0+)=uC(0-)=0，所以电容可看成短路；因iL(0+)=iL(0-)=0，所以电感可看成开路。用直流电阻电路分析方法计算得：5.1.3研究过渡过程产生的实际意义研究电路的过渡过程有着重要的实际意义:一方面是为了便于利用它，例如电子技术中多谐振荡器、单稳态触发器及晶闸管触发电路都应用了RC充放电电路；另一方面，在有些电路中，由于电容的充放电过程可能出现过电压、过电流，进行过渡过程分析可获得预见，以便采取措施防止出现过电压、过电流。5.2RC电路过渡过程及三要素法

5.2.1RC电路的零输入响应电路没有外加电源，只靠储能元件初始能量产生的响应称为零输入响应。设电路如图5-2（a）所示，开关S置于1的位置，电路处于稳态，电容C被电压源充电到电压U0。在t=0时将开关S倒向2的位置，电容C此时通过电阻R进行放电。图5-2（b）为换路后的电路，列写换路后的电路方程，可求出其电路响应。图5-2零输入响应电路根据图5-2（b），在所选各量的参考方向下，由KVL得-uR+uC=0（5-2）

将元件的电压电流关系uR=Ri,i=-C(负号表示电容的电压和电流为非关联参考方向)代入上式，得（5-3）解此RC电路的零输入响应方程，得到电容电压随时间的变化规律。用一阶常系数线性齐次常微分方程求解方法和初始条件解得它的通解为

uC=AePt

将其代入式（5-3），得特征方程

RCp+1=0

解得特征根所以（5-4）式中的常数A由电路的初始条件确定。由换路定律得

uC(0+)=uC(0-)=U0

即t=0+时uC=U0,将其代入式（5-4）得A=U0。最后得电容的零输入响应电压（t≥0）（5-5）它是一个随时间衰减的指数函数，uC随时间变化的曲线如图5-3所示，在t=0时uC=u0，没有跃变。uC求得后，可得电路中的电流响应(t>0)(5-6)图5-3uC变化曲线图5-4i变化曲线它也是一个随时间衰减的指数函数，波形如图5-4所示，在t=0时，电流由零跃变为U0/R，发生了跃变,这正是由电容电压不能跃变所决定的。在式（5-5）、（5-6）中,令（t≥0）（5-7）(t>0)（5-8）

e的指数项（-t/τ）必然是一个无量纲的数，因此R和C的乘积具有时间的量纲，与电路初始情况无关，所以把τ=RC叫做RC电路的时间常数。当C用法拉，R用欧姆为单位时，有下面以式（5-7）为例来说明时间常数τ的意义。开始放电时，uC=u0,经过一个τ的时间，uC衰减为

uC(τ)=U0e-1=0.368U0时间常数就是按指数规律衰减的量衰减到它的初始值的36.8%时所需的时间。可以证明，若以τ和τ的倍数标注时间轴，那么，uC和i的指数曲线上任意点的次切距长度都等于时间常数τ,即以任意点的切线匀速衰减到零所需要的时间为τ。当t=4τ时，uC(4τ)=U0e-4=0.0183U0，

电压已下降到初始值U0的1.83%，可认为电压已基本衰减到零。工程上一般认为,换路后，时间经过3τ～5τ，过渡过程就结束。由此可看出，电压、电流衰减的快慢取决于时间常数τ的大小，时间常数越大，衰减越慢，过渡过程越长；反之，时间常数越小，衰减越快，过渡过程越短。RC电路的零输入响应是由电容的初始电压U0和时间常数τ=RC所确定的。τ对过渡过程的影响见图5-5给出的RC电路在三种不同τ值下电压uC随时间变化的曲线。图5-5不同τ值下的uC曲线在放电过程中，能量的转换关系是电容不断放出能量，电阻则不断消耗能量，最后，原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换为热量。［例5-2］电路如图5-6所示，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时将开关闭合，试求t>0时的电压uC和电流iC、i1及i2。图5-6例5-2的图［解］在t>0时，左边电路被短路，对右边电路不起作用，这时电容经电阻1Ω和2Ω两支路放电，等效电阻为故时间常数为由式（5-7）和（5-8）得

