2021年北京市丰台区高考数学一模试卷

2021年北京市丰台区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.（4分）（2021•丰台区一模）已知集合4=*|-2<%,1},3={x|0<x,3},则68=（

）

A.{x|-2<x<0}B.{%|0<玉，1}C.{x|1<A;,3）D.{x\-2<x^3}

2.（4分）（2021•丰台区一模）在复平面内，复数z=3-4i,则N对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2R

3.（4分）（2021•丰台区一模）已知双曲线r二-y2=l（a>0）的离心率是上，则“=（）

a~2

A.72B.2C.2>/2D.4

4.（4分）（2021•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，且sina=：.把

角a的终边绕端点O逆时针方向旋转》弧度，这时终边对应的角是£,则sin/?=（）

A.--B.-C.--D.正

3333

5.（4分）（2021•丰台区一模）若直线y="+1是圆月+尸-2入”=0的一条对称轴，则人的

值为（）

A.--B.-1C.1D.2

2

6.（4分）（2021•丰台区一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（

）

正（主）视图侧佐）视图

俯视图

A.2B.2&C.2百D.4

7.（4分）（2021•丰台区一模）P为抛物线y2=2px（p>0）上一点，点P到抛物线准线和对

称轴的距离分别为10和6,则p=（）

A.2B.4C.4或9D.2或18

8.（4分）（2021•丰台区一模）大气压，它的单位是“帕斯卡”

受力面积

（Pa,\Pa=lN/m2）,大气压强p{Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是

p=p（＞*（k=0.000126〃/）,°。是海平面大气压强.已知在某高山A,4两处测得的大气

压强分别为小，P，,正△,那么A，A,两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：

■P12

加2=0.693）

A.550mB.1818〃zC.5500mD.8732m

9.（4分）（2021•丰台区一模）已知非零向量a,b,C共面，那么“存在实数2,使得a=々；

成立”是“（“•b）c=a（b'c）”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（4分）（2021•丰台区一模）已知函数/。）=/：+川"'皿若存在实数"使得关于x的

[x,x＞m,

方程/（x）=b有三个不同的根，则实数机的取值范围是（）

A.（0,2）B.（9,-2）＜J（0,2）

C.（-2,0）D.（-2,0）52,+oo）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）（2021•丰台区一模）函数/（x）=4（2x）+-x的定义域为.

12.（5分）（2021•凉山州模拟）在（x+4）6的展开式中常数项为.（用数字作答）

x

13.（5分）（2021•丰台区一模）在A48C中，a=上,b=2四,B=2A,贝hosA=___.

14.（5分）（2021•丰台区一模）设等比数列仅“}满足4+%=48,%+g=6,则

log,的最大值为.

15.（5分）（2021•丰台区一模）如图，从长、宽、高分别为a,b,c的长方体尸-GCHD

中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A-BCD.下列四个结论中，所有正确结论的序

号是―-

①三棱锥A-BCD的体积为；

3

②三棱锥A-38的每个面都是锐角三角形；

③三棱锥A-38中，二面角A-8-3不会是直二面角；

④三棱锥A-3CD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为c,P,y,则

sin2a+sin2（3+sin2y„2.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（13分）（2021•丰台区一模）已知函数/（x）=sin0x+ecos@x（<w>0）.

（I）当“=1时，求的值；

（JI）当函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是］时，.

从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.

①求y（x）在区间上的最小值：

②求f（x）的单调递增区间；

③若/（x）..0,求x的取值范围.

17.（14分）（2021•丰台区一模）如图，四棱锥P—ABCE）中，底面是菱形，ABAD=-,

3

M是棱上的点，O是4）中点，且PO_L底面4?C£>,OP=-^OA.

（I）求证：BCLOM；

（I【）若PM=—PB,求二面角B-OA1-C的余弦值.

5

18.（14分）（2021•丰台区一模）某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画

影片、纪录影片的时长(单位：分钟)如图所示.

(n)从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片

时长的年数，求X的分布列和数学期望E(X)；

(III)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为s；,

s；,s；,试比较s：,s；,s；的大小.(只需写出结论)

19.(15分)(2021•丰台区一模)己知椭圆C:=1(4＞。＞0)长轴的两个端点分别为

A(-2,0),8(2,0),离心率为走.

