2021-2022学年上海市普陀区高二年级上册学期10月月考数学试题含答案

2021-2022学年上海市普陀区高二上学期10月月考数学试题

一、填空题

1.三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面的个数是

【答案】1个或3个

【分析】根据平面的性质和公理即可求解.

【详解】三条直线两两相交，

若三条直线交于同一点，则这三条直线确定的平面的个数是1个或3个，

若三条直线两两相交于三个不同的点，则这三条直线确定1个平面.

综上，这三条直线所确定的平面的个数为1个或3个.

故答案为：1个或3个.

2.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是

【答案】相交或异面

【分析】分为“,共面和不共面，可确定两种位置关系.

【详解】若"，'为异面直线，aUc

当友,共面时，"c相交；当瓦c不共面时，瓦c异面

故答案为相交或异面

【点睛】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，属于基础题.

3.已知上海地处东经120°52'至122。12,则上海所辖区域的经线对应的两半平面所成的二面角的大

小是

【答案】3.

【分析】根据经线的定义，可以直接得答案.

【详解】解：根据经线的定义可得经线对应的两半平面所成的二面角的大小为：122。12'/20。52'=

1°20\

故答为：3.

4.两个球的体积之比为8：27,则这两个球的表面积之比为.

【答案】」9

4乃R3272442_4

【详解】试题分析：设两球半径分别为八R,由3万可得万一3,所以4万斤一§.即两球

4

的表面积之比为a.

【解析】球的表面积，体积公式.

5.已知某圆锥的底面圆的半径为血，若其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为

【答案】4兀

【分析】根据底面圆的半径求出圆锥的母线长，进而求出圆雉的侧面积.

【详解】设底面圆的半径为「，圆锥的母线长为人则加=2"=2&兀，因为其侧面展开图为一个

­=4兀

半圆，所以2.

故答案为：4兀

6.如图，以长方体的顶点。为坐标原点，过。的三条棱所在的直线为坐标轴，建

立空间直角坐标系，若。片的坐标为(4,3,2),则的坐标为

【答案】(-4,3,2)

【详解】如图所示，以长方体"sc。-44GA的顶点。为坐标原点,

过。的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

因为期的坐标为(432),所以"(4,0,0),C(0,3,2),

所以"G=(-4,3,2)

7.己知/,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且/C'BC，"C=8C=1,则三棱锥

的体积为.

——41

【答案】12##12

【分析】作出直观图，根据几何关系求出球心到平面48c的距离即可求解.

【详解】•••”C18C,NC=8C=1,.../BC为等腰直角三角形，...28=正，

V2

则A/BC外接圆圆心是48中点半径为2,

吟声塞

又球的半径为08=1,设。到平面48C的距离为"=°4,则VI2J2,

@"BC=；S“8c.d=；xgxlxlx*=*

故答案为：12.

8.如图，圆锥形容器的高为“，圆锥内水面的高为々，且若将圆锥倒置，水面高为色,

则为等于.

V19,

------h

【答案】3

【分析】由圆锥的体积公式列式求解

V=—nr2h--nr'h'x(―)3=—7tr2/zx—

【详解】设容器底面半径为厂，则水的体积为333327,

V=—itr2hx(—)3

倒置后水的体积3h,

h/h

解得3

叵h

故答案为：3

9.如图，458是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,

再沿虚线折起，得4民仁。四个点重合于图中的点尸，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，

瓦尸在X8上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设ZE=k8=xcm.若要使包装

【答案】15cm

【分析】利用x可分别表示出包装盒侧面高和底边长，进而将侧面积表示为关于x的二次函数，由

二次函数性质可得结果.

【详解】4E=F8=xcm,^5=60cm,=(60-2x)cm

又阴影部分为等腰直角三角形，

—(60-2X)=(30A/2-

二包装盒侧面高为2Vr,

由勾股定理得：包装盒底边长为近xcm,

…入，-5=4(30>/2-y[2x~\y/2x=-8x2+240x

•.•包装盒侧面积I),

x=--=^=15(cm)

・••当76’时，包装盒侧面积取得最大值.

