2020中考常见最值问题总结归纳微专题一几何最值单线段最值单动点型含答案

2020

中考常见最值问题总结归纳

微专题一：单线段最值+单动点型

W

O

R

K

I

N

G

P

L

A

N

二次函数最值公式法

夹逼法

一元二次方程判别式法

函数最值

一元二次方程配方法

设X,构造函数法

利用一次函数增减性，确定最值

轨迹直线型

单动点型轨迹圆或圆弧型

轨迹不确定型

单线段最值利用等量代换转化

利用和差关系转化

双动点型-----------------

---------------利用勾股定理转化

利用三角形边角关系转化

几何最值两定一动

PA+PB型两定两动

一定两动

双线段最值胡不归模型

PA+K*PB型

阿氏圆模型

同侧差值最大

PA-PA型------------

异侧差值最大

三线段最值费马点模型

微专题一：单线段最值+单动点型

类型一：动点轨迹一直线型

考法指导

动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

(1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值

(2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定

①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定

直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点

的轨迹为直线。

【典例精析】

例题1.(全国初三单元测试)如图，矩形为BCD中，AB=4,8C=6,点P是矩形

内一动点，旦S"AB=SAPCD，则PC+尸。的最小值为.

2713

【详解】

••1ABCD为矩形，

/.AB=DC

又,S.PAB-S-PCD

••・点P到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AD垂直平分线的上,

连接ZC,交上W与点P,此时尸C+P。的值最小，

且/c+。。=zc=IAB?+=J42+62=疸=2万

故2万

【针对训练】

1.（湖北中考真题试卷）如图，等腰R3ABC中，斜边AB的长为2,O为AB的中点，P

为AC边上的动点，OQ_LOP交BC于点Q,M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C

时，点M所经过的路线长为（）

D.2

C

【详解】连接0C,作PE_LAB于E,MH_LAB于H,QF_LAB于F,如图,

VAACB为到等腰直角三角形，

；.AC=BC=也AB=加,ZA=ZB=45°,

2

为AB的中点，

AOCIAB,0C平分NACB,OC=OA=OB=1,

.,.ZOCB=45°,

VZPOQ=90°,ZCOA=90°,

.,,ZAOP=ZCOQ,

在RtAAOP和ACOQ中

ZA=ZOCQ

<AOCO,

NAOP=NCOQ

：.RtAAOP^ACOQ,

；.AP=CQ,

易得AAPE和ABFQ都为等腰直角三角形，

APE=_AP=—CQ,QF=—BQ,

222

.,.PE+QF=—(CQ+BQ)=2^BC=—x-s/2=l>

222

VM点为PQ的中点，

/.MH为梯形PEFQ的中位线,

；.MH=；(PE+QF)=-

即点M到AB的距离为工,

2

而CO=1,

・,•点M的运动路线为4ABC的中位线，

，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=工AB=1,

2

故选C.

2.（2017•江苏中考真题试卷）如图，在平面内，线段43=6,尸为线段N8上的动点，三角

形纸片CCE的边CD所在的直线与线段N8垂直相交于点P,且满足PC=H.若点尸沿

48方向从点N运动到点8,则点E运动的路径长为.

672.

【详解】

解：如图，由题意可知点C运动的路径为线段XC',点E运动的路径为EF,由平移的性质

可知在RtA4BU中，易知48=8。=6,43c=90。，Z.EE'=AC'=762+62=6>/2>

故60.

3.如图，等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时针

旋转60。得到线段DE,连结BE.

(1)若点D在AB边上(不与A,B重合)请依题意补全图并证明AD=BE；

(2)连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

(1)见解析；(2)2疗

【详解】

解：(1)补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下:

AABC是等边三角形，

；.AB=BC=AC,ZA=ZB=60",

由旋转的性质得：ZACB=ZDCE=60°,CD=CE,

NACD=NBCE,

.,.△ACD^ABCE(SAS),

；.AD=BE.

c

//\^7E

ADB

图1

(2)如图2,过点A作AFLEB交EB延长线于点F.

VAACD^ABCE,

AZCBE=ZA=60°,

.•.点E的运动轨迹是直线BE,

根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小,

此时CD=CE=CF,

VZACB=ZCBE=60",

，AC〃EF,

VAF±BE,

Z.AF1AC,

在RtAACF中，

•••CF=^AC2+AF2=yJ42+(2V3)2=2V7，

.•.CD=CF=2"

类型二：动点轨迹一圆或圆弧型

考法指导

动点的轨迹为定圆时，可利用：”一定点与圆上的动点距离最大值为定点

到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求

解。

确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：

(1)动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。

(2)当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运

用如下；

①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形

②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形

【典例精析】

例题1.如图，点。在半圆。上，半径06=5,/。=4,点C在弧8。上移动，连接ZC,

作DH上4C,垂足为“，连接8”,点。在移动的过程中，8〃的最小值是.