2

(I)求椭圆C的方程;

(II)P为椭圆C上异于A,3的动点，直线AP,PB分别交直线x=-6于M,N两点,

连接NA并延长交椭圆。于点Q.

(i)求证：直线"，AN的斜率之积为定值；

(ii)判断M,B,。三点是否共线，并说明理由.

20.(15分)(2021•丰台区一模)已知函数〃*)=丁-3/+63€/?).

(I)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(II)若函数f(x)存在三个零点，分别记为X1,x2,XjC%,＜x2＜x3).

(i)求6的取值范围；

(ii)证明：%＞。•

21.(14分)(2021•丰台区一模)已知数列A:%,a?,a2n5eN*),现将数列4的项

分成个数相同的两组，第一组为8：4，b2,...»bn,满足％.2+[(i=l,2,...»n-1)；第

二组为C:q,c2,…，cn,满足c”,q+C=1,2,…，〃-1),记Af=力”一q[.

/=1

(I)若数列A:l,2,4,8,写出数列A的一种分组结果，并求出此时M的值；

(II)若数歹!JA:1,2,3,…，2〃，证明："?但他.，£.}..〃+l(i=l,2,…，〃)；(其中加办佐,

cj表示①，q中较大的数)

(W)证明：M的值与数列A的分组方式无关.

2021年北京市丰台区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.（4分）（2021•丰台区一模）已知集合4={》|一2<%,1},8={x|0<%,3},则8=（

）

A.{x|-2<x<0}B.{x[0<x,l}C.{x[l<*,3}D.{x|-2<A;,3}

【解答]解：A=[x\-2<x„l},8={x|0<*,3},

贝ijAjB={x|-2<x,3},

故选：D.

2.（4分）（2021•丰台区一模）在复平面内，复数z=3-4i,则5对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：复数z=3—4i,则2=3+4，.对应的点（3,4）位于第一象限，

故选：A.

3.（4分）（2021•丰台区一模）已知双曲线£一丫2=1（〃>0）的离心率是且，则〃=（）

a~2

A.x/2B.2C.2>/2D.4

【解答】解：双曲线《一>2=1（“>0）的离心率是好，

a2

可得正口=亚，解得4=2,

a2

故选：B.

4.（4分）（2021•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，且sina=：.把

角a的终边绕端点O逆时针方向旋转乃弧度，这时终边对应的角是/，则sin6=（）

A.--B.-C.一立D.—

3333

【解答】解：由题意sina=±,

3

可得sin尸=sin（a+4）=一sina=——.

故选：A.

5.（4分）（2021•丰台区一模）若直线了=丘+1是圆f+y2-2x=0的一条对称轴，则人的

值为（）

A.--B.-1C.1D.2

2

【解答】解：由/+>2-2》=0,得（％-1>+丁=1,

则圆心坐标为（1,0）,

又直线y=爪+1是圆x2+丁-2x=0的一条对称轴，

..直线过圆心,即4+1=0,得无=一1.

故选：B.

6.（4分）（2021•丰台区一模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（

）

正（主成图制（左）视图

俯视图

A.2B.2及C.273D.4

【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；

如图所示：

最长的棱长为=万万=26.

故选：c.

7.（4分）（2021•丰台区一模）P为抛物线y2=2px（p>0）上一点，点尸到抛物线准线和对

称轴的距离分别为10和6,贝。=（）

A.2B.4C.4或9D.2或18

【解答】解：由抛物线V=2px（p>0）可得准线/的方程为：x=-g.

设点P（xl,%）.y；=2pjq.

点P到准线及对称轴的距离分别为10和6,

.,.X,+y=10,y=±6,yf=2pxt,

解得％i=l，p=18,或X]=9,p=2,

即口的值分别为18,2.

故选：D.

8.（4分）（2021•丰台区一模）大气压强/,=金%,它的单位是“帕斯卡”

受力面积

{Pa,\Pa=\N/tn2）,大气压强p（Pa）随海拔高度的变化规律是

p=p^1（k=0.000126m],p0是海平面大气压强.已知在某高山4，为两处测得的大气

压强分别为化，P，，旦=1,那么A，4两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：

P12

//?2h0.693）

A.550mB.1818mC.5500mD.8732m

【解答】解：设A，4两处的海拔高度分别为4,%,

]-0,000126%

IJIll_LL=1=EsL____________0.000126(/h-/»,)

p2~2~—

0.000126(/12)=吗=一历2x-0.693,

得九一九=---0-=—5500〃2•

-'0.000126

.•・4，4两处的海拔高度的差约为55006.

