2022-2023学年北京市北京市海淀区高二年级上册学期数学期末复习试题含答案

2022-2023学年北京市北京市海淀区高二上学期数学期末复习试题

一、单选题

1.已知复数z满足z（3-4i）=4+6i（6€R）,若z为纯虚数，则人的值为（）

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】D

【分析】首先变形求出z的表达式，再根据纯虚数的定义求解即可.

4+bi（4+bi）（3+4i）（12—4b）+（3b+16）i

-_

［详解］...z（3_4i）=4+〃9eR）,--3_4j25.25,

［12-46=0,

{=b=3

因为Z为纯虚数，［3b+l6Ho

故选：D

2.己知平面以P7两两垂直，直线。、bc满足：aSg,则直线a、bc不可能满足

以下哪种关系

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

【答案】B

【分析】通过假设。/〃，可得“力平行于冬户的交线，由此可得。与交线相交或异面，由此不可能

存在a//6//c,可得正确结果.

【详解】设an?=，，且/与”，6均不重合

假设：allbHe,由a//6可得:。〃夕,b//a

又anp=l,可知a/〃,b!H

又a//b〃c,可得：c/〃

因为。，夕，7两两互相垂直，可知/与7相交，即/与c相交或异面

若/与。或6重合，同理可得/与c相交或异面

可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行

本题正确选项：B

【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直

线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.

3.“片0是“直线k蛆+（2，"小+1=°与直线£机x+（2*l»-l=°之间的距离为2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

4

m=­

【分析】根据平行线间的距离公式可得m=°或5,进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.

|1~(~1)|

=24

yjm2+(2m-\y,m=­

【详解】两条平行线间的距离即5"-4m=0,解得m=0或5,

即，，机=0”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.

故选：A.

4.如图所示，在平行四边形"BCD中，ABLBD,沿8。将△/8O折起，使平面平面

BCD,连接力C,则在四面体力88的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）

【答案】C

【分析】利用线面垂直得到平面平面8CQ,平面月8c工平面8CO,平面/CQ,平面/8O,

得到答案.

【详解】平面18。，平面8CQ,平面/8ZJC平面8CC=BO,

ABLBD,NBu平面故平面BCD,N3u平面NBC,故平面Z8C1平面8CQ；

CD1BD,CDu平面BCD,故平面43。，CDu平面ZCZ）,故平面NCD_L平面/B£>；

综上所述：平面45OJ•平面8CD；平面ZBC/平面8CZ）；平面J.平面/BO；

故选：C

5.直线/："一-3。+1=0被圆。«+1）2+8-2）2=25截得的弦长的最小值为（）

A.4GB.4及c.3cD,2显

【答案】B

【分析】确定直线过定点尸"/），当PC'/时，直线/被圆C截得的弦长最短，计算即可.

【详解】直线/：©-y-3a+l=0,即“x-3）-y+l=0,直线/过定点尸⑴）,

圆C的圆心为C（T，2）,r=5,当PCI/时，直线/被圆C截得的弦长最短.

因为I尸牛7（3+1）2+（1-2）2=后,所以弦长的最小值为2J25-17=4V2.

故选：B

6.在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若配.就=1,则点C的轨迹为（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】A

【分析】设出A、8、C的坐标，利用已知条件，转化求解C的轨迹方程，推出结果即可.

【详解】解：在平面内，A,8是两个定点，C是动点，

不妨设4一凡°）,8（4,0）,设C（x,y）,

所以4c=（X+"j）,BC=（x-a,y）

因为就灰=1,

所以G+a）（x_a）+y2=],即x2+/=/+],

所以点C的轨迹为圆.

故选：A.

《上=1\

7.与双曲线48一有共同渐近线，且经过点（2/）的双曲线的虚轴的长为（）

A.2^2B.4及C.2D.4

【答案】D

【分析】依题意，设双曲线的方程为了一9一将点（2/）的坐标代入可求4.即可求解.

三-匕=1--Zl=/n^0）

【详解】设与双曲线48有共同的渐近线的双曲线的方程为48L

••・该双曲线经过点（2*）,

48.

二上7片工7

所求的双曲线方程为：48，即84.

所以方=2,

所以虚轴长为4.

故选：D

四=2,,

8.已知°（°，°）,"0，°）,动点「GM满足尸。|,则动点P的轨迹与圆（＞2）一+/=1的位置

关系是（）

A.相交B.外切C.内切D.相离

【答案】B

【分析】由题意求出动点尸的轨迹方程，再由两圆圆心距与半径的关系判断.

【详解】设P（x,y）,由题意可知，

••1尸/『=41（X-3）2+y2=4任+/）

整理得，点P的轨迹方程为（X+1），+V=4,

其图形是以（-LS为圆心，以2为半径的圆，

而圆（x-2>+/=1的圆心坐标为（2,0）泮径为1,

可得两圆的圆心距为3,等于2+1=3,

则动点尸的轨迹与圆（X-2r+/=1的位置关系是外切.

