2021-2022学年河南省安阳市殷都区第一高一年级下册学期3月月考数学试题含答案

2021-2022学年河南省安阳市殷都区高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1.复数z=J-（i为虚数单位）的共轨复数在复平面内对应的点位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】先利用复数的除法化简，再得到其共规复数，利用复数的几何意义求解.

【详解】因为z=岛i（l-岛i）=51（,»、），

所以六”

所以对应的点位于第四象限.

故选：D

2.下列命题正确的是（）

A.向量a与〃共线，向量6与C共线，则向量。与c共线

B.向量d与人不共线，向量分与c不共线，则向量。与c不共线

C.向量AB与CO是共线向量，则A,B,C,。四点一定共线

D.向量a与匕不共线，则向量a与。都是非零向量

【答案】D

【分析】直接利用向量共线的充要条件以及反例判断即可.

【详解】解：对于A,如果匕=0,则选项A不正确；

对于B,向量d与。不共线，向量匕与C不共线，则向量。与c可能共线也可能不共线；如图a=A3、

b=BD、c=BC,显然a与〃不共线，向量6与C不共线，但是4与C共线；所以B不正确；

对于C,在YABCO中，向量AR与CO是共线向量，但是A,B,C,。四点不共线，所以C不正

确.

对于D,若向量a与b不都是非零向量，即至少有一个为零向量时，向量。与〃共线，根据逆否命题

的等价性可知，D正确.

故选：D.

3

3.如图，四边形ABCD中，BC=2AE=2ED)BF=-BE则cr=()

49

35311535

A.-BA+-CBB.-BA一一BCC,一一BA+-BCD.-BA+-BC

48434848

【答案】A

【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用朋，表示CF.

33/1、3333

【详解】BF=-BE=-\BA+-BC\=-BA+-BC9CF=BF-BC=-BA+-BC-BC=

44(214848

3535

-BA——BC=-BA+-CB.

4848

故选：A.

4.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,cosA=~,B=1A.则'=()

3a

【答案】A

【分析】利用正弦定理并结合已知条件即可求解.

__〜十5——―/口bsin8sin2A2sinAcosA、,4

【详解】由正弦定理可得，一=一二=-"r=————=2cosA=-.

asinAsinAsmA3

故选：A.

5.对于任意两个向量°和b，下列命题中正确的是（）

A.若出人满足|“|<出|,且a与％反向，则£>[

B.\a-b\„\a\-\b\

C.\a-b^\a\\b\

D.|a+/?|<|a|+1

【答案】D

【分析】利用向量的概念以及向量的平行四边形法则、三角形法则、向量的数量积，判断选项的正

误即可.

【详解】A,因为向量不能比较大小，故A错误；

B,由向量的三角形法则可知，|a-勿2|。|-附|,故B错误;

C,|a•勿=|a|M||cos『|Sa|出故C错误：

D,由向量的平行四边形法则可得|a+6|4|a|+出I，故D正确.

故选：D

6.定义：若z2=a+万（a,beR）,则称复数z是复数。+例的平方根.根据定义，复数9-40i的平方根

为（）

A.3-4i,-3+4iB.4+3i,4-3i

C.5-4i,-5+4iD.4-5i,Y+5i

【答案】C

【分析】设复数9-40i的平方根为x+yi（x,yeR）,然后平方后根据复数相等即可得出结论.

【详解】设复数9—40i的平方根为x+yi（x,ywR）,则（x+yi>=9-40i,

化简了2-丁+2孙i=9-40i,所以*2-y2=9,2xy=-40,解得

x=5,y=-4或x=-5,y=4,即复数9-40i的平方根为5-4i或一5+4i,

故选：C

7.一艘轮船沿北偏东28。方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32。

方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为J历海里，则灯塔与轮船原来的距离为（）

A.2海里B.3海里C.4海里D.5海里

【答案】A

【分析】如图，设A为轮船原来的位置，8为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，然后在_A8C

中利用余弦定理求解即可.

【详解】如图，设4为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，

由题意知AB=18xW=3,BC=M,^BAC=180°-32°-28°=120°.