故选：C.

9.（4分）（2021•丰台区一模）已知非零向量。，b,。共面，那么“存在实数人使得4=成

成立”是“（a-b）c=a（bc）”的（

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：①若d=/，

ah=(2c)-h=A(c-h),(«•/?)c=A(c-h)c,

又a(b•c)=(2c)(h-C)=2(d-/?)•(?,

(a-h)c=a(/?­c).

②若(ab)c=a(be),

ab,都是数，设4力=加，hc=n,

(a-b)c=a0-c),:.me=na,

又a,CNO,:.a,c共线，即a=

综上所述：a=笈是(a•匕)e=a(b•c)的充要条件.

故选：C.

10.(4分)(2021•丰台区一模)已知函数/。)=(：+川"'皿若存在实数"使得关于X的

[x,x>m,

方程/(x)=b有三个不同的根，则实数m的取值范围是()

A.(0,2)B.(―,-2)U(0,2)

C.(-2,0)D.(-2,0)52，+00)

【解答】解：方程f(x)=b有三个不同的根等价于函数y=『(x)与y=8有三个交点，

根据选项画出相应函数图像：

①当，"-2时，方>_2m，函数f(x)的图像如下:

由图像可知存在实数6,使得关于X的方程f(x)=b有三个不同的根,

②当-2<0时，>〈-2相，函数/(x)的图像如下:

由图像可知不存在实数6,使得关于x的方程/(x)=8有三个不同的根,

由图像可知存在实数b，使得关于x的方程f(x)=6有三个不同的根,

④当m>2时，nr>2m,函数/（x）的图像如下:

由图像可知不存在实数人，使得关于x的方程f（x）=6有三个不同的根，

综上所述，根<-2或0<m<2时方程/（x）=b有三个不同的根，

故选：B.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）（2021•丰台区一■模）函数于（x）=/〃（2x）+"-x的定义域为_.

【解答】解：由题意得：

PX>°,解得：

[1-X..I）

故函数的定义域是（0,1],

故答案为：（0,1].

12.（5分）（2021•凉山州模拟）在（x+2）<>的展开式中常数项为160.（用数字作答）

X

【解答】解:在（x+知的展开式中的通项公式为瓢=C；2.声”，令6一2厂=0,求得r=3,

X

可得常数项为2?=160,

故答案为：160.

13.（5分）（2021•丰台区一模）在AABC中，a=#），b=242,B=2A,则cosA=_^_.

【解答】解：由题意可得:sinB=sin2A=2sinAcosA,

结合正弦定理有：b=2acosA,则cosA=2=2^，=逅.

2a2G3

故答案为：显.

3

14.（5分）（2021•丰台区一模）设等比数列｛〃〃｝满足％+4=48,a4+a5=6,则

logz©4令…4）的最大值为15.

【解答】解：设公比为q的等比数列｛〃〃｝满足q+4=48,%+4=6，

所以炉=巴*=1,解得4=4，

4+482

故q+出=4（1+q）=48,解得4=32.

所以。,,=（一;）

故4.4••・/=2"—,

贝ljlog2…=—J〃2+£〃，

当〃=5或6时，取得最大值为15.

故答案为：15.

15.（5分）（2021•丰台区一模）如图，从长、宽、高分别为“，b,c的长方体4EBF-GCHD

中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥A-BCD.下列四个结论中，所有正确结论的序

号是①②④.

①三棱锥A-BCD的体积为』abc；

3

②三棱锥A-B8的每个面都是锐角三角形；

③三棱锥A-38中，二面角A-CD-B不会是直二面角；

④三棱锥A-BCD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为a,P,y,则

sin2a+sin2P+sin2%,2.

