高数二复习2无穷级数

高等数学A(二)总复习上海大学理学院数学系

崔洪泉无穷级数第二部分无穷级数(比较、比值、根值法)—收敛半径、收敛域、和函数、函数展开成幂级数级数敛散的定义与性质部分和数列{Sn}与级数一般项un的关系(C)+(C)=(C)(C)+(D)=(D)(D)+(D)不确定性质：（级数收敛的必要条件）反之不真！判别级数的敛散性一、正项级数1.比较审敛法及其极限形式用同阶无穷小阶的思想把级数与

P-级数(C)(D)等比级数进行比较。p>1,(C)(D)[大的(C)小的也(C)][小的(D)大的也(D)]比较审敛法：

比较审敛法的极限形式:

设正项级数，比值审敛法则当敛散性不定比(根)值审敛法失效时，用比较审敛法。（或根值审敛法）2.交错级数例题讨论一、选择题(A)(B)(C)(D)C(A)一定发散；(B)敛散性不定；(C)必收敛于0；(D)D一般：可拆成此种形式的级数才用求部分和数列的极限来判别敛散。(A)(B)(C)(D)3.下列级数中收敛的是().(用极限形式无结果)D4.下列级数中发散的是().(A)(B)(C)(D)C5.下列级数中条件收敛的是().(A)(B)(C)(D)D即反之不成立。(A)一定绝对收敛；(B)一定条件收敛；(C)一定发散；(D)可能收敛可能发散。并举例说明反之不成立。D=0,(A)(B)(C)(D)以上都不对。

B

判别下列级数的敛散性：解：a为正项级数。用比值法为正项级数,用根值法法1：用比较法：法2：为正项级数,为正项级数,解：(若用比值法，极限=1)用比较法的极限形式>?(C)+(D)()=(D)(A.C)(C.C)(A.C)+(C.C)=(C.C)函数项级数(C)(D)1

x1-

x幂级数

阿贝尔定理幂级数显然是幂级数的收敛点。在其收敛域内是绝对收敛的级数。收敛区间:求型幂级数的收敛半径：收敛区间:讨论端点处的敛散确定收敛域。求型幂级数的收敛半径：由比值法：收敛区间:()例题讨论一、选择题：则该级数在x=1处().(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)敛散性无法确定。x.0.-2.2.1B则其收敛半径(A)发散；(B)绝对收敛；(C)条件收敛；(D)敛散性无法确定。B则该级数在x=5处().则问题为则该级数在t=3处().(A)(B)(C)(D)C二、填空题：2且收敛半径不变。R由公式求得R=a.幂级数的运算1）加减法1.代数运算2)乘法3)除法2.分析运算

性质1.幂级数的和函数在其收敛域内连续.

性质2.幂级数的和函数在其收敛域内可导，且有逐项求导公式:

（反复用上述结论，可知S(x)在收敛域内有任意阶导数）

性质3.幂级数的和函数在其收敛域内可积，且有逐项积分公式：

虽然收敛半径不变，但在端点处的敛散性可能会改变。求积后所得幂级数的收敛域不小于原级数的收敛域。一般，求导后所得幂级数的收敛域不大于原级数的收敛域。先求导后积分时要判别端点处的敛散性。1.利用逐项求导，逐项积分公式求幂级数的和函数1先求导后积分：分母中有n,分子上有n,先积分后求导：收敛域与原级数的相同。2.利用已知幂级数展开式(或恒等变形后用)例题讨论一、选择题：(A)(B)(C)(D)(-1)B解：先求导，？x0先求导后积分时要判别端点处的敛散性。求函数的幂级数展开式1.利用已知幂级数展开式——利用间接法2.利用逐项求导，逐项积分公式注意：勿忘写出收敛域！3.恒等变形后，利用上述方法解：？解：解：解：？+1+15.分析：无现成幂级数可利用，化分母为一次式，先求积。解：6.利用函数幂级数展开式的唯一性，解：由幂级数唯一性，Fourier级数展开的F—级数为：其中F—系数显然，当x

是f(x)的连续点时f(x)当x

是f(x)的间断点时傅立叶级数的和函数：注意：和函数的函数值：x0:

收敛点在[0,l]

上定义的函数展开成(作奇延拓)正弦级数与余弦级数(作偶延拓)正弦级数：余弦级数：求F—级数的步骤：1.

根据题目要求，必须明确l=?2.

根据题目要求，写出an,bn关于l

的公式(即在公式内代入l

与n)；3.

在公式中填入题中所给的函数f(x);4.

写出

符合题目要求的关于l

的F—展开式，写出和函数；5.计算积分，求出an,bn；6.在F—展开式中填入相应的an,bn,(注意周期与非周期,连续点与间断点)写出完整的F—级数(正弦或余弦)及和函数。例题讨论一、选择题：(A)(B)(C)(D)0xs(x)..。。。。。。。。。....B二、填空题：将其展开为周期T=4的余弦级数为__________________。其中系数(不必计算)an=_______________,bn=_________,设其和函数为S1(x),则S1(4)=___________。22220..0xS(x).S1(0)=0l=2x2..0xS(x).(2)若将其展开为周期T=2的F—级数，其中系数(不必计算)an=_______________,bn=______________,设其和函数为S2(x),则S2(4)=___________。则展开式为__________________________。l=1x2x2.S2(2)=2三、计算题(1)若将其展开为正弦级数求其中系数b2.(2)