向量与线性方程组

向量与线性方程组第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期二向量的定义及线性运算第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●向量与线性方程组引例一个方程对应一组数矩阵的一行对应一组数线性方程组可对应一组数组；矩阵也可对应一组数组。●向量的定义由n个数组成的有序数组称为一个n维行向量，记作，其中称为向量的第i个分量（或坐标）。如果将有序数组写成一列的形式，则称向量为列向量。实际上，行向量即为一个行矩阵，列向量即为一个列矩阵。第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●几个概念1、同维向量：分量个数相等的向量称为同维向量。2、相等向量：如果向量与是同维向量，而且对应的分量相等，则称向量与相等。3、零向量：分量都是0的向量称为零向量，记作O。4、负向量：称向量为向量的负向量，记作。5、向量组：如果n个向量是同维向量，则称为向量组第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●向量的线性运算1、向量的加减法，称向量设，则称向量为向量与向量的和向量，记作为向量与向量的差向量，记作。2、数乘向量向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算。设向量则称向量为数与向量的数称向量，记作第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●向量线性运算的运算律交换律结合律分配律第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期二例1解

练习：已知，求解

第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期二（1）则方程组有向量形式

●线性方程组的向量表达式若记线性方程组即为系数矩阵的第列第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期二向量的线性关系第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●向量的线性关系解设则所以线性组合的概念：设有同维向量，如果存在一组数，使得成立，则称向量可由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合。例2设判断向量能否由向量组线性表示？如果可以，求出表达式。小结：可由向量组线性表示线性方程组有解第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●线性相关、线性无关的概念●显然：含有零向量的向量组是线性相关的。因为设有向量组，如果存在一组不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关，否则，称向量组线性无关。即当且仅当

全为零时，才成立，则称向量组

线性无关。●两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例。第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期二证明例3证明下列向量组线性无关。设则所以所以向量组线性无关。称向量组为n维向量空间的单位坐标向量组。任何一个n维向量都可由向量组线性表示，第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期二例4讨论向量组的线性相关性解设则利用矩阵的初等变换，可求得注：有无穷多组解可见，向量组线性相关齐次线性方程组有非零解所以向量组线性相关。第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期二练习判断向量组的线性相关性解设则有因为是方程组的一组非零解所以线性相关第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期二证明例5已知向量组线性无关，证明：向量组线性无关。设则因为线性无关所以有解得所以向量组线性无关。第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期二例6设线性无关，又，试证明线性相关证明设则有因为线性无关所以有由于所以不全为零所以线性相关事实上，可取第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期二证明因为向量组线性相关所以存在一组不全为零的数，使得则否则，若则由线性无关，可推得于是向量组线性无关这与已知矛盾，所以定理若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示，而且表示方法惟一。第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期二于是假设另有表达式则可得由于线性无关，所以且表示方法唯一所以可由向量组线性表示，所以可由向量组线性表示。第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期二定理向量组线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向量可由其余的向量组线性表示。证明因为向量组线性相关所以存在不全为零的数使得不妨设于是有反过来，若有可由线性表示则有所以线性相关第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期二例7设试问为何值时，可由线性表示，且表示方法唯一？解设则有（*）因为可由线性表示，且表示方法唯一所以，方程组（*）只有唯一的一组解所以有解得第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期二小结：齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组只有零解线性相关向量组（1）向量组线性无关（2）(3)向量可由向量组线性表示线性方程组有解第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●向量组的线性相关性的几个性质定理1、单个非零向量是线性无关的。2、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。3、增加向量，不改变向量组线性相关；减少向量，不改变向量组线性无关。即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关。4、增加分量，不改变向量组线性无关；减少分量，不改变向量组线性相关。即低维无关，则高维无关；高维相关，则低维相关。5、n+1个n维的向量构成的向量组是线性相关的。个数大于维数的向量组是线性相关的。第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期二向量组与矩阵的秩第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●矩阵的K阶子式的概念从矩阵A中任取K行K列，其交叉位置上的元素保持相对位置不变，而构成的K阶行列式，称之为矩阵A的一个K阶子式。如则矩阵A共有个二阶子式。它们是：第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●矩阵的秩的概念矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作R(A)或r(A)。显然，如果R(A)=r，则A中至少有一个r阶子式不等于零，所有高于r阶的子式都为零。例如因为所以如果A为mχn矩阵，则R(A)≤min(m,n)。特别当R(A)=m时，称矩阵A为行满秩；当R(A)=n时，称矩阵A为列满秩；当R(A)=m=n时，称矩阵A为满秩矩阵。第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期二定理推论

任意m个n维的向量线性相关m*n矩阵A的m个行向量线性相关的重要条件是R(A)<m定理

矩阵A的秩为的充要条件是A中存在r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量(如果存在）线性相关n个n维的向量线性无关的充要条件是他们组成的矩阵的行列式不等于零推论m个n维向量线性相关的充要条件是由他们组成的m*n矩阵的秩为m(m≤n)推论第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期二行阶梯矩阵，行最简单矩阵

设A为m*n的矩阵，若A为行阶梯，满足下列三个条件（1）a11,a22，…，ann以下的元素全为零

(2)每一行的每一个非零元前面的零元个数大与前一行的这种零元的个数（3）如果某一行的元全为零，则以下额所有行的元全为零

非零行的每一个零元为1，且这些非零元1所在的列的其他元素都为零的行阶梯矩阵称为行最简单矩阵。第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期二行阶梯矩阵的秩等于非零行的个数，行最简单行矩阵的秩等与1的个数第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩矩阵的初等变换不改变行列式是否为零的性质。所以有：定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。例求矩阵的秩解将矩阵作初等变换所以R(A)=3行阶梯形

第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●课堂练习：利用矩阵的初等变换求下列矩阵的秩答案：问题：矩阵B中是否所有的三阶子式都不为零？第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●向量组的极大无关组如果向量组的部分组满足（1）线性无关；（2）任意增加一个向量（如果存在的话），向量组线性相关。则称向量组为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。例如：向量组线性相关，线性无关。向量组是向量组的一个极大无关组。向量组也是向量组的一个极大无关组。可见，一个向量组的极大无关组可以不是惟一的。第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●向量组的秩向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩。记作例如：向量组的秩为2。如果向量组的秩小于向量组所含向量的个数，即，则向量组线性相关。矩阵A的秩=矩阵A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩可利用矩阵的初等变换判断向量组的线性相关性、求向量组的秩及极大无关组。如果向量组的秩等于向量组所含向量的个数，即，则向量组线性无关。第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期二例1

判别下列向量组的线性相关性解令因为所以线性相关。第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期二例2

判别下列向量组的线性相关性解：令因为所以线性无关。第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期二●向量组的等价关系

如果向量组A：中的每一个向量可由向量组B：线性表示，同时，向量组B中的每一个向量可由向量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。定理：等价向量组的秩相等。一个向量组和它的任意一个极大无关组是等价的。等价向量组的性质（1）反身性：向量组A与自身等价；（2）对称性：如果向量组A与B等价，则向量组B与A等价；（3）传递性：如果A与B等价，B与C等价，则A与C等价。若矩阵A矩阵B，则矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价；行初等变换

若矩阵A矩阵B，则矩阵A的列向量组与矩阵B的列向量组等价；列初等变换

第三十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期二例3

求下列向量组的一个极大无关组解法1：作矩阵记作第三十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期二例3