2021-2022学年天津市八年级（下）期中数学试题及答案解析

2021-2022学年天津市北京师大静海附属学校八年级（下）期中

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.-V2B.>/12C.D.Va7

2.下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.V2xV3=V6C.V8=4V2D.V4—V2=V2

3.在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

4.如图，在A/BC中，4D1BC于点。，若AB=17,BD=15,DC=6,贝lb4c的长为（）

A.11B.10C.9D.8

5.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）

A.a2=3,b2=4,c2=5

B.a：b：c=3：4：5

C.Z.A+乙B=zC

D.U：乙B：zC=1：2：3

6.如图，点4表示的实数是（）

A.V3B.-V3C.V5D.-V5

7.如图，在口ABC。中，=90。，4c=10cm,BD=6cm,贝ijAD的长为（）

A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm

8.如图，圆柱的高为8皿底面半径为M，一只蚂蚊从点4沿圆柱夕卜壁爬到点B处吃食,

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

9.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.梯形

10.已知四边形4BCD是平行四边形，在从①4B=BC,②乙4BC=90。，（3）AC=BD,

④AC1BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四

种选法，其中错误的是（）

A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④

11.如图，长方形4BCD中，4B=3,AD=9,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕

为EF,则AABE的面积为（）

A.6

B.8

C.10

D.12

12.如图，在矩形4BCD中，。为4C的中点，EF过。点且EF14C分别交DC于E交4B于E,

点G是AE的中点，且乙40G=30。，OE=1,则下列结论：（1）DC=3OG；（2）OG=（3）

1

s

-

四边形4ECF为菱形；（4）SA*E6四边•BCD,其中正确的个数为（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.二次根式右二V中字母x的取值范围是.

14.如图，菱形4BCD中，点E是4B的中点.AC=16cm,BD=12cm,则OE=cm.

15.已知直角三角形的两边的长分别是3和4,则第三边长为

16.如图，在正方形4BCD的外侧，作等边△DCE,则乙4EC的度数是

17.已知一2Vm<3,化简：J(m-3)2+|m+2|=

18.如图，在RtAABC中，^BAC=90°,S.BA=3,4c=4,点。是斜边BC上的一个动点,

过点D分别作DM于点M,DNLAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为.

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题8.0分）

计算:

(1)(1-75)(1+V5)+V2xV8;

+V24-rV3-

20.(本小题8.0分)

已知x=V5+l,y=V3—1)求下列各式的值：

(l)x2+2xy+y2；

(2)x2-y2.

21.(本小题10.0分)

如图，四边形4BCD中，已知4B=1,BC=2,DA=3,DC=2,且乙4BC=90。.求四边形4BCD

的面积.

22.(本小题10.0分)

如图5,四边形4BCD是菱形，对角线AC,BD相交于点0,且48=2.

(1)求菱形48CD的周长;

(2)若4C=2,求菱形4BC。的面积.

23.(本小题10.0分)

己知：如图，P是正方形4BCD内一点，在正方形48CD外有一点E,满足Z48E=NCBP,BE=

BP.

求证：⑴4CPB34AEB；

(2)PB1BE.

24.(本小题10.0分)

如图，在四边形2BCD中，4C与BD交于点0,AE=CF,BE=DF；AE1.BD,CF1BD,垂

足分别为E，F.

(1)求证：4ABE^4CDF；

(2)求证：AD=BC.

25.(本小题10.0分)

矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE,B4交于点F,连接AC,DF.

(1)求证：四边形4CDF是平行四边形；

(2)当C尸平分时，求证：BC=2CD.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：4、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；

8、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故8不符合题意；

C、被开方数含分母，故C不符合题意；

被开方数含能开得尽方的因数或因式，故。不符合题意；

故选：A.

检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数

不含能开得尽方的因数或因式.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了二次根式的加减、二次根式的化简、二次根式的乘除等知识，掌握运算法则是解答本

题的关键.

分别根据二次根式的加减法则、二次根式的化简方法、二次根式的乘法法则求解，然后选择正确

选项.

【解答】

解：4、鱼和声不是同类二次根式，不能合并，故错误；

B、V2xV3=V6，原式计算正确，故正确：

C、我=2近，原式计算错误，故错误；

。、V4—V2=2—V2,原式计算错误，故错误.

故选艮

3.【答案】C

【解析】解：4、应为两组对边平行的四边形是平行四边形；

8、有一个角是直角的四边形是矩形、直角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；

C、符合菱形定义；

。、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

故选：C.

要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，

从而得出正确选项.两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的四边形是矩形、直

角梯形、总之，只要有一个角是直角即可；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂

直平分且相等的四边形是正方形.

本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假区别.

4.【答案】B

【解析】解：•••11BC,

•­/.ADC=^ADB=90°.

vAB=17,BD=15,

AD=<AB2-BD2=8.

vDC=6.AD=8,

AC=y/AD2+CD2=10.

