新浙教版九年级下册知识点及典型例题

PAGE页码页码/NUMPAGES总页数总页数新浙教版九年级下册知识点及典型例题解直角三角形一、锐角三角函数（一）、基础知识1．锐角三角函数定义在直角三角形ABC中；∠C=900；设BC=a；CA=b；AB=c；锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC；锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦；记作sinA；即sinA=；（2）余弦的定义：在直角三角行ABC；锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦；记作cosA；即cosA=；（3）正切的定义：在直角三角形ABC中；锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切；记作tanA；即tanA=；这种对锐角三角函数的定义方法；有两个前提条件：（1）锐角∠A必须在直角三角形中；且∠C=900；（2）在直角三角形ABC中；每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则；不存在上述关系2、坡角与坡度坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比）；即坡度等于坡角的正切。3、锐角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；4、互为余角的两个三角函数关系若∠A+∠B=∠90；则sinA=cosB；cosA=sinB.5、特殊角的三角函数：00300450600sinα0cosα1tanα01勾股定理勾股定理的概念：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。勾股定理的数学表达;若三角形ABC为直角三角形；∠A；∠B；∠C的对边分别为a；b；c；且∠C=∠90；则；反之；已知a；b；c为三角形ABC的边。若；则三角形ABC为直角三角形。典例：在Rt△ABC中；各边的长度都扩大2倍；那么锐角A的正弦、余弦（）A、都扩大2倍B、都扩大4倍C、没有变化D、都缩小一半2.在Rt△ABC中；∠C=90°；sinA=；则cosB的值等于（）A．B.C.D.3.在正方形网格中；的位置如图所示；则的值为（）A． B． C． D．4.在RtABC中；C=90º；A=15º；AB的垂直平分线与AC相交于M点；则CM：MB等于（）A、2：B、：2C、：1D、1：5.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛；三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的）；则三人所放的风筝中()同学甲乙丙放出风筝线长100m100m90m线与地面夹角40º45º60ºA、甲的最高B、丙的最高C、乙的最低D、丙的最低６０ＯＡＡＢＡＭＡ东6６０ＯＡＡＢＡＭＡ东Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7、=8、锐角A满足2sin(A-15)=；则∠A=.9、已知tanB=；则sin=.10、如图所示；小明在家里楼顶上的点A处；测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高；在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°；在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°；两栋楼之间的距离为30m；则电梯楼的高BC为______米（保留根号）．ABABCDαA11.如图；已知直线∥∥∥；相邻两条平行直线间的距离都是1；如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上；则．DCBA②①12.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度；小明在二楼找到一点C；利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为；底部B点的俯角为；小华在五楼找到一点D；利用三角板测得A点的俯角为（如图②）.若已知CD为10米；请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米；参考数据DCBA②①13.如图；某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸；测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向；测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处；测得小区M位于C的北偏西60°方向；请你在主输气管道上寻找支管道连接点N；使到该小区铺设的管道最短；并求AN的长.14.如图；在梯形ABCD中；AD∥BC；BD⊥DC；∠C＝60°；AD＝4；BC＝6；求AB的长．AABCD15、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图；由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为；在A和C之间选一点B；由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得ACDBEFGA；B之间的距离为4米；ACDBEFG16、一副直角三角板如图放置；点C在FD的延长线上；AB∥CF；∠F=∠ACB=90°；∠E=45°；∠A=60°；AC=10；试求CD的长．17、综合实践课上；小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段；两岸ABCD；河岸AB上有一排大树；相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°；然后沿河岸走50米到达N点；测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin36°≈0.59；cos36°≈0.81；tan36°≈0.73；sin72°≈0.95；cos72°≈0.31；tan72°≈3.08）直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系无交点；有一个交点；有两个交点；切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径；二者缺一不可直线和圆位置关系的判定：①依据定义②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系圆的切线的判定：定义②依据d=r③用判定定理——圆的切线证明的两种情况：①连半径；证垂直；②作垂直；证半径。