【解答】解：对于①，长方体的体积为欣，

三棱锥A-BCD的体积为abc-4x-x—abc=—abc,故①正确；

323

对于②，三棱锥A-BCD的每一个面的三边长都可以用过一个顶点的三条侧棱表示，

不妨以AACZ）为例，AD2=a2+c2,AC2=b2+c2,CD2^a2+b2,

AD2+AC2>CD2,AD2+CD2>AC2,AC2+CD2>AD2,

.•.AA8一定是锐角三角形，同理可得AABC,MBD,ABC。为锐角三角形，

则三棱锥A-BCD的每个面都是锐角三角形，故②正确；

对于③，如图，以F为坐标原点，分别以外、FB、9所在直线为x、y、z轴建立空间

直角坐标系，

则A(a,0,0),E(a,b,0),8(0,b,0),F(0,0,0),G(a,0,c),

C(a,b,c),£)(0,0,c),

AC=(0,b9c)9CD=(-a,-b,0)9BC=(a,09c)f

设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z),

,[m-AC=by+cz=0bb

由1，取y=l,则雨=(—,1,—),

m-CD=-ax-by=0ac

同理可得平面夙力的一个法向量为”=(1,-，

bc

一区+吗,取a=b=五,c=l时，〃可得二面角A—CD-5是直二面角,

abc

故③错误；

对于④，不妨设43与底面所成角为a,AC与底面所成角为7?,AZ)与底面所成角为

由③可知，平面3CZ)的一个法向量为〃=(-/“,ac,a6),AC=(0,b,c),

.c2abc

sm/3=/~,

\lb2+c2-yla^c2+a2b2+b2c2

222

,24abc_8a262c2

Sm22222222222222222

(Z?+c)(ac+a2b2+Z7c)(b+c)［(ac+ab)+(crb+Z?c)+(//+^C)］

________8/吐2________2b

“2ac(2a2bc4-latrc+2abc2)a+b+c

同理可得，sin2a„2a.sin1”2c,

a+b+ca+b+c

则sin?a+sin?/?+sin?%,-〃+2"+2<=2,故④正确.

a+b+c

故答案为：①②④.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(13分)(2021•丰台区一模)已知函数/(x)=sin0x+百COSGX3>0).

(I)当。=1时，求的值；

(II)当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是］时，.

从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.

①求/(X)在区间［0,堂上的最小值；

②求f(x)的单调递增区间；

③若/(幻..0,求x的取值范围.

【解答】解：(/)。=1时，/(x)=sinx+5/3cosx,

故f弓)=g+*x6=2,

71

(II)f(x)=2sin(cox+—),

由函数/(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是］得7=万，0=2,

故/(x)=2sin(2x+y)，

选①：由滕/工得C轰蚁+至”，

2333

所以一无效kin(2x+C)1,

23

所以/(x)在区间［0,1］上的最小值-G；

②求/(x)的单调递增区间，

令2%乃一工效2x+工2攵1+工，得攵万一女羽kkjr+—ykeZ,

2321212

故函数f(x)的单调递增区间伙万2"+看卜kQZ,

③若/(x)..O,贝！J2Z通必x+(2k兀+冗,kwZ,

解得人万一工领kk/r+—ZeZ,

63

故x的取值范围伙乃一.，4sz.

17.(14分)(2021•丰台区一模)如图，四棱锥尸—ABC。中，底面A3CZ)是菱形，ZBAD=-

3f

M是棱M上的点，。是4)中点，且R9_L底面ABC。，OP=»OA.

(I)求证：BCA.OM；

a

(II)^PM=-PB,求二面角B—QW—C的余弦值.

5

【解答】解：(I)证明：在菱形43co中，ZBAD=-,4曲为等边三角形,

3

。为A£)的中点，..OBLAD,

AD//BC,:.OB±BC,

PO_L底面BCu平面AB8,

:.OP±BC,

OP^OB=O,OP、O3u平面尸03,.iBC，平面「08,

"是棱PB上的点，.1OMu平面「08,

：.BCVOM.

(II)PO_L底面MCD,OBYAD,

建立如图所示的空间直角坐标系0-型，

设。4=1,则OP=O8=G，

0(0,0,0),A(1,0,0),3(0,也,0),C(-2,6,0),尸(0,0,6),

OC=(-2,6,0),

由PM=|所得加。「+加他坐,竽),

设m=(x,y,z)是平面OMC的法向量，

OM-=3V+2z=0人/日〜

由，.，令y=2,得加=(6,2,-3),

OCin=2x-y/3y=0

平面POB的法向量为〃=(1,0,0),

m-n\J3

cos<m,n>=----------=——

\m\t\n\4

由题知二面角8-Q0-C为锐二面角,

二面角B-QW-C的余弦值为且.