故答案为：15cm.

10.如图，在正方体"88-4AG"中，点尸在线段4c上运动，异面直线8P与"。所成的角为

则夕的最小值为

【答案】30”

【分析】设正方体边长为1,如图所示：连接8G,PG,4B,根据对称性知：PB=PCt=m

PBG—,V2正〈近

计算,2m2,得到答案.

【详解】设正方体边长为1,如图所示：连接PC',A'B,根据对称性知：PB=Pg=m

PR—近

在MA48c中，BC=1,48=应，4C=V^,当PB'/C时，根据等面积法一々"，

易知ADJIBC、,故ZPBC,为异面直线BP与g所成的角,

nr+2-苏旦

2y]lm2m2,故。430°

故答案为：30°.

【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

11.如图，在棱长为。的正方体48cA中，P,。分别是正方形用的中心,

R在线段8。上，DR=3RB,则过点P，Q，R的正方体的截面的面积是

【答案】2

【分析】根据题意，作出截面图形，进而求解即可.

【详解】取月8中点E,8c中点F,8c中点G,4片中点”,

EF=—a

因为DR=3RB,所以截面为矩形EFG”,且2,EH=a,

夜2

所以截面的面积是2".

纥2

故答案为：2.

12.如图，直四棱柱'BC。-48cA中，底面/8CZ),四边形/88为梯形，AD//BC,

且/D=2BC,过4,C,。三点的平面记为a,与平面a的交点为。.则此四棱柱被平面

【分析】根据已知得出平面08cli平面42%,即可得到℃||/Q,则A08C~A4/C,则点。为

明的中点，连接。/，QD,设44|=〃，梯形Z8CZ）的高为“，BC=a,则ZD=2”，将四棱柱

被平面a分成上下两部分的体积分别为4，4,计算出％-4"。与七-"Be。，即可得出通过

4=、的一小一4求出乙，即可得出答案.

【详解】•••直四棱柱"8C0-4AGA中，四边形N8CD为梯形，AD//BC,

平面QBC||平面

平面4co与平面°8C、平面4D）的交线平行，

.・.QC//A、D

..△QBCfA、AD

.BQBQBC1

一网一AA,~~AD~2

:Q为BB、的中点，

如图，连接°”，QD,设“4=〃，梯形"CO的高为”,

四棱柱被平面a分成上下两部分的体积分别为乙，彳,

设8C=a,贝ijZ£)=2a,

则%-4/o=1X/x2ax6xd=ga/zd

v1a+2a11

VQ-ABCD=尸一-xdx-h=-ahd

一，

7

••4=^A-AyAD+%-d8C£)二;a'd

又V&BGD「ABCD=qahd

37Ji

嘘=/4/£D1TBCD一4二-ahd--ahd=—aW

UJ

则此四棱柱被平面a分成上、下两部分的体积之比47

二、单选题

13.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是（）

①角的水平放置的直观图一定是角；

②相等的角在直观图中仍相等；

③相等的线段在直观图中仍然相等；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据斜二测画法的概念逐项分析即得.

【详解】对于①，由斜二测画法规则可知，角的水平放置的直观图一定是角，故①正确；

对于②，由斜二测画法可知，直角可以变为45°或135。，故②错误；

对于③，由斜二测画法可知，平行于x轴的线段长度不变，平行于了轴的线段的长度变为原来的一

半，故③错误；

对于④，由斜二测画法可知，两条平行线段在直观图中仍是平行线段，故④正确；

所以正确的个数是2.

故选：C.

14.设加，"是空间两条不同的直线，a,"是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若加//a,。，a110,则加〃

②若。i。，m工/3,,则〃?//a；

③若mLnftnLaa///?,则〃//£；

④若a’/?,"[1〃=/,mila,加中，则"其中正确的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】C

【解析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.