60

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosNBAC,

所以19=9+AC?+3AC,化简得C2+3AC-10=0,

解得AC=2或AC=-5（舍去），

所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，

故选：A

B

2

8.在梯形ABC。中，AB〃CD且AB=3CD,点P在边5c上，^AP=-AB+AAD9则实数4=（）

A.|B.-C.-D.1

3342

【答案】D

【分析】延长AO,BC交于点E,则民P,七三点共线，运用4尸=143+（1-工）4£：可求解.

【详解】延长AO,BC交于点E,则以RE三点共线，于是可得4尸二；AB+：AE,因且

3213211

AB=3CD所以AE=-A。，于是AP=-A8+—x-AO=-A8+-AD,2=一,

92332322

E

故选：D

4

9.已知向量％不共线，若向量〃=。+§/汕与向量q=/?+3加〃共线，则加的值为（）

A.±-B.0或；C.0或1D.0或3

22

【答案】A

【分析】根据向量共线的条件p=4/代入化简,对应系数相等

【详解】因为〃仍与4共线，可设〃=久4，即。+1"?/?=2仅+3加。），因为〃，b不

f3^12=1,

共线，所以4，所以初=土］.

2

1\—3m=A,

故选:A.

10.在.「ABC中，内角A、B、。所对的边分别为。、b、。，不解三角形，确定下列判断正确的是

()

A.B=6()°,c=4,b-5,有两解B.B=6()°,c=4,b-3.9,有一解

C.8=60。，c=4,b=3,有一解D.B=60。，c=4,b=2,无解

【答案】D

【分析】己知B=6O。，c=4的前提下，利用直角34汨构造出关于6的不等式，即可得出三角形的

个数解.

【详解】因为8=60。，c=4,如图AD28D于O,

由直角可得AO=cxsin60o=28.

当匕=2月或。24时，有一解：

当匕<2后时，无解；

当2Ab<4时,有两解.

故选：D

11.在一ABC中，角A、B、C所对的边分别为。、b、c,且(a+6):(a+c):(b+c)=9:10:ll,则

下列结论正确的是()

A.sinA:sinB:sinC=4:5:8

B.一MC的最小内角是最大内角的一半

C.ABC是钝角三角形

D.若c=6,则的外接圆直径为逆

7

【答案】B

【分析】利用已知条件求出三边的比例，结合正余弦定理验证各选项的结论是否正确.

【详解】由(a+0)：(a+c)：S+c)=9:10:ll,

不妨设a+b=9，〃，a+c=10/n,b+c=i\m,m>0f解得〃=4/〃，b=5m,c=6m.

由正弦定理知sinA:sinB:sinC=:Z?:c=4:5:6,即A选项错误；

，最大的内角为C,最小的内角为A,

222222

由余弦定理知,25〃+36m之一16"3_a+b-c16m+25m-36w1_

8SA=/Q=—,cosC===->(),

2x5/wx6w-4lab--------2x4mx5m------8

cos2A=2cos?A-1=2X(2]-1=-=cosC,角A和角。都为锐角，故A=!。，即B选项正确;

UJ82

最大的内角为C，・・・cosC>0,・,・C为锐角，ABC是锐角三角形，即C选项错误；

VcosC=lAsinC=—,由正弦定理三;=2R,

88sinC

6_16#j

/..ABC的外接圆直径迈一~T，即D选项错误.

~T~

故选：B

12.若0为坐标原点，0A=（凡%）,08=（，p）,尸（4,0）,\AF\=m+l,\BF\=p+l,,则机+P的最小

值是（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出m+2的表达式，通过整体代换利用基本不

等式和二次函数单调性即可求得最小值.

4

【详解】由题意知，AF=（4-n-m\BF=（4--p）

n9

（4-n）2+m2=in1+2m+1

又k尸卜,w+i，WI=p+i可得，.J4丫22Gl

14——I+p=p-+2p+l

整理得2（，〃+p）=〃2+，-8（〃+；）+30,

4

令，=〃+-,则〃2+F=R-8,

nn

且te(-oo,-4]=[4,+00)，

2(m+p)=r2-8/+22=(r-4)2+6>6,

m+p>3,即，〃+P的最小值是3.