5.2.2RC电路的零状态响应当电容的初始电压为零时，电路与直流电压源或电流源接通，由外施激励引起的响应称为RC电路的零状态响应。电路如图5-7所示，设开关S合上前电容C未充电，t=0时合上开关，此时的电路响应求解可用与求解零输入响应同样的方法，即求解微分方程的方法。图5-7零状态响应电路由KVL得

uR+uC=us

把代入上式，得（t>0）（5-9）由高等数学知识可知，式（5-9）是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它的解由其特解uC′和相应的齐次微分方程的通解uC″组成，即

uC=uC′+uC″

其特解为uC=us

而通解为与式（5-9）对应的齐次方程式（5-10）的解：

由前面可知（5-10）因此，uC的解为(t≥0)将uC的初始值t=0时uC(0+)=uC(0-)=0代入上式确定出常数A：

0=us+A

A=-us

最后得出电容电压的零状态响应为(t≥0)

令τ=RC，则(t≥0)（5-11）进而可得电路的电流i(t)和电阻电压uR为(t＞0)(5-12)(t＞0)（5-13）

uC(t)、

uR(t)和i(t)随时间变化的曲线如图5-8所示。图5-8零状态响应变化曲线由上述分析可知，电容元件与恒定的直流电压源接通后，电容的充电过程是：电容电压从零值按指数规律增长，最后趋于直流电压源的电压Us；充电电流从零值跃变到最大值Us/R后按指数规律衰减到零；电阻电压与电流变化规律相同，从零值跃变到最大值Us后按指数规律衰减到零。电压、电流上升或下降的快慢仍然由时间常数τ决定，τ越大，uC上升越慢，过渡过程时间越长；反之，τ越小，uC上升越快，过渡过程时间也越短。当t=τ时，uC(τ)=(1-e-1)Us=0.632Us，电容电压增至稳态值的0.632倍。当t=5τ时，uC=0.997Us,可以认为充电已经结束。电容充电过程中的能量关系为电源供给的能量一部分转换成电场能量储存在电容中，一部分则被电阻消耗掉。在充电过程中，电阻所消耗的电能为图5-9例5-3的图［例5-3］电路如图5-9所示，开关在t＝0时闭合，在闭合前电容无储能，试求t≥0时电容电压以及各电流。［解］因为在开关闭合前无储能，所以由换路定律得

uC(0+)=uC(0-)=0

因此，电路响应是零状态响应，电路的时间常数τ＝RC，其中则

τ=RC=15×103×20×10-6=0.3s

t＝∞时电容上的电压为电源电压Us，所以电路的零状态响应为(t≥0)(t＞0)由于并联支路电阻相等，得(t＞0)［例5-4］电路如图5-10所示，电容原未充电，

t＝0时开关从1扳向2，求uC（t)和iC(t)。［解］电容原未充电，所以uC(0+)=uC(0-)=0。根据开关动作后的电路，列写电路方程为

iC+iR=Is

将代入上式，得图5-10例5-4的图整理得零状态响应为（t≥0）（t>0）5.2.3RC电路的全响应及三要素法电路的全响应就是在初始状态及外加激励共同作用下的响应。图5-11所示电路中，设电容C原已被充电，且uC(0+)=U0，在t=0时将开关合上，RC串联电路与直流电压源接通。

显然，换路后的电路响应由输入激励Us和初始状态U0共同产生，是全响应。求解全响应仍然可以用求解微分方程的方法，描述图5-11RC电路全响应的微分方程与前述RC电路的零状态响应的电路方程一样，为(t≥0)其解为(t≥0)图5-11

但由于初始条件不同，待定系数A值不同，将初始值代入得

A=U0-Us

令τ＝RC，则全响应(5-14)

(5-15)

(5-16)全响应曲线如图5-12所示。图5-12全响应曲线(a)Us＞U0;(b)Us＜U0

式（5-14）可以看作是由两个分量组成的，第一项称为稳态分量，它仅决定于激励的性质；第二项称为暂态分量，按指数规律衰减。所以，全响应也可表示为

全响应=稳态分量+暂态分量这是全响应的第一种分解形式。式（5-14）也可写成如下形式：(5-17)可以看出，第一项是uC的零输入响应，第二项则是uC的零状态响应，即

