《计量经济学讲解》新

12〈〈|(〈||〈iid11ijQd 2)s成s212222ijds 3) ds(1-5)QbbPbY+(1-5)2dCMPC)dCC11mmi01i1mimi212y=b+bx+…+bx+ui01i1mimi12miiCovuuijnijijjijii01ii iiCovuuijnijijijixxiii=1i=1ix122nn其中x表示x的第i次观测值，y表示y的第i次观测值，在直角坐标系中描述出ii其散点图，对(3-1)作,的最小二乘估计01即设(3-2)(3-2)i01iii=1i=1令?Q=?Q=0得方程组??01(|(3-3)(|(3-3)iininii=1i=1此方程组称正规方程组，其系数行列式为nn2xn2ii1i1解此方程组得b,b的估计量,为0101nyxnxyn(|xnxy-nxy)|xn(x-x)(y-y)ixixixyiiiiii=1yyiii=1i=1于是(3-4)式可写成 (3-5)式中的,分别是b,b的最小二乘估计量，所以01010101010i0i000L=L例以家庭为单位，某商品的需求量y与该商品价格x之间的一组调查数据如下商品价格商品价格x(元)商品需求量y(千克)解从观测值的散点图(见图3.1)上来看，一些点分布在直线附近，01将所求计算列表如下(见表3.2)xyxyyy=-1.5753x+6.4383R2=0.973922.533.565432100422ixyii2ixiyii123456789xxii=1xyiii=1yyii=1=LL=7.53=1.581xyxx4.780i01ii01i1ui01iiiiijiji01ii01iLlnL=_ln(2"装)_1x(y__x)2ii||?bi01i?bi01i1i=1i01ii01iixLxxxLxx011nˆ(x-x)(x-x)b1=(xi-x)2yi-(xi-x)2yii01niiiniinii01n01i101iiiiii=1D()=D(yx)=D(y)+x2D()011n(xx)2in(xx)2i高斯——马尔柯夫定理：为bb的最佳线性无偏估计(最佳即在一切0101nii122nniiiii=1i=1i=1i01i我们将y与其均值y之间的差称为离差，将离差分解为iyy=(y)+(y)iiiiiiiiii=1i=1iiiiiiii=1i=1i=1又n(y)(y)=nx)ˆ+xy)iiii01i01ii=1i=1i1i1ii11ii1ixyxx故xn(y-y)2=xn(y-)2+xn(-y)2iiiiiii=1i=1上式称平方和分解式。该式中三个平方和的意义如下：L=xn(y-y)2yyiii是y,y,……,y这n个数据的离差平方和，它的大小描述了这n个数据的分散程2niiiii=1n-2iii1i1xxii=1111L1xxi1xx1xxiii01in2i01n01i=1ii1001i1i0011i10011i0011i1i1iiixx1xxiin-2iiy0112m12m221222mnnn2nm其中x是自变量x的第i个观测值，y是随机变量y的第i个观测值，它们满足ijjiybbxbx…bxu10111212m1m1ybbxbx…bxu20121222m2m2…………………iy1yY2:yn11XX:1xx:x…x…x:…xu1bu10buB1U2:unun像一元线性回归一样，我们希望由观测值得到其回归方程，首先用最小二乘2mi01i12i2mimi1lblb…lbllblb…lblblb…lbl2mm02………………lblb…lblniinkilln(xx)(xx)，i,j1,2,…mijjikiikjj0ikiik012m012m01122mm212yxyxy图10001212BUBU12(221.44b+18283b=-11.64901201220(u)1(b)0(u)1(b)0x…x22m2 (un) (bm)xn (un) (bm)i01i12i2mimiii=1i=1iiiiiii1i2imL=P(y,y…y)12n(2冗)n/2(n2(2i01i12i2mimi=1=1不相关的假设IXXXXU=MU这里M==IX(XX)1X为对称幂等阵M=MM2=MM=M所以我们将y与其均值y之间的差称为离差，将离差分解为iiiiiiiiiiii=1iiiiiiii=1i=1i=1iiii01i01iii=1i1i1ii11ii1ixyxxxyxxiiiiiii=1i=1上式称平方和分解式。该式中三个平方和的意义如下：TSS=xn(y一y)2=iii1L是y,y,……,y这n个数据的离差平方和，它的大小描述了这n个数据的分yy12niiiii=1就是Q，它反映了观测值y偏离回归直线的程度，称剩余平方和或残差平方和，inyyyy(y)iiiiiiiii=1=(+x+…+x)(y)y(y)01i1mimiiii=(y)+x(y)…+x(y)y(y)0ii1i1iimimiiiiiix(y)=0i1ii…x(y)=0imiiiiii=1完全拟合时r2=1时yyi1i1xxi=1i=1yyyyxx数反映了x与y的相关关系。r=rLLxyLLxxyy相关系从上式可看出，r的符号与L的符号相同，从而与回归系数b的符号一致。xy若r=0时，则L=0，因此b=0。根据最小二乘法确定的回归直线平行于x，说xy22r0HH:,H:0010H:,H:0010H:,H:0010H0H:,H:0010 H:,H:0010 S2yy002HH00110111Lxx装1Lxx在H为真的条件下0xx1L对于给定的显著性水平a，查自由度为n_2的t分布临界值表，得临界值a2a20a2a20a20表年年次xii15631xxxyyy1xyxx0i=1FFHbH：b才00111t=1Lf=f+fTSSESSRSSG2a0a02mma00a00ttiiiii~N(b,(2c)iiiicii0i1i0ia/2a/20iiitsbcba/2a/21ia/2biia/11ia/2bia/1001000100yy00000100000001Lxcov()=E(-b)(-b)010011xx=-L0010001