故选：C

二、填空题

13.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为''等部复数"，若复数z=（l+ai）i为“等部复数”,

则实数.

【答案】-i

【分析】根据复数的乘法计算z=-a+i,由实虚部相等即可得解.

【详解】z=（l+ai）i=-a+i,

由实部和虚部相等可得-a=l,

所以。=一1,

故答案为：-1.

14.已知向量。=（-2,1）,6=（3,0）,e是与。方向相同的单位向量，则“在人上的投影向量为.

【答案】-2e

【分析】°在b上的投影向量为|水。5心力卜，求出两向量夹角的余弦值，代入即可.

cab-62y[5

【详解】设a与b所成角为。，则cos®=丽=m=一飞一，故〃在。上的投影向量为向cos%=-2e.

故答案为：-2e

15.已知q与与不共线，a=e]+2e2,b=Aei+e2f且〃与人是一•组基，则实数4的取值范围是

【答案】[-00'l]u[l'+00）

【分析】先由a与b共线，求得2,再由a与B是一组基底，则a与〃不共线，取补集即可.

【详解】因为q与02不共线，a=e,+2e2,b=Aet+e2,

若a与6共线，

则a=即4=乌+2/=〃（义乌+62）,

fA/z=1A.=—

所以、，解得2,

〔〃二25

因为“与坂是一组基底，

所以若a与b不共线，

所以实数X的取值范围是（Y，£|U（；,+CO）,

故答案为：

16.若二ABC的内角A,B,C满足sinA+sinC=\/^sin5,则tan3的最大值为.

【答案】20

【分析】先由正弦定理得到三边的关系，然后由余弦定理求角的余弦的最小值，再求得结果.

【详解】已知sinA+sinC=gsinB,由正弦定理可知a+c=回,

则cosB=《+)二。=S+c)2-0_］=少一］,因为〃病，即〃

2ac2acac3

所以cos%,则Be(o,5,且当cosB=g时，角B最大，而tanx在(0,］)上单调递增，

此时sin8=子，所以(1皿8)2=鬻=2夜.

故答案为：2vL

三、解答题

17.已知复数2=加(加-2)+浙(〃?€11)是纯虚数.

(1)求实数加的值；

(2)若复数。满足网=|z|,<y+5=2,求复数。.

【答案】(1)/n=2；(2)(y=l+6i或3=1-有.

【分析】(1)由复数z为纯虚数，可得］'"(〃：2)=°,从而可求出机的值；

(2)由(1)知z=2i,令+5(a,bwR),由网=回，co+co=2,列方程可求出〃,匕的值，从

而可求出复数。

【详解】解：(1)由复数z为纯虚数，有得加=2.

［加工0

(2)由(1)知z=2i,令69=a+eR),有同=+Z?2=2.

又由0+5=(a+bi)+(a-bi)=24z=2,得々=1,有b=士瓜

由上知co—1+J5i或g=1-6i.

18.已知平面内三个向量〃二(7,5),&=(-3,4),c=(l,2).

(1)求卜-2b+3c|；

(2)求满足Q=,泌-〃c的实数〃？，〃；

(3)若传-c)〃,+c),求实数吼

【答案】(1)J265;(2)//?=——,n=--7-；(3)k=七.

1()1026

【分析】(1)根据向量坐标运算法则求出。-2方+3c=(16,3)求出模长；

(2)根据“=成)-”c得(7,5)=(-3%-”,4加一2〃)，建立方程组即可求解；

(3)求出M-c=(7Z-l,5Z-2),〃+c=(-2,可，根据向量平行的坐标表示即可得解.

【详解】(1)•.%—乃+3c=(7,5)-2(—3,4)+3(1,2)=。6,3),

：.\a-2b+3c卜V162+32=＞/265.