全响应=零输入响应+零状态响应实质上，这是线性电路叠加的必然结果。因为全响应是由初始值和输入激励共同产生的，所以全响应就等于初始值和输入激励分别作用产生的响应之和。不难看出，电路中的任意电压、电流的全响应都可看成是零输入响应和零状态响应之和，而零输入响应和零状态响应都是全响应的一种特例。图5-13例5-5的图［例5-5］电路如图5-13所示，已知R=6Ω，

C=1F，Us=10V，

uC(0-)=-4V，开关在t＝0时闭合，求t>0时的uC(t)、

iC(t)。［解］电路的微分方程为电路的时间常数为

τ=RC=6×1=6s方程的解为将初始值uC(0-)=-4V=uC(0+)代入上式得

-4＝10＋A所以

A＝-14V最后得（t≥0）（t>0）前面我们求解零输入响应、零状态响应和全响应都是采用解一阶微分方程的方法，又知道零输入响应和零状态响应都是全响应的特例，从解的形式可以发现，还有更直接的方法求出一阶电路的全响应。对RC电路的全响应式进行分析，如果将待求的电压或电流用f(t)表示，其初始值和稳态值分别为f(0+)和f(∞)，其响应可写成在t=0+时有

f(0+)=f(∞)+A

A=f(0+)-f(∞)所以一阶电路的解就可表达为

f(t)=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］(5-18)式中f(∞)、f(0+)和τ称为一阶电路的三要素，式（5-18）称为一阶电路的三要素公式。直接利用三要素公式来求解一阶电路称为求解一阶电路的三要素法。一阶电路的零输入响应和零状态响应分别为

f(t)=f(0+)

(5-19)f(t)=f(∞)(1-)(5-20)用三要素法求解一阶电路时，只要求出待求电压或电流的初始值（0＋值）、t＝∞时的稳态值和电路的时间常数τ这三个量，将其代入式（5-18）即可得到所求电压或电流的响应。初始值f(0+)的求法已在5.1节中讲述。稳态值f(∞)由t＝∞时的等效电路求得，在等效电路中，电容相当于开路。同一电路只有一个时间常数τ＝RC，其中R应理解为从动态元件两端看进去的戴维南或诺顿等效电路中的等效电阻。［例5-6］电路如图5-14所示，开关S在t＝0时闭合，用三要素法求uC(t)、i(t)和iC(t)，并画出其波形。［解］（1）求初始值uC(0+)、i(0+)和iC(0+)。

根据换路定律有

uC(0+)=uC(0-)=Us

因此，在t＝0＋瞬间，电容相当于电压源Us，得t＝0＋时的等效电路图5-14(b)，由此得图5-14例5-6的图（2）求稳态值uC(∞)、i(∞)和iC(∞)。

在稳态时，电容相当于开路，等效电路如图5-14(c)所示，所以有（3）求时间常数。电压源用短路替代，从电容两端看进去，R1和R2并联，其等效电阻为所以(4)将初始值、稳态值和时间常数代入三要素公式，写出全响应为（t≥0）(t≥0）（t＞0）（t＞0）图5-15uC(t)、i(t)和iC(t)波形图5-15

5.3RL电路的过渡过程在5.2节中对RC电路的过渡过程进行了详细的分析，对RL电路过渡过程的分析与RC电路类似，这里讨论的是含有一个电感元件的RL电路，描述电路的微分方程是一阶微分方程。我们已知道，当电感电压为有限值时，电感电流不能跃变，假如在t＝0时换路，则

iL(0+)=

iL(0-)，即电感电流的初始值由换路定律求得，其他电压或电流的初始值由0＋等效电路求出。在0＋等效电路中，电感元件用电流为iL(0+)的电流源替代。求t＝∞时的稳态值时，电感相当于短路。RL电路的时间常数τ＝L/R，R为从电感元件两端看进去无源二端网络的等效电阻。下面通过几个例子说明如何求解RL电路的零输入响应、零状态响应和全响应。［例5-7］电路如图5-16(a)所示，换路前电路已处于稳态，开关S在t＝0时闭合，求t≥0时的i(t)、

uL(t)、

uR(t)并画出曲线。［解］换路前电路已处于稳态，电感相当于短路。由换路定律得电感电流初始值列换路后的电路方程。在所选各量参考方向下，由KVL得

uL+uR=0图5-16将元件的电压电流关系

，uR=Ri代入上式得（t＞0）（t＞0）它是一阶常系数线性齐次常微分方程，求解微分方程即可得出电流的变化规律，在这里我们不再赘述。采用与RC电路零输入响应的微分方程