18.(14分)(2021•丰台区一模)某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画

(I)从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率;

（n）从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片

时长的年数，求X的分布列和数学期望E（X）；

（III）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为s：,

s；,s；,试比较s；,s；,s；的大小.（只需写出结论）

【解答】解：（I）从2011年至2020年，共10年，其中动画影片时长大于纪录影片时长的

年份有：

2011年,2015年，2017年，2018年,2019年，2020年，共6年,

故所求概率p=g=3.

105

（IDX的所有可能取值为0,1,2,

则P（X=O）=与=2，

Go15

8

P(x=l)

P(X=2)=|^W，

5oJ

所以随机变量X的分布列为:

X012

p28

15153

数学期望E(X)=0x2+lx号+2x1=9.

151535

（III）结合图象可知科教影片时长的波动最大，方差最大，

将动画影片、记录影片时长从小到大排列，

动画影片：150,180,200,240,260,290,320,350,380,430,

记录影片：100,130,150,190,210,240,270,300,330,380,

记录

222

$2<$3<M.

22

19.（15分）（2021•丰台区一模）已知椭圆C:5+2=l（4>6>0）长轴的两个端点分别为

a-b-

A(—2,0),8(2,0),离心率为^―.

2

(I)求椭圆C的方程；

(II)P为椭圆C上异于A,3的动点，直线AP,PB分别交直线x=-6于M,N两点,

连接NA并延长交椭圆C于点Q.

(i)求证：直线"，AN的斜率之积为定值；

(ii)判断B,。三点是否共线，并说明理由.

【解答】解：(I)由已知可得：。=2,,贝i」c=G，b=\,

a2

所以椭圆C的方程为：—+/=1;

4

(II)(/)证明：因为直线PA,PB都存在且不为0,设P(x0,%),则总=一^，kAP=,

%—2%+2

所以直线的方程为：y=」^(x-2),令x=-6,解得丫=二返，则点N的坐标为

七一2xa-2

-8%

所以直线AN的斜率为kAN=上心=⑶豆，

-6+2X。—2

、2(1-9)

所以直线AP,AN的斜率之积为^^.刍k=学1=,4=一1为定值;

X。+2X。—2垢—4X。—42

(ii)M,B,。三点共线，理由如下：

设直线A尸的斜率为A,易得用(-6,-4幻，

由⑺可知直线AN的斜率为,所以直线AN的方程为y=-'-(x+2),

2女2攵

y=—(x+2)

联立方程］,2k，消去x可得：(4+4&2厅+8处=0,

X2.

—+V=I

4-

一262后2—2—2々

解得y=1,所以点。的坐标为

v\+k~\+k\+k

所以，直线BQ的斜率为一=-,直线3M的斜率为=

2k2-2.2-6-22

1^一2

因为直线BQ的斜率等于直线BM的斜率,

所以M,B,。三点共线.

20.(15分)(2021•丰台区一模)已知函数f(x)=V-3x?+伙beR).

(I)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(H)若函数f(x)存在三个零点，分别记为占，x2,x3(x,<x,<x3).

(i)求b的取值范围；

(ii)证明：xt+x2>0.

【解答】(I)解：当6=1时，f(x)=x3-3x2+l,则f(1)=一1,所以切点为(1,-1),

因为:(x)=3/-6x,故尸(1)=一3,

由点斜式可得切线方程为y-(-l)=-3(x-1),即3x+y-2=0；

解:f(x)=x3-3x2+b,令f(x)=0,可得6=-/+3/，

令g(x)=-x3+3x2,则g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),

所以当x<0时，g'(x)<0,则g(x)单调递减，

当0cx<2时，g'(x)>0,则g(x)单调递增，

当x>2时,g'(x)<0,则g(x)单调递减，

所以当x=0时，g(x)取得极小值g(0)=0,

当x=2时，g(x)取得极大值g(2)=4,

因为函数f(x)存在三个零点，

所以y=g(x)与y=6的图象有三个交点，贝IJ有0<6<4,