2722-2

【详解】

如图，设AD的中点为点E,则E/=£Z）=L/O=2_X4=2

22

由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上

由点与圆的位置关系得：连接BE,与圆E交于点H,则此时3〃取得最小值，EH=2

连接BD

•••AB为半圆0的直径

/.ZADB=90。

：.BD=ylAB2-AD2=7（5+5）2-42=2历

BE=y/BD2+ED2=7（2V21）2+22=2叵

:.BH=BE-EH=2y[22-2

故2岳-2.

【针对训练】

1.（江阴市）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=4,在长方形的内部以CD边为斜边任意作

RtACDE,连接AE,则线段AE长的最小值是•

2

详解：如图，点E在以点F为圆心，。尸为半径的圆上运动，当A,E,F三点共线时,

AE值最小，DF=1x6=3,在长方形ABCD中，AD=BC=4,由勾股定理得：

2

AF=y/AD2+DF2=y/42+32=5-

\'EF=-CD=-X6=3,：.AE=AF-EF=5-3=2,即线段AE长的最小值是2.

22

故答案为2.

2.（•陕西省中考模拟）如图，在矩形Z5C。中，AB=4,AD=6,E是N5边的中点，尸是

线段8c上的动点，将AE5尸沿E尸所在直线折叠得到AE8,尸，连接"0,则外。的最小

值是.

2V10-2.

【详解】

如图所示点9在以E为圆心EZ为半径的圆上运动，当。、B\E共线时，的值最小,

根据折叠的性质，4EBF冬/XEB'F,:.NB=NEB'F,EB'=EB.

是Z8边的中点，AB=4,：.AE=EB'=2.

"：AD=6,.•.£>£=用+22=2而,二87>2而一2.

故答案为2jfd-2.

3.（•湖南省）如图，RtaNBC中，ABLBC,AB=6,BC=4,P是△N6C内部的

一个动点，且满足NP/B+NP8/=90",则线段CP长的最小值为.

2：

【详解】

VZPAB+ZPBA=90°

,ZAPB=90°

...点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）

设以AB为直径的圆心为点。，如图

A

接0C,交。。于点P,此时的PC最短

VAB=6,

A0B=3

BC=4

：・OC=4OB2+BC2=732+42=5

PC=5-3=2

4.（河南省）如图，在RtA48C中，ZC=90\AC=4,BC=3,点。是AB的三等分

点，半圆。与AC相切，M,N分别是BC与半圆弧上的动点，则/WN的最小值和最大值之

和是（）

A.5B.6C.7D.8

B

【详解】

如图，设。。与AC相切于点D,连接。。，作。尸，8c垂足为P交。。于F,

此时垂线段。P最短，PF最小值为。0-09，

VAC=4,BC=3,

：.AB=5

,/ZOPB=90°,

：.OP\\AC

•.•点。是AB的三等分点,

OPOB_2

(95=-x5=—

33AC~AB~3

OP=9

3

•••。。与AC相切于点D,

：.OD1AC,

：.ODIIBC,

.OD_0A

"BC-AS-3）

OD=1,

oS

.•./WN最小值为。尸—OR=2—1=/,

33

如图，当N在A8边上时，M与8重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长,

口一，10,13

MN最大值=---F1=一,

33

513,

一+—=6,

33

：.MN长的最大值与最小值的和是6.

故选B.

5.（2017•贵州中考真题试卷）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2,AD=3,点E是A8

的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到△⑷EE,则⑷。

的长的最小值是（）

B

V13

C.V13-1D.Vio-i

【详解】

以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A'在线段CE上时，A'C的长取最小值,

如图所示，

根据折叠可知：AE=AE=』AB=1.

2

在RSBCE中，BE=」AB=1,BC=3,/B=90°，

2

22

CE=VBE+BC=Vio，

AC的最小值=CE—A'E=—1.

故选D.

6.（山东省中考模拟）如图，在Rt/XABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2y/3,A/lDC

与AABC关于AC对

称，点E、F分别是边DC、8c上的任意一点，且DE=CF,BE.DF相交于点P,则CP的最

小值为（）

A.1B.V3C.jD.2

D

【详解】

连接AD,因为NACB=30°,所以NBCD=60°,

因为CB=CD,所以aCBD是等边三角形，

所以BD=DC.

因为。E=CF,NEDB=NFCD=60°,

所以△ED8丝所以NEBO=NFDC,

因为/FDC+NBDF=60。，

所以NEBD+N8DF=60°,所以N8PD=120°,

所以点P在以A为圆心，4。为半径的弧BD上，

直角△ABC中，NACB=30。，BC=2y/3,所以AB=2,AC=4,

所以AP=2.

当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC-AP=4-2=2.

故选D.