（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线；三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线；它们的切线长相等；这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵、是的两条切线∴平分圆的外切四边形两组对边和相等一、选择题1.⊙O的直径是3；直线与⊙0相交；圆心O到直线的距离是d；则d应满足()A.d>3B.1.5<d<3C.O≤d<1.5D.d<O2.在平面直角坐标系中；以点（2；l）为圆心、1为半径的圆必与（)A.x轴相交B.y轴相交C.x轴相切D.y轴相切3.已知两圆的圆心距是3；两圆的半径分别是方程x2-3x+2=0的两个根；则这两个圆的位置关系是（)A．外离B．外切C．相交D．内切4．已知⊙O1与⊙O2内切；它们的半径分别为2和3；则这两圆的圆心距d满足（）（A）d=5（B）d=1（C）1＜d＜5（D）d＞55．如图；PA为⊙O的切线；A为切点；PO交⊙O于点B；PA=3；OA=4；则cos∠APO的值为（）（A）eq\f(3；4)（B）eq\f(3；5)（C）eq\f(4；5)（D）eq\f(4；3)6.如图；AB是⊙O的直径；P是AB延长线上的一点；PC切⊙O于点C；PC=3、PB：AB=1：3；则⊙O的半径等于（）A．B.C.D.7．已知正三角形的内切圆半径为eq\f(\r(3)；3)cm；则它的边长是（）（A）2cm（B）eq\f(4；3)cm（C）2eq\r(3)cm（D）eq\r(3)cm8．已知半径均为1厘米的两圆外切；半径为2厘米；且和这两圆都相切的圆共有（）（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个9.如图；AD、AE分别是⊙O的切线；D、E为切点；BC切⊙O于F；交AD、AE于点B、C；若AD=8.则三角形ABC的周长是（）A.8B.10C.16D.不能确定10.要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm和1cm的两个外切圆；该矩形面积的最小值是（）A.36B.72C.80D.100二、填空题1、如图；PA、PB是⊙O的切线；A、B为切点；若∠APB=60°；则∠ABO=.2．如图；在△ABC中；∠A=90°；AB=AC=2cm；⊙A与BC相切于点D；则⊙A的半径为cm．3.两圆内切；其中一个圆的半径为5；两圆的圆心距为2；则另一个圆的半径是.4．如图；已知∠AOB=30°；M为OB边上一点；以M为圆心、2cm为半径作⊙M．若点M在OB边上运动；则当OM=cm时；⊙M与OA相切．5．①OC是⊙O的半径；②AB⊥OC；③直线AB切⊙O于点C．请以其中两个语句为条件；一个语句为结论；写出一个真命题．6、如图；施工工地的水平地面上有三根外径都是1米的水泥管；两两相切地堆放在一起；则其最高点到地面的距离是.三、解答题1．如图△ABC中；∠BCA=90°；∠A=30°；以AB为直径画⊙O；延长AB到D；使BD等于⊙O的半径．求证：CD是⊙O的切线．2.如图；AB是⊙O的直径；BC是⊙O的切线；D是⊙O上一点；且AD∥OC（1）求证：△ADB∽△OBC（2）若AB=2；BC=；求AD的长（结果保留根号）3.在△ABC中；∠ABC＝90°；AB＝4；BC＝3；O是边AC上的一个动点；以点O为圆心作半圆；与边AB相切于点D；交线段OC于点E；作EP⊥ED；交射线AB于点P；交射线CB于点F。如图；求证：△ADE∽△AEP；设OA＝x；AP＝y；求y关于x的函数解析式；并写出x的取值范围；当BF＝1时；求线段AP的长.4.第三章三视图和表面展开图1.多面体与旋转体：多面体棱顶点.旋转体轴.2.棱柱：直棱柱斜棱柱正棱柱棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。3.棱锥：棱锥的底面或底顶点侧棱正棱柱斜高（1）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似；其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.（2）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等；各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高；斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高；侧棱；侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。4.圆柱与圆锥：圆柱的轴圆柱的底面圆柱的侧面圆柱侧面的母线5.棱台与圆台：统称为台体（1）棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.（2）圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.6.球：球体球的半径球的直径.球心7.简单组合体：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体.（二）空间几何体的三视图和直观图1.中心投影平行投影正投影2.三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。3.直观图：斜二测画法；直观图中斜坐标系；两轴夹角为；平行于x轴长度不变；平行于y轴长度减半。（三）空间几何体的表面积和体积1.柱体、锥体、台体表面积求法：利用展开图2.柱体、锥体、台体表面积体积公式；球体的表面积体积公式：几何体表面积相关公式体积公式棱柱棱锥棱台圆柱圆锥（r：底面半径；l：母线长）展开图与三视图练习1．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图；那么在原正方体中和“国”字相对的面是（）A．中B．钓C．鱼D．岛2．一个正方体的平面展开图如图所示；将它折成正方体后；与汉字“岳”相对的面上的汉字是（）A．建B．设C．和D．谐3．一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数；如图是这个正方体的表面展开图；那么图中x的值是（）A．2B．8C．3D．﹣24．在右边的展开图中；分别填上数字1；2；3；4；5；6；使得折叠成正方体后；相对面上的数字之和相等；则a=；b=；c=．如图是正方体的展开图；则