故选：B.

9.己知点P是抛物线r="上的动点，点/的坐标为02,6）,则点尸到点力的距离与到x轴的距

离之和的最小值为（）

A.13B.12C.11D.届

【答案】B

【分析】作出辅助线，利用抛物线定义得到点尸到点/的距离与到x轴的距离之和

PA+PH=PA+PF-\,由两点之间，线段最短，得到距离之和的最小值为《尸-1,求出答案.

【详解】如图，轴，连接席，

由抛物线定义得：抛物线x2=4y的准线方程为y=T,焦点坐标为（°』），

故PH=PF-\,

则点P到点A的距离与到x轴的距离之和PA+PH=PA+PF-\,

连接/尸，与抛物线交于点P，此时PZ+PF-lnNF-l,

故点P到点4的距离与到x轴的距离之和的最小值为NF-1,

22

ii..AF=J（12-0）+（6-l）=134,=.,0

其中7v7,故最小值为4尸T=12.

I22

入分别为双曲线C：/一炉"乂"。''"的左、右焦点,

10.设片,A为双曲线的左顶点，以

与名为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点,且NM4N=135。，（如图），则该双曲线的

A.&B.6C.2D.石

【答案】D

_b

【分析】联立与）-不求出”（。力），进而的正切可求，得出4与6的关系，从

而进一步解出答案.

r-'r-f2，2

【详解】依题意得，以线段FR为直径的圆的方程为x+y=c,

b

cy=­x

双曲线0的一条渐近线的方程为’。.

b

y=-x,

a

_x2+y2=c2,以及/+62=02,

由

\x=a,\x=-a,

解得［y=b或［y=-b-

不妨取加（0力），贝ijN'（-“，-6）

A（-a,MAN=\35°

所以ZMAO=45\

h

MAO=

五

又9

i=2

所以2a

所以b=2a

所以该双曲线的离心率

故选：D.

二、填空题

11.在复数范围内分解因式：/+4=.

［答案］(x+l_i)(xT+i)(x+l+i)(x-l-i)

【分析】因式分解第一步将,+4=(x2+2iXx、2i),第二步。2+2+/_(1一i)-

2

(X-2I)=X--(1+I)综合起来即可得到答案.

【详解】由题意知、4+4=(八公)(2)干-(1-必~1+刃

故答案为：(x+lT)(x-l+i)(x+l+i)(x_|-i)

12.方程J/+(<-3)2++(y+3f=10化简后为

)2

乙+三=1

【答案】2516

【分析】运用方程的几何意义得出结果.

【详解】解：...正+，-3)2+G+3+3)2=[0,

故令M(x，“耳色一3),旦(0,3)

」阿|+|M周=10>|耳用=6,

二方程表示的曲线是以6(°'-3),鸟(°，3)为焦点，长轴长2〃=10的椭圆,

艮［］。=5,c=3,b=yja2—c2=4

片+《=1

.••方程为2516

---1---=1

故答案为：2516

13.已知集合'=["2g?},8=《x/»=x+b},若集合Zc8中有2个元素，则实数

b的取值范围是

【答案】（-"T

【分析】首先分析集合A、8的元素特征，再数形结合求出参数b的取值范围.

【详解】解：由“=定了，则MO,所以小+^=1（20）,

所以'=8*=正中表示以（°，°）为圆心，1为半径的圆在N轴及右侧部分的点集,

集合B=《x，力y=x+b}表示直线y=x+/）上的点集，

•.・集合A与集合8都是点集，集合ZC8中有2个元素，

故答案为：（-"T

14.已知实数'J满足¥+V=2|X|+23,则口的最大值为

【答案】1

【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将,看作曲线上的点与坐标为巴°）的点连线的斜

率，求出最大值.

【详解】由“-x”和“-y”代入方程仍成立，所以曲线X、/=2|X|+23关于x轴和卜轴对称，故只

需考虑xNO,的情形,

此时方程为X2+V2=2X+2»,即（XTY+G-以=2,所以GM的轨迹如下图,

J

2

2O

y=y-0

』一』，表示点Of）和（4°）连线/的斜率，由图可知当/曲线第四象限部分半圆（圆心为

（1I）,半径为&）相切时，斜率最大.

设乙y=Q-4）,则J1+F,解得左=］或7（舍去）,

所以x-4的最大值为1.

故答案为：1.

15.在正方体,8C3-44G2中，N为底面48。的中心，尸为线段4"上的动点（不包括两个

端点），河为线段的中点，则下列说法中正确的序号是

①CM与PN是异面直线;

②CM>PN；

③平面尸"N,平面用；

④过尸，4c三点的正方体的截面一定是等腰梯形.