7.(2017•四川中考真题试卷)如图，在。O中，直径CD垂直于不过圆心。的弦AB,垂足

为点N,连接AC,点E在AB上，且AE=CE.

(1)求证：AC2=AE*AB；

(2)过点B作。。的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等，并说明理由;

(3)设。O半径为4,点N为OC中点，点Q在。。上，求线段PQ的最小

(1)证明见解析；(2)PB=PE；(3)代历T2

3

【详解】

(1)如图1,连接BC,：CD为。。的直径，AB_LCD,.,.且c=q0，•,♦/A=NABC,VEC=AE,

ACAE,

AZA=ZACE,ZABC=ZACE,VZA=ZA,AAAEC^AACB,/.——=——,AAC2=AE«AB；

ABAC

(2)PB=PE,理由是：

如图2,连接OB,：PB为。。的切线，.•.OBJ_PB,，/OBP=90。，/.ZPBN+ZOBN=90°,

VZOBN+ZCOB=90\AZPBN=ZCOB,VZPEB=ZA+ZACE=2ZA,ZCOB=2ZA,

AZPEB=ZCOB,AZPEB=ZPBN,；.PB=PE；

(3)如图3,：N为OC的中点，；.ON=loC=loB,RtZ\OBN中，ZOBN=30°,AZCOB=60°,

22

：OC=OB,.•.△OCB为等边三角形，：Q为。。任意一点，连接PQ、0Q,因为0Q为半径，

是定值4,贝ijPQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、。三点共线时，PQ最小，；.Q为0P

与。。的交点时，PQ最小，ZA=-ZCOB=30°,.,.ZPEB=2ZA=60",ZABP=900-30°=60°,

2

.♦.△PBE是等边三角形，RtZXOBN中，BN="2一=2g，，AB=2BN=4出，设AE=x,则

CE=x,EN=2招-x,RtZ\CNE中，，=22十(2/-力2,X二生

3

ABE=PB=,RtZ\OPB中，OP=Jpg，。、=

.“Q.号一4二真士,则线段PQ的最小值是真士.

A

图1图2图3

8.(2017•浙江中考真题试卷)如图，过抛物线上一点A作X轴的平行线，交

4

抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为一2.

(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；

(2)在AB上任取一点P,连结。P,作点C关于直线OP的对称点D；

①连结BD,求BD的最小值；

②当点D落在抛物线的对称轴上，且在工轴上方时，求直线PD的函数表达

A95

(l)x=4；B(10,5).(2)(1)5-J5-5-②丫=--x+---

33

【详解】

-2

(1)由题意A(-2,5),对称轴x=-f=4,

2x-

4

,:A、B关于对称轴对称,

AB(10,5).

(2)①如图1中,

由题意点D在以。为圆心0C为半径的圆上，

...当。、D、B共线时，BD的最小值=0B-。。=依+102-5=56-5.

②如图2中，

图2

当点D在对称轴上时，在RtZXODE中，OD=OC=5,OE=4,

•'-DE=7C!Z52-OE2=J52—个=3,

...点D的坐标为(4,3).

设PC=PD=x,在RtaPDK中，x2=(4-x)2+22,

5

x=—

2

5

：.P（一，5）,

2

49R

直线PD的解析式为y=--x+—.

33

类型三：动点轨迹一不确定型

考法指导

动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，

(1)利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

(2)在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建

全等图形进一步转化求最值。

【典例精析】

例题1.（■如皋市）如图.已知。。的半径为3,0A=8,点P为0。上一动点.以胡为边

作等边4PAM,则线段0M的长的最大值为（）

A.9B.11C.12D.14

B

【详解】

解：如图，以0P为边向下作等边△POH,连接AH,

H

VAPOH,Z\PAM都是等边三角形，

，PH=PO,PA=PM,ZPHO=ZAPM=60",

AZHPA=ZOPM,

.♦.△HPA且△OPM(SAS),

，AH=OM,

VAH<OH+AO,B|JAH<11,

AAH的最大值为11,

则0M的最大值为11.

故选B.

【针对训练】

技法1:借助直角三角形斜边上的中线

1.（2014•全国课时练习）如图，在AABC中，NC=90。，AC=4,BC=2,点A、C分别在X轴、

y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最

大距离是（）

A.6B.2瓜C.2V5D.272+2

D

解：如图，取CA的中点D,连接OD、BD,

贝ljOD=CD=,AC=/x4=2,

由勾股定理得，BD=722+22=2V2>

当0、D、B三点共线时点B到原点的距离最大,

所以，点B到原点的最大距离是2+2版.