对照的办法，其解可直接写出。得RL电路的零输入响应电流为(t≥0)电感电压及电阻电压为(t＞0)(t＞0)i(t)、

uL(t)、

uR(t)随时间变化的曲线如图5-16(b)所示。

RL电路的时间常数τ＝L/R，单位是秒（s），RL电路的零输入响应也是以初始值开始按指数规律衰减的，衰减的快慢决定于时间常数的大小。τ越小，衰减越快。在这一过程中，电感中原先储存的磁场能量逐渐被电阻消耗，转化为热能。RL电路的零状态响应和全响应可直接按三要素法写出。［例5-8］图5-17所示电路中，开关S在t＝0时闭合，已知iL(0-)=0，求t≥0时的iL（t）、

uL（t）。［解］

因为iL(0-)=0，故换路后的电路响应是零状态响应，因此电感电流可直接套用式（5-20）。又因为电流稳定后，电感相当于短路，故图5-17例5-8的图时间常数为所以（t≥0）（t＞0）［例5-9］电路如图5-18（a）所示，开关动作前电路已处于稳态，在t＝0时开关闭合，试求iL、

uL、i并画出其波形。图5-18例5-9的图(a)电路；(b)0+等效电路［解］用三要素法。（1）求初始值。根据对换路前电路的分析及换路定律，有画出0＋等效电路如图5-18（b）所示，可得（2）求稳态值。在稳态时电感相当于短路，所以（3）求时间常数。换路后的电路除电感外的等效电阻为（4）写出全响应如下：（t≥0）（t＞0）（t＞0）（5）iL、i和uL的波形如图5-19所示。图5-19波形图采用三要素法进行计算时，需要求出待求电压和电流的初始值、稳态值和时间常数。对RL电路，电感电流的三要素一般必须求出，而且计算也不太复杂，其他的电压和电流可由0+等效电路求出初始值，并由换路后电路达到稳态时的电路求出稳态值。某些量的计算较复杂，根据换路后的电路中所求电压、电流与电感电流的关系求出初始值可能更简便。在RC电路中，也可采用此方法，即先求出电容电压，其他的电压或电流根据其与电容电压的关系求出。对例5-9中的i(t)和uL(t)即可按上述方法求出。前面已经求出了则（t＞0）根据换路后的电路，有（t＞0）含有动态元件的电路称为动态电路，由于动态元件的伏安关系为微分或积分关系，因此描述动态电路的方程为微分方程。线性动态电路由常系数线性微分方程来描述。求解微分方程的解析法称为时域分析法。任何只含有一个动态元件的线性电路都是用一阶常系数线性微分方程描述的，这种电路称为一阶电路。一阶电路的全响应为利用此公式求解一阶电路的方法称为一阶电路的三要素法。f(0+)、f(∞)、τ称为一阶电路的三要素。一阶电路的零输入响应为一阶电路的零状态响应为5.4RC电路对矩形波的响应在电子技术中，利用RC电路的过渡过程可以构成周期性震荡、周期性信号变换等各种功能电路，RC电路对矩形波的响应就可以被用于进行波形变换。例如，图5-20(a)所示的RC电路，当电容初始能量为零，外加电压源波形如图5-20(b)所示为单个矩形波时，电路的响应可以分段求解如下。图5-20RC电路输入单个矩形波在t＝0～t0这一段，电路的响应为零状态响应；

t＞t0为零输入响应；t＝t0＋时的值为零输入响应的初始值。由于电容电压不能跃变，因而uC(t0+)=uC(t0-)，

uC(t0-)为零状态响应t＝t0时的值，则

当0≤t＜t0时，有当t≥t0时，有响应曲线如图5-21所示。注意，t≥t0时的响应式中，e的指数时间要用t-t0，这是因为t＝t0时为e0。然后按指数规律衰减，t-t0＝3τ～5τ时，过渡过程结束。在分析线性电路的过渡过程时，特别是对矩形波或矩形脉冲序列激励的响应进行分析时，利用阶跃函数来描述电路的激励和响应有时比较方便。下面先介绍什么是阶跃函数，然后介绍阶跃响应。图5-21RC电路对单个矩形波的响应曲线