【答案】②③④

【分析】连接NC，根据平面几何知识可得CMPM交于点4,可判断①；分别在AM4c中，和在

△PAN中,运用余弦定理求得。印和尸产，比较大小可判断②；证明"N与平面8。口片后可得面

面垂直，可判断③；作出过％4c三点的截面后可判断④.

【详解】解：连接NC,因为C，M”共线，即CN,PM交于点人,共面，

因此CM,PN共面，①错误;

PN2=AP2+AN2-2AP-ANcos0=AP2+-AC2-AP-ACcos0

记ZP/C=。，则4

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcos0=AC2+-AP2-AP-ACcos0

4,

又4P<4c,

3

CM2-PN2=-(AC2-AP2)>0,,

4,CM->PN-,即CA/>/W.②正确；

由于正方体中，AN1BD,平面/8CQ,4Nu平面4BCD,

所以8与_LZN,因为BB】cBD=B,BB»BDu平面BBQQ,

所以NNJ_平面BBQ。，

因为/Nu平面尸NN,

所以平面4NJ.平面8D04,即平面P/NJ.平面③正确；

过点尸作尸K〃4G交GA于点K,连接KC，4G,由正方体性质知，4G//ZC,

所以PK/A4C,PKMC共面,且/f=£K,

故四边形尸就是过p,A>C三点的正方体的截面，

因为，尸为线段4"上的动点（不包括两个端点），

222222

所以，PKACAP=AtP+A,A=C]K+C}C=CK

故四边形尸KO*是等腰梯形，故④正确.

故答案为：②③④.

三、解答题

16.已知直线/：'+3_1）了一加=0

（1）若直线的倾斜角L42」，求实数，〃的取值范围；

（2）若直线/分别与x轴，y轴的正半轴交于4B两点,。是坐标原点，求面积的最小值及此

时直线/的方程.

【答案】（1）°«加41

（2卢次最小值为2,直线/方程为：X+N-2=0.

【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得加的不等式，解不等式可得；

（2）由题意可得点小加」和点'（八°）,可得由基本不

等式求最值可得.

71

【详解】（D解：由题意可知当切=1时，倾斜角为5,符合题意

k=_L_

当加时，直线/的斜率i-〃？

兀兀、7n\1

aw=>*=tanae[l,+^）---->1=>0<W<1

・・・倾斜角I42）,1一”.

故机的范围：0«加41.

m80,弋

y-，令7=0时％=加,即"（见°）

（2）解：在直线/中：令x=0时’m-1,即\tn-\

x=m>0

m八

y=------>0

由题意可知:W-1得m>1

m_1m2{in-1)24-2(/??-1)+1

S^AOB=

即22m-\2m-\

=；(w-1)1+242g>±+2

-I----------=2

m-1

m—\-=>(777-1Y=1=m=2

当且仅当tn-1时取等号,

故最小值为2,此时直线/方程为：x+y-2=0

17.已知圆E经过点“（°，°）,以2,2）,且

.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横

线处，并解答.

①与V轴相切；②圆E恒被直线机苫一^一？机=0（"?eR）平分；③过直线x+4y_4=0与直线

x-2y-4=0的交点c.

⑴求圆E的方程；

（2）求过点,©J）的圆E的切线方程.

【答案】（1）任选一条件，方程都为（x-2）?+y2=4

（2产=4或5x-12y+16=°

【分析】（1）选①，设圆E的方程为a、尸+3-"=『2,根据题意列出方程组，求解即可;

选②，由题意可得直线改一歹-2加=°恒过（2,0）为圆片的圆心，代入/点坐标即可求解；

选③，求出两直线的交点为0（4,0）,根据圆E过1,B,C三点求解即可；

（2）先判断出点P在圆E外，再分切线的斜率存在与不存在分别求解即可.

【详解】（1）解：选①，设圆E的方程为（、-4+（k6）2=『\

同=尸（a=2

由题意可得1（2-Q-4=：解得&=2,则圆E的方程为。-2）”2=4；

选②，直线〃优-了-2加=°恒过（2,0）,

而圆E恒被直线2_^_2机=0（机cR）平分，

所以〃a_y_2加=0恒过圆心，因为直线必-卜-2m=0过定点（2,0）,

所以圆心为（2，°）,可设圆的标准方程为（x-2『+/=',

由圆E经过点“（°，°）,得r=4,

则圆E的方程为（X-2）2+/=4.