【详解】解：①：机、〃也可能相交或异面，故①错

②：因为,所以sua或加//a,

因为机Na,所以"〃/。，故②对

③：〃//月或"U〃，故③错

④：如图

因为£(~14=/,在内a过点E作直线/的垂线a,

则直线川

又因为用//a,设经过切和a相交的平面与a交于直线6,则机/"

又mLl,所以b'/

因为al/,bll,bua,aua

所以b/iai/nj,所以加，力，故④对.

故选：C

【点睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.

15.如图所示，四棱锥尸一/8。的底面为正方形，侧面尸/。为等边三角形，且侧面底面

/8CO,点M在正方形“8c。内运动，且满足MP=MC,则点”在正方形/58内的轨迹一定是

M.

AB

【答案】B

【分析】先找出符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面

/C的交线，即可求得点M的轨迹

【详解】解：根据题意，可知=则点3符合“点”在正方形"88内的一个动点，且满足

MP=MC，，,

设的中点为E,

因为平面产/。,平面/8C。，平面PNDc平面=,AD1AB,Z8u平面/SCO,所以

力81平面P4。，

因为4Pu平面尸/。，所以N8J./1P,

PA=CB

■AE=BE

根据题目条件可得"""=ZCBE=9°°,所以和MBE全等，

所以PE=CE,点E也符合“点〃在正方形/BCQ内的一个动点，且满足MP="C，，,

故动点M的轨迹肯定过点。和点E,

而M到点P到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，

线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，

所以M的轨迹为线段OE,

故选：B

16.平面a过正方体48co-MUGA的顶点A,a〃平面CW",a口平面488=/«,aC平面

"B出=〃,则加，〃所成角的正弦值为（）

亚历乖,\

A.2B.2c.3D.3

【答案】A

【分析】根据面面平行证明线线平行，利用几何法求得线线角.

［详解］由a〃平面CBQi,aA平面ABCD=m,平面CBQc平面gCR=BR,平面

481G4〃平面48CO,

则"”/8Q

同理〃〃CR,

所以N84即为直线机，〃所成角，

又由正方体可知是正三角形，所以NCR4=60。,

sin60°=

则加，〃所成角的正弦值为2,

故选：A.

三、解答题

17.试写出直线与平面垂直的性质定理，画出图形并证明.（证明过程包括已知，求证和证明）

【答案】答案见解析

【分析】利用反证法证明即可.

【详解】直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.

已知：。、力是两条直线，且a'a,b'a.

求证：allb.

b

证明：用反证法.

设。与b不平行，直线b与平面a的交点为8.

过点8作直线〃，使得6'%.由直线人与〃确定的平面记为厂，

设平面方与平面a的交线为/.因为a'a,bVa,所以a'/,bll.

由6'〃。，又可得出6」/.直线人与6'都在平面/上，都过点8,

且都垂直于直线/,

这与“在同一个平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.

由此得到a,/h.

18.如图，已知点P在圆柱°°,的底面圆。上，为圆。的直径，圆柱的表面积为20兀,

04=2,40尸=120°.

(1)求异面直线“也与4P所成角的大小；(结果用反三角函数值表示)

(2)由点力拉一根细绳绕圆柱侧面到达用，求绳长的最小值.

2百

arccos---

【答案】⑴5

(2),9+4兀2

【分析】(1)由已知，延长2°交圆于C,连接8C,从而得到四边形/P8C为平行四边形，根据

AP//BC,将异面直线/由与HP所成角转化为48与8c所成角，然后利用余弦定理可知接求解;

（2）将圆柱展开，即可得到矩形，因此点4到达与的最小值即为展开举行的对角线长度，直接求

解即可.

［详解］（1）-------P

已知圆柱。。的表面积为200，则圆柱的高为3,

延长2°交圆于C,连接8C,

因为四边形/P8C的对角线互相平行，所以/P8C为平行四边形,

则AP//BC,异面直线与Ap所成角即4B与BC所成角

在△4C8中，4c=而，CB=26，48=5；

AF+CB2-AQ

cos/A]BC=

2A】BCB

ZA,BC=arccos----

所以5

即异面直线4”与/P所成角为5.