故答案为2+2

B

技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

2.（山东省初二期末）如图，已知等边三角形ABC边长为26,两顶点A、B分别在平面

直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接。C,则线段0C长

的最小值是（）

A.73-1B.3一GC.3D.73

B

【详解】

解：如图所示：过点C作CEJ_AB于点E,连接0E,

,*'/\ABC是等边二角形，

ACE=ACxsin600=2-Jix—=3>AE=BE,

2

VZAOB=90°,

：.E0=；AB=5

.".EC-OE>OC,

当点C,O,E在一条直线上，此时。C最短,

故。C的最小值为：OC=CE-£0=3—也

故选B.

3.（三明初三期中）如图，ZMON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边。M、ON上,

当B在边ON上运动时，A随之在0M上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4,

BC=2.运动过程中点D到点。的最大距离是.

272+2

【详解】

如图，取AB的中点E,连接OE、DE、0D,

VOD<OE+DE,

.•.当0、D、E三点共线时，点D到点。的距离最大,

此时，VAB=4,BC=2,

1

.4.0E=AE=-AB=2,

2

DE=yjAD2+AE2=A/22+22=2V2，

，0D的最大值为：2&+2,

故答案为2a+2.

4.（•南昌初二期末）如图，在△ABC中，a4c8=90°,NC/8=30。，AB=6,以线段

AB为边向外作等边△ZB。，点£是线段的中点，连结CE并延长交线段力。于点尸.

⑴求证：四边形8C泥。为平行四边形；

⑵求平行四边形8CF。的面积；

(3)如图，分别作射线CW,CN,如图中的两个顶点4,8分别在射线CN,CM

上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD的最大长度.

⑴证明见解析；⑵9百：⑶3+3JJ.

【详解】

⑴在AABC中，NACB=90°,^CAB=30°,.-.^ABC=60o,

在等边△ABD中，NBAD=60°,.•./BAD=/ABC=60°,

•.•£为人8的中点，；.人£=8£,

又NAEF=/BEC,

..△AEF=ABEC,

在AABC中，NACB=90°,E为AB的中点，；.CE=LAB,BE=-AB,

22

.-.CE=AE,.•.，EAC=/ECA=30。，，/BCE=/EBC=60。，

又•••AAEF名ABEC,/AFE=ZBCE=60°,

又/D=60°，:./AFE=/D=60°,

FC||BD,

又♦.•/BAD=/ABC=60°,.^.AD||BC,即FD||BC,

四边形BCFD是平行四边形;

(2)在RMABC中，•.•/BAC=30°,AB=6,

BC=—AB=3，

2

•*-AC=y/AB2-BC2=V62-32=3百，

S平行四边形BCFD=3Gx3=96；

⑶取AB的中点G,连结CG,DG,CD

CDWCG+DG,

CD的最大长度=CG+DG=3+373.

5.（河北省初三期末）如图，在放A48c中，ZACB=90°,将A48C绕顶点。逆时针旋

转得到A/l'S'C,M是BC的中点，N是⑷夕的中点，连接版V,若8c=4,=60。，

则线段MN的最大值为（）

.4'

A.4B.8c.4gD.6

D

【详解】

连接CN,

•.•将A48C绕顶点。逆时针旋转得到ZU'B'C,

4'C6'=4c8=90°,B'C=BC=4,NA'B'C=NABC=60°,

4'=30。，⑷8'=8,

：N是⑷6'的中点，

.\CN=-A'B'=4,

2

;在ACMN中，MNCCM+CN,当且仅当M,C,N三点共线时，MN=CM+CN=6,

线段MN的最大值为6.

故选D.

技法3：借助构建全等图形

6.（•广东中考模拟）如图，在aABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=5,点P是AC上的

动点，连接BP,以BP为边作等边△BPQ,连接CQ,则点P在运动过程中，线段CQ长度的

最小值是.

5

4,

【详解】

解：如图，取AB的中点E,连接CE,PE.

VZACB=90°,ZA=30°,

AZCBE=60°,

VBE=AE,

ACE=BE=AE,

ABCE是等边三角形,

.・・BC=BE,

VZPBQ=ZCBE=60°,

.ZQBC=ZPBE,

VQB=PB,CB=EB,

.,.△QBC^APBE（SAS）,

；.QC=PE,

.•.当EPLAC时，QC的值最小，

在RtZ\AEP中，；AEW，ZA=30",

Z.PE=-AE=-,

24

，CQ的最小值为今

故？

7.（•福建省初二期中）如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一

个动点，连结MB,将线段B/W绕点B逆时针旋转60。得到BN,连结HN.则在点M运动过

程中，线段"N长度的最小值是（）

A.6B.3D.1.5

B

【详解】

解：如图，取BC的中点G,连接MG,

M

AHB

N

•••旋转角为60。,

AZMBH+ZHBN=60°,

又,:ZMBH+ZMBC=ZABC=60°,

AZHBN=ZGBM,

VCH是等边AABC的对称轴，

1

，HB=-AB,

2

；.HB=BG,

又：MB旋转到BN,

，BM=BN,

在△M