故选：B.

在△ABC中，ZDIBC于点。，得出△ABC和AADC是直角三角形；已知AB=17,BD=15,由

勾股定理得到4。的长度，再结合DC=6,利用勾股定理得到4c的长度.

本题侧重考查知识点的理解、应用能力.本题是一道求三角形边的题目，需结合直角三角形的勾

股定理进行求解.

5.【答案】A

【解析】解：4、3+4=7^5,利用勾股定理逆定理判定△ABC不为直角三角形，故此选项符合

题意；

B、32+42=52,根据勾股定理的逆定理可判断A4BC是直角三角形，故此选项不合题意；

C、根据三角形内角和定理可以计算出NC=90。，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；

D、根据三角形内角和定理可以计算出44=30。，ZB=60°,4c=90。，可判定△ABC不是直角

三角形，故此选项不合题意.

故选：A.

根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案.

此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果

三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

6.【答案】D

【解析】解：如图，0B=g？+了=花,

V0A=0B,

■-0A=V5>

二点4在数轴上表示的实数是-有.

故选。.

根据勾股定理可求得0A的长为遮，再根据点4在原点的左侧，从而得出点4所表示的数.

本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数.

7.【答案】A

【解析】解：,:四边形4BCD是平行四边形，AC=10cm,BD=6cm

■■OA=OC=^AC=5cm>OB=OD=；BD=3cm,

•••/.ODA=90°,

AD=y/OA2—OD2=4cm.

故选：A.

由平行四边形4BCD,根据平行四边形的对角线互相平分，可得。力=OC,OB=OD,又由NO/M=

90。，根据勾股定理，即可求得4。的长.

此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分,解题时还要注意勾股定理的应用.

8.【答案】C

【解析】解：底面圆周长为2口，底面半圆弧长为口，即半圆弧长

为：gx2兀x'=6(cm),展开得：

BC=8cm,AC=6cm,

根据勾股定理得：AB=V82+62=10(cm).

故选：C.

此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答.

此题考查的是平面展开-最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长

度，再利用勾股定理求解.

9.【答案】B

【解析】解：顺次连接矩形的各边中点，根据矩形的对角线相等和中位线定理可知所得的四边形

四边相等，所以是菱形.

故选:B.

根据菱形的定义：只需证明四边相等即可.

主要考查了中位线定理.要掌握：中位线平行且等于底边的一半.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形.

本题考查了正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角.

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.

【解答】

解：力、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩

形，所以平行四边形力BCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以

不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；

C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以

平行四边形2BCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；

。、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形,

所以平行四边形2BCC是正方形，正确，故本选项不符合题意.

故选：B.

II.【答案】A

【解析】解：；长方形折叠点B与点。重合，

•••BE=ED,

设4E=x,则ED=9-%,BE=9-x,

在RtAABE中，AB2+AE2=BE2,

即32+/=(9一为2,

解得x=4,

•••4E的长是4,

4BE的面积为：；AB-AE=jx3x4=6.

故选：A.

根据折叠的性质可得BE=ED,设4E=x,表示出BE=9-x,然后在RMABE中，利用勾股定

理列式计算即可得解.

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于4E的长的方程是解题的关

键.

12.【答案】B

【解析】解：,••EFL4C,G是4尸的中点，

:.AG=0G=GF,

・・・Z,OAF=乙AOG=30°,

在直角△ABC中，Z,CAB=30°,

:.BC=2AC=OC,设BC=a,AC—2a,AO—OC=a.

AE=~-(ifAB=y/3cifOG=-tz，

:.CD=AB=3OG,故①正确；

OG=^aHga=gBC,故②错误；

vZ.FCO=Z.EAO,UFO=(AEO,OA=OC,

•••△F0C*E04(44S),

・・.OE=OFf

又•,

・AO=OC,EFLACf

・•・四边形/FCE是菱形，故③正确;

SMOE==S^ABCD=A'=6心,

"SAAOE=渣矩形ABCD，故④正确.

故选：B.

根据条件，0G是直角AAOE斜边上的中线，且AFOC三AEOA,然后利用三角函数求得BC、4B以

及。4、0C之间的关系即可作出判断.

本题考查了矩形的性质以及菱形的判定，正确理解图形中NC4B=30°,从而确定BC、4B以及。4、

OC之间的关系是关键.

13.【答案】x<4

【解析】解：由题意得：4-x>0,

解得：x<4,

故答案为：x<4.

根据二次根式有意义的条件可得4-x>0,再解不等式即可.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.

14.【答案】5

【解析】解：•.•菱形ABCD中，AC,BD相交于点0,

・•・0A=OC,OB=OD,AC1BD,

•・•AC=16cm,BD=12cm,

：•OA=8cm,OD=6cm,

:.AD=10cm,

・・・点E是48的中点，

・•・OE=5cm,

故答案为：5.