选③，由条件易知C（4,0）,

设圆的方程为/+/+6+或+?=0（。2+6-4/>0）,

F=0伊=-4

-8+2D+2E+F=0-£=0

由题意可得|16+M+F=°,解得【尸=°,

2

则圆£的方程为/+/_4x=0,gp（x-2）+/=4

综上所述，圆£的方程为（x-2）2+V=4；

（2）解:因为（4-2）2+32=13>4,所以点尸在圆E外,

若直线斜率存在，设切线的斜率为3

则切线方程为V-3=/（X-4）,即依-y-4"3=0.

|2A--4/C+3|_|-2A:+3|_2

所以\lk2+\"2+i解得“一瓦

所以切线方程为5xT2y+16=0,

若直线斜率不存在，直线方程为*=4,满足题意.

综上过点尸（4,3）的圆E的切线方程为x=4或5x-12y+16=0.

7T7T

NBAC=—,ZPAC=ZPAB=-

18.如图，在三棱一尸-"SC中,A/2C为等腰直角三角形，23

（2）若P/=2ZC=4,求平面PN8与平面尸8c的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

715

⑵5

【分析】（1）取8C中点。，连接4。以及尸。，先证明△亚P丝ABP,再根据线面垂直的判定证

明8c工平面产/。，进而根据线面垂直的性质证明即可；

（2）根据角度关系，结合线面垂直的判定可得“CJ•平面CPE,再根据线线垂直，以A为原点，

48为x轴，4C为V轴，建立空间直角坐标系，再分别计算平面48与平面P8C的法向量求解即

可.

【详解】（1）证明：取8C中点。，连接/。以及尸。，如图2,

图2

在△ZCP和中，AB=AC,AP=AP,ZPAC=ZPAB,

所以丝ABP

所以CP=BP,所以POJ.8C

又因为SBC,/。匚平面口。，PDu平面PAD,ADQPD=Dt

所以8cl平面尸”。

又因为NPu平面/OP,所以P/_L8C

（2）在平面尸4。中，过户点作垂足为E,连接CE,BE,PE,如图3,

Bx

图3

由（1）BC之平面P4D,则8C_LPE,则PE,平面NBC

兀7171

NPAC=—AP=24CnNPCA=—ZPBA=-

在△尸。中，3,2,同理2

...AC工PE,ACLCP,且尸EcCP=P,PE,CPu平面CPE,贝ij/C_L平面CPE

又...CEu平面CPE,医，同理可得

则四边形"BCE为正方形，

AB=AC=BE=CE=2,则在RtZ\P8E中，可求出P8=20,PE=2y[l

则以A为原点，为X轴，4C为y轴，如图建立空间直角坐标系，

则/（0,0,0）,8（2,0,0）,C（0,2,0）P0,2,2&）

设平面PZ8的法向量为机=（x，%z）,"=（2,0,0）,BP=G，2,2&）,

2x=06

z=』m=。,1,-二

则|2y+2^z=0,令？=1,则x=0,222

7

设平面心C的法向量为无=（2,-2,。），班>=（0,2,2a）,

2x-2y=0y[2-LT

则2y+2五z=0,令x=l,则F=l,2

记二面角月-PB-C的平面角为，,

\m-n\"—叵

~~5

+-

则2

cos”小

又因为8为锐角,则5

22余9

二+二=l（a>6>0）=1

19.已知椭圆C：6。与椭圆的离心率相同,11为椭圆C上

一点.

（1）求椭圆C的方程.

哈。

（2）若过点的直线/与椭圆C相交于4B两点,试问以N8为直径的圆是否经过定点7?若

存在，求出7的坐标；若不存在，请说明理由.

%2+—=1

【答案】⑴2

（2）存在7的坐标为（T，°）,理由见解析

*JV2

【分析】（1）先求出椭圆84的离心率为2,由此得到/=2/，将点尸的坐标代入椭

11,

----1----1

圆C,得到2〃/,再代入/=2〃，解得〃=1,“2=2,则可得结果；

（2）先用两个特殊圆求出交点（T，0）,再猜想以为直径的圆经过定点T（T，°）,再证明猜想，

/,：X=wV+-Ix~，+—/=1，,.

设直线3,并与2联立，利用韦达定理得到％+%,必为，进一步得到再+々，

x/2,利用必+%,必力，%+X"再超证明源•范=0即可.

《+zi=ir__,__

【详解】（1）在椭圆84中，%=272,4=2,q='8-4=2,离心率e=

c,_2_A/2

q.2后一2

.IJ-,

所以'片2,化简得"=2/,

P（—,1）^+4-=i（«>*>o）

因为2在椭圆C：b2a2,上,

所以定+/-1,所以游+2〃-1,所以/=1,a2=2,

C:x2+-=1

所以椭圆2.

（2）当直线/的斜率为0时;线段"8是椭圆的短轴，以48为直径的圆的方程为V+『二l,

1-+J1"

x=—

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为3,代入2，得,3,以为直径