（2）将圆柱的侧面沿母线"吊剪开，并展开在一个平面上，

求得绳长的最小值为圆柱展开图所成矩形的对角线，

即J9+4兀2

19.某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面Z3C。是矩形，

48=16米，/。=4米，DE=4E=BF=CF,腰梁/E、BF、CF、分别与相交的底梁所成角均为

60°.

E

（1）请指出所有互为异面且相互垂直的“梁”，并说明理由；

（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米的粮食？

【答案】（1）所以腰梁8尸与。E、/E与C尸互为异面且相互垂直的，，梁，，，理由见解析.

176&

⑵3

【分析】（1）根据异面直线所成角的概念，过点、E作EK"FB交4B于点、K,则ZDEK为异面直线

OE于心所成角，然后通过求解三角形即可得到。后，8尸，同理可得/E_LC/.

（2）要求原多面体的体积，可以把原多面体分割成两个全等的四棱锥和一个直棱柱，然后利用柱

体和锥体的体积即可得出答案.

【详解】（1）如下图，过点、E作EK〃FB交4B于点K,则/。匹/为异面直线。£于F8所成角，

因为DE=BF=4,E4糜与所成角均为60。，；.AK=4,DK=4g,在三角形。EK中，因

为。炉+EK?=平+42=32=。长2,所以ZDEK=90。，即。EJ.8尸，同理NE_LC尸所以腰梁

BF与DE、/E与CE互为异面且相互垂直的“梁，，.

（2）如上图，过点E分别作于点“，ENLCD于息N,连接MN,则/平面包团V,

因为48u平面/8CQ,所以平面N8C。/平面EMN,过点E作E。，于点。，则£°_1■平面

ABCD,由题意得，AE=DE=AD=4,AM=DN=4cos60。=2,EM=EN=273（所以。为

MN中点、,所以E0=2四，即四棱锥的高为2夜，同理，再过点F分别作于

点、P,尸°，8于点0,连接尸2,原多面体被分割成两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且

"尸=16-2-2=12,所以多面体的体积为:

1117AF)

展2VF.-AMND+%F-MNE=2X-X2X4X2A/2+-X4X272X12=-^―

176亚

所以该粮仓可储存3立方米的粮食.

20.图1是由矩形ZOE8,RtA48C和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中

AB=\,BE=BF=2,4尸8c=60。，将其沿8c折起使得■与8尸重合，连结。G,如图2.

(1)证明：图2中的/,C,G,。四点共面，且平面NBC,平面8CGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

【答案】⑴见详解；(2)301.

【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形"8EO,RtA/BC和菱形BfGC内部的夹角，所以

AD//BE,8尸〃CG依然成立，又因E和尸粘在一起，所以得证.因为是平面8CGE垂线，所

以易证.(2)在图中找到8-CG-Z对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B关于GC的垂线，发

现此垂足与A的连线也垂直于CG.按照此思路即证.

【详解】(1)证：；/D//8E,BFHCG,又因为E和F粘在一起.

:.ADiICG,A,C,G,D四点共面.

又•；ABA.BE,ABLBC

平面BCGE,,.T8u平面ABC,，平面ABC，平面BCGE,得证.

(2)过B作8"GC延长线于H,连结AH,因为AB，平面BCGE,所以18LGC

而又8"J_GC,故GC_L平面所以又因为8771GC所以是二面角

8-CG-1的平面角，而在ABHC中NBHC=90。,又因为NF8C=60。故N8C”=60。，所以

BH=BCsin60=6

tanNBHA=^=3=@

而在48〃中N/8，=90°,BHV33即二面角8-CG-Z的度数为30°.

【点睛】很新颖的立体儿何考题.首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变

的.再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法.最

后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力.

21.已知点尸是边长为2的菱形/8CO所在平面外一点，且点P在底面48CO上的射影是ZC与

8。的交点°,已知N8/C=60。，△PD8是等边三角形.

(2)求点。到平面P8C的距离；

(3)若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线尸£与平面PBC所成的角最大？求出最大

角，并说明点E此时所在的位置.

【答案】(1)证明见解析；

2而

⑵5

arcsinl1

(3)5,E在线段X。上靠近。点的4