由菱形/BCD中，AC,BC相交于点。，点E是4B的中点，利用菱形的性质得出力D的长，利用三角

形中位线的性质，可求得0E的长.

此题考查了菱形的性质以及三角形中位线的性质.注意掌握菱形的对角线互相平分、四条边都相

等定理的应用是解此题的关键.

15.【答案】5或夜

【解析】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：

第三边的长为：V42-32=V7;

②长为3、4的边都是直角边时：

第三边的长为：V42+32=5;

综上，第三边的长为：5或夕.

故答案为：5或⑺.

已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，

4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长.

此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所

以一定要分类讨论，以免漏解.

16.【答案】450

【解析】解：•.•四边形4BCD是正方形，

•••AD=CD,^ADC=90°.

•••△CDE是等边三角形，

•••Z.CDE=乙DEC=60°.

/.ADE=90°+60°=150°,

vAD=DE,

•••LDAE=^DEA=(180°-/.ADE')+2=15°,

•••AAEC=/.DEC-^AED=60。-15。=45°.

故答案为：45°.

根据正方形的性质得到4。=CD,^ADC=90。.根据等边三角形的性质得到“DE=乙DEC=60°.

求得N4DE=90°+60°=150°,求得N/ME=乙DEA=(180°-^ADE)+2=15°,于是得到结论.

本题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，求出N40E的度数是解题的关键.

17.【答案】5

【解析】解：-2<m<3,

•••y/(m-3)2+|m+2|=3—m+m+2

=5.

故答案为：5.

直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简，进而得出答案.

此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.

18.【答案】y

【解析】解：连接4D,

/.BAC=90°,且84=3,AC=4,

•••BC=y/BA2+AC2=5.

•••DMLAB,DNAC,

乙DMA=4DNA=Z.BAC=90°,

•••四边形DAMN是矩形，

:.MN=AD,

.•.当4。IBC时，4。的值最小，

此时，△48(7的面积=348*20=38。*47),

•••MN的最小值为£；

故答案为：

由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DAMN是矩形，可得MN=4D,根据垂线段最短和三角形

面积即可解决问题.

本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练

掌握基本知识，属于中考常考题型.

19.【答案】解：（1）（1一遍）（1+遮）

=1-5+4

=0；

(2)718-4出+旧+旧

=3V2-2V2+2V2

=3y/2-

【解析】(1)利用平方差公式进行运算，进行乘法运算，再算加减即可；

(2)先化简，进行除法运算，最后进行加减运算即可.

本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用.

20.【答案】解：(l)/+2xy+y2

=(x4-y)2

=(V3+1+V3-I)2

=(2V3)2

=12；

(2)x2—y2

=(x+y)(x-y)

=(V3+1+V3-1)x[V3+1-(V3-1)]

=2V3x2

=4V3.

【解析】(1)先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；

(2)先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可.

本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

21.【答案】解：v/.ABC=90°,AB=1,BC=2,

AC=>JAB2+BC2=Vl2+22=V5»

•・,DA=3,DC—2,

AC2+CD2=(V5)2+22=9,AD2=32=9,

AC2+CD2=心，

••.△4CD是直角三角形，

Z.ACD=90°,

•••四边形4BCD的面积=△4BC的面积+△ACD的面积

=^AB-BC+^AC-CD

=1xlx2+^xV5x2

=1+V5,

.•・四边形48CD的面积为1+V5.

【解析】先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=遮，然后再利用勾股定理的逆定理证明△ACD

是直角三角形，从而可得乙4C。=90。，最后根据四边形4BCD的面积=448(7的面积+ZMCD的面

积，进行计算即可解答.

本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的

关键.

22.【答案】解：(1)•.・四边形4BCD是菱形，AB=2,

BC=CD=AD=AB=2,

二菱形4BCD的周长=4AB=8；

(2)•••四边形48CD是菱形，

1

・・・4C1B。，OA=OC=^AC=1,

OB=7AB2一。小=V22-I2=V3，

BD=2OB=2V3,

.♦.形4BCD的面积=^ACxBD=1x2x2>/3=2娼.

【解析】(1)由菱形的四边相等即可求出其周长；

(2)利用勾股定理可求出08的长，得出B。的长，由菱形面积公式计算即可.

本题主要考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解

题的关键.

23.【答案】(1)证明：・.・正方形ABCD中，AB=BC,

在ACPB和A4EB中，

AB=CB

2.ABE=乙CBP,

BE=BP

CPB=LAEB-,

(2)证明：•.•正方形4BCD中，448c=90。，即NCBP+44BP=90。，

又•••/.CBP=乙ABE,

・・・Z.ABP+Z.ABE=90°,BPzPBE=90°,

・•・PB1BE.

【解析】(1)利用S