(2)由.=〃?6-〃c得(7,5)=(-3%—一2")，

-__2_

m

・•・\4-3m-9n=7',解得£JO'

\4m-2n=5.43

10

(3)ka-c=(lk-\,5k-2)9Z?+c=(—2,6).

'：(ka-c]H(b+c],A6(7A:-l)+2(5Z:-2)=0,解得火=言.

19.设向量a/满足|a|=l,|6|=l,且£与」具有关系|焉+笳=@＞心|伏＞0).

(Da与b能垂直吗?

(2)若a与b夹角为60。，求k的值.

【答案】(1)不能

⑵％=1

【分析】(1)将I4+力l=G|W|两边平方，整理可得。力=一，判断其是否能为零，可判断

4k

与6能否垂直；

(2)根据数量积的定义计算结合(1)中数量积结果，求得k的值即可.

【详解】(1)'：\ka+b\=y/3\a-kb\,

：.\ka+b\2=?>\a-kb\2,

2

V|a|=1,|ft|=1,Ak+]+2katr=(+*?!-ka扮,

k2+\

:.ab

4Z

VA:>0,>\ab=----工0,即〃与。不垂直；

4k

（2）'：a与6夹角为60。，且必|=1,闻=1,

a-h=]a\\h\-cos60=；,

出2+1

由（1）知a•b=-------，

4k

.k2+\1.,.

..-------=—,・・k=l.

4k2

20.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且丝丝=竽+皿

abc

⑴求证：tanA=2sinBsinC；

3

⑵若c。一耳。。二〃2-。2,求cos5cosc的值.

【答案】（1）证明见解析

⑵W

12

【分析】（1）根据正弦定理，正弦倍角公式，两角和的正弦公式即可求解；（2）根据余弦定理，同

角的三角函数基本关系式，两角和的余弦公式即可进一步求解.

・、4hn、.sin2AcosBcosCc-cosB+Z?-cosC

【详解】(1)・-------=——+--------=----------:-----------sin2A=2sinAcosA,

abcbe

2bc-sinAcosA=tz(c-cosB+b-cosC),

由正弦定理，得2sinBsinCsinAcosA=sinA(sinCcosB+sinBcosC)=sin4sin(B+C),

•IABC中，sin(B+C)=sinA>0,

2sinBsinGcosA=sinA,

.sinAc•p•6

・・------=zsin^sinC,

cosA

tan4=2sinBsinC.

(2)由/一38。=〃2一从，

2

b24-c2-a2=-hc,

2

,222o

由余弦定理，得cos4==^=2

2bc4

而,ABC中，sin>0,

sinA=-cos2A=也^,

・“亚

••tanA=—,

3

由(1)知sin8sinC=也,

6

*.*cos(B+C)=cosBcosC-sinBsinC,

3

cos(3+C)=-cosA=—-

币32后-9

cosBcosC---------=-----------

6412

21.设G为ABC的重心，过G作直线/分别交线段A民AC（不与端点重合）于P,Q.若

AP=AAB,AQ=/JAC.

（1）求;+5的值;

（2）求4•〃的取值范围.

【答案】（1）<+，=3；（2）Mb

【分析】（1）连结AG并延长交8C于M,则M是BC的中点，设AB=b,AC=c,根据

AP=AAB=AbyAQ=pAC=pic,用b,c表示PQ,PG，再由P，G,Q三点共线求解;

几21

（2）由（1）得到〃=三二40,1）,进而得到想=豆二［=-i—3,利用二次函数的性质求解.

32TRE

【详解】（1）如图所示:

连结AG并延长交3C于M,则"是BC的中点,

设AB=b,AC=c,

11?1

则AM=5(A8+AC)=]S+C),AG=-AM=-(b+c)①

y.AP=AAB=Ab,AQ=p-AC=pc,②

/.PQ=AQ-AP=uc-Ab,PG=AG-AP=g(b+c)—46=(；—+,

P,G,。三点共线，故存在实数/,使PG=〃Q,

—%=—tA,

3

□"

消r得：1-32=-4,即!+'=3.

〃4〃

(2)%〃£(0,1),

13139113

其中彳=彳时，-"万+不有最大值彳，彳