1．单位阶跃函数单位阶跃函数用符号1（t）表示，定义为

0

t＜01（t）=1t＞0

其波形如图5-22（a）所示。图5-22阶跃函数(a)单位阶跃函数；(b)幅度为A的阶跃函数；(c)延时阶跃函数

2．幅度为A的阶跃函数跃变幅度为A的阶跃函数为A·1(t)，其数学定义为t＜0t＞0（5-22）其波形如图5-22（b）所示。利用单位阶跃函数可以表示在t＝0时电路接入电压源或电流源，单位阶跃函数的起始特性代替了开关的动作，如图5-23所示。于是，对于图5-24(a)所示的矩形脉冲，可以被看作由图5-24（b）、（c）所示的两个阶跃函数相加而成，表达式为

f(t)=A·1(t)-A·1(t-t0)(5-24)图5-23用单位阶跃函数代替开关图5-24矩形脉冲分解成阶跃函数图5-25RC串联电路电路对阶跃激励的零状态响应称为阶跃响应。阶跃响应的求法与零状态响应求法相同。图5-25所示的RC串联电路的阶跃响应为

uC(t)=Us(1-

)·1(t)(5-25)

式（5-25）后面不需再标明t≥0，因为1（t）已表示出这一条件。电路对单个矩形波的响应若用阶跃函数表示激励，则图5-20的RC电路激励和响应分别为激励为us(t)=Us·1(t)-Us·1(t-t0)响应为(5-26)式(5-26)是两个阶跃电压响应的叠加，波形图如图5-26所示。从前面的分析可看出，对矩形波的响应既可以分段来求，也可以写成阶跃响应叠加的形式。图5-26单个矩形波的响应等于阶跃响应的叠加［例5-10］图5-27（a）所示电路，如果T=10τ，求uC(t)和uR(t)，并画出波形图。图5-27例5-10的图［解］图5-27（b）所示电压波形是一周期为2T的周期函数，第一个周期内的函数可表示为

us(t)=Us·1(t)-Us·1(t-T)V

此电压加在RC串联电路上时，电容在前半周期内充电，在后半周期内放电。由于T＝10τ，因此，在每半个周期结束时，已足够精确地认为充电过程和放电过程已经完毕。即在前半个周期结束时，电容已充电到电压Us；在后半个周期结束时，电容已放电到电压为零。如此过程周而复始，不断重复。第一个周期内uC(t)为uC(t)、

uR(t)的波形如图5-27（c）、（d）所示。通过求解RC电路对矩形波的响应可以看出：（1）当时间常数τ远小于T时，RC串联电路如果从电阻上取输出，则输出波形uR对应于矩形波的上升沿为正脉冲，对应于下降沿为负脉冲，可以用作微分电路。

（2）如果从电容上取其输出，则输出波形uC对应于矩形波输入边沿变平缓，体现了电容电压的滞后作用。当时间常数τ增大时，uC会将输入的矩形波变成锯齿波或三角波，此特性可在电子线路中用于波形变换；如时间常数τ远大于T，则由于电容充电的累积，uC会逐渐升高，这时该电路还可近似作为积分电路。本章小结含有储能元件并处于稳定工作状态的电路，由于能量不能跃变，当电路参数或输入激励改变时，会逐渐变换到另一种稳定工作状态继续工作，这个随时间变换的过程被称为电路的过渡过程或暂态过程。电路换路的初始值f(0+)可以由换路定律确定。换路定律的基本含义是：电容两端的电压不能跃变，流过电感的电流不能跃变。具体表达式为

uC（0+）=uC（0-）iL（0+）=iL（0-）

一阶电路过渡过程可以通过解一阶微分方程的零输入响应和零状态响应来求解，也可以由三要素法更快地求解，三要素法的计算公式为

f（t）=f(∞)+［f(0+)-f(∞)］换路后新的稳态值f(∞)可利用新的稳态电路求出。对直流电路应注意将电感短路，电容开路。一阶电路过渡过程的时间长短取决于电路的时间常数τ。在RC电路中，τ=RC；在RL电路中，τ=L/R,注意R为电路的等效电阻。过渡过程在经历一个τ时间后，f(t)的变化量达到总变化量的63.2%；在经历(3～5)τ时间后，可认为f(t)到达稳态。利用RC电路对矩形波的响应可以在不同的τ参数下设计不同的R