高数下第十章第四节重积分的应用

高数下第十章第四节重积分的应用第一页，共三十页，编辑于2023年，星期二1.能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是对区域具有可加性——

用微元分析法(元素法)建立积分式分布在有界闭域上的整体量3.解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便2.用重积分解决问题的方法:第二页，共三十页，编辑于2023年，星期二一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为第三页，共三十页，编辑于2023年，星期二任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.例1.求曲面分析:

第一步:求切平面方程;第二步:求与S2的交线在xOy面上的投影,写出所围区域D;第三步:求体积V.(示意图)第四页，共三十页，编辑于2023年，星期二任一点的切平面与曲面所围立体的体积V.解:

曲面的切平面方程为它与曲面的交线在

xOy

面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面第五页，共三十页，编辑于2023年，星期二例2.求半径为a

的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为第六页，共三十页，编辑于2023年，星期二二、曲面的面积设光滑曲面则面积A可看成曲面上各点处小切平面的面积dA无限积累而成.设它在D

上的投影为d

,(称为面积元素)则第七页，共三十页，编辑于2023年，星期二故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即第八页，共三十页，编辑于2023年，星期二若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为隐式则则有且第九页，共三十页，编辑于2023年，星期二例3.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xOy

面上投影为则出的面积A.第十页，共三十页，编辑于2023年，星期二例4.计算半径为a的球的表面积.解:设球面方程为球面面积元素为方法2利用直角坐标方程.(略)方法1利用球坐标方程.第十一页，共三十页，编辑于2023年，星期二三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域

,有连续密度函数则公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心第十二页，共三十页，编辑于2023年，星期二将

分成

n

小块,将第k块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第k块上任取一点第十三页，共三十页，编辑于2023年，星期二同理可得则得形心坐标：第十四页，共三十页，编辑于2023年，星期二若物体为占有xOy面上区域D的平面薄片,(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度—对x

轴的

静矩—对y

轴的

静矩第十五页，共三十页，编辑于2023年，星期二例5.求位于两圆和的质心.

解:

利用对称性可知而之间均匀薄片第十六页，共三十页，编辑于2023年，星期二例6.一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为内储有高为

h

的均质钢液,解:利用对称性可知质心在z

轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为第十七页，共三十页，编辑于2023年，星期二第十八页，共三十页，编辑于2023年，星期二四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z

轴的转动惯量:对z

轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.第十九页，共三十页，编辑于2023年，星期二类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量第二十页，共三十页，编辑于2023年，星期二如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.第二十一页，共三十页，编辑于2023年，星期二例7.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.第二十二页，共三十页，编辑于2023年，星期二解:

取球心为原点,z

轴为l

轴,则球体的质量例8.求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴

l

的设球所占域为(用球坐标)转动惯量.第二十三页，共三十页，编辑于2023年，星期二解:

取球心为原点,z

轴为l

轴,则球体的质量例8.求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴

l

的设球所占域为(用球坐标)转动惯量.第二十四页，共三十页，编辑于2023年，星期二

,G

为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中第二十五页，共三十页，编辑于2023年，星期二若求xOy面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,因此引力分量为则上式改为D上的二重积分,密度函数改为即可.例如,其中:第二十六页，共三十页，编辑于2023年，星期二例9.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。第二十七页，共三十页，编辑于2023年，星期二例10.求半径为R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:

利用对称性知引力分量点第二十八页，共三