2021-2022学年山东省临沂市高一年级上册学期12月月考数学试题含答案

2021-2022学年山东省临沂市高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1.已知集合'=,8={1,25},则AuB=（）

A{1}B.{-1Q25}c{-1,0151口.{-1，012,5},

【答案】D

【分析】利用并集运算法则进行计算.

[详解]/U8={-l,0,l}U{l,2,5}={-l,0,l,2,5}

故选：D

y=A/1—X2H----r

2.函数1的定义域是（）

A.（-刈B.（T，0）U（0，l）c,[-l，0）U（0,l]D（0,1]

【答案】C

>0

【分析】函数定义域满足1父*°，求解即可

fl-x2>0

【详解】由题，函数定义域满足〔1工。，解得x«-l，°）U（O，l]

故选：C

3.已知命题P：3x>l,X2-4<0,则力是（）

A.>1,x2-4>0B.<1,x2-4<0

22

C.Vx<ltX-4>0DVX>1,X-4>0

【答案】D

【解析】根据命题的否定的定义写出命题的否定，然后判断.

【详解】命题P：3x>l,W-4<0的否定是：Vx>l,X2-4>0.

故选：D.

4.方程l^=4-2x的根所在的区间是（）

A.（叫B.。2）C.（2,3）D.0,4）

【答案】B

【分析】构造函数/G）=MX+2X-4,确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.

【详解】令，（x）=lnx+2x-4,显然/（x）=lnx+2x-4单调递增，

又因为/（1）=2-4=-2<0/（2）=ln2+4-4=ln2>0

由零点存在性定理可知：/5）=出'+2'-4的零点所在区间为（1，2）,

所以Inx=4-2x的根所在区间为（L2）

故选：B

5.1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法;

1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对

数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若5,=2,

lg2=0.3010,贝ijx的值约为（）

A.0.431B.0.430c.0-429D.2.322

【答案】A

【分析】由指对互化原则可知尤=bgs2,结合换底公式和对数运算性质计算即可.

,c1g21g2lg20.3010……

x=loe,2=-s—==——»---------«0.431

收5l-lg21-0.3010

【详解】由5、=2得：°2

故选：A.

/'（x）=X

6,函数'%+1的图像大致是（）

尸，

O\\___--------上

A.

A

0x

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负即可判断.

【详解】因为""）一",所以/（X）为奇函数，所以C错误；

当x>°时，所以A,D错误，B正确.

故选：B.

7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边

长分别为。，6c,三角形的面积S可由公式S=•二5求得，其中

P为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长

满足。+6=12,c=8,则此三角形面积的最大值为

A.4有B.4而C.8后D.8屏

【答案】C

【分析】由题意，p=10,s=j20（10-a）（10-b）,利用基本不等式，即可得出结论.

【详解】由题意，p=10,

=J10（10-a）（10-/?）（10-c）=^20（10-«）（10-/>）<而-1°二‘：0二'=旧

此三角形面积的最大值为8逐.

故选C.

【点睛】本题考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题.

8.已知函数"x）=3”,且函数g（x）的图像与/G）的图像关于对称，

函数eG）的图像与g（x）的图像关于X轴对称，设a~f[5）,

A.a<b<cB.b<c<ac.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】根据函数图像的对称关系可以得到g（x）,9（x）的解析式，代入后跟特殊值

0比较可得b最小，然后构造函数，利用特殊值和函数的单调性比较4，。的大小即可.

【详解】因为名卜）的图像与/G）的图像关于丁=工对称，所以g（x）=logsx,又因为

夕（X）的图像与且6）关于x轴对称，所以*卜）=一爪，0<"/（2）-3<\

*=g|-|=log3-<00<c=^|-|=-log3-=log32<l

⑵2.⑵2,所以6最小：

—=V3-=log23=2log,V3

a,c,

h，（A.2=xln2-2

构造右（式）=x_2bg2%,则xln2xln2,

当时，所以〃（X）在T°'In2）上单调递减，

2

因为0<ln2<l,所以京“，令》=2,得"2）=0,所以'3）>岫户。，

V3-21og,V3>0=i>V3>21og,A/3=>->-

ac，

又因为a>°,c>0,所以c>a,综上所述c>0>/

故选：D.

【点睛】比较对数、指数、累的大小的方法：

①利用指数函数、对数函数、黑函数的单调性比较大小;

②借助特殊值或其它的数值比较大小；

③根据两数之间的关系，构造函数来比较大小.

二、多选题

9.若。>6>°则（）

11

一<——

A.ac'>be'B.a-c>b-cc.2">2"D.ab

【答案】BCD

【分析】利用特殊值法可以排除A,利用不等式的基本性质可判断B正确，再利用函

数的单调性可判断CD正确.

【详解】对于A,当c=°时，ac2^bc\故A错误；

对于B,不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故B正确；

对于C,因为y=2'在R上单调递增，又a>b>0,故2">2〃，故C正确；

对于D,因为'=7在（°48）上单调递减，又a>b>0,故故D正确.

故选：BCD

10.下列不等式一定成立的是（）

X4+1.

X+-^2y[3B.丁"2

A.x

《堂4"

C.2D,若x<0,…，则XV

【答案】BC

【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.

3

X4--<0

【详解】对于A中，当时，x，所以A不正确:

X4+l21cI21C

~~^x-+—>2,x---=2

对于B中，由xxNx,

x——---->2

当且仅当X时，即》=±1时，等号成立，即X,所以B正确;

，2x2+y2x2+y2x2+y2(x+y)2

x-+y-=-----+---------->^+xy=~~—

对于C中，2222,当且仅当x=N时，等

号成立，所以C正确；

z>o^>0上+*库=2

对于D中，x<0,可得X,V,可得xyNxy,

当且仅当Xy时，即x=N时，等号成立，即XV,所以D不正确.

故选：BC.

\fa+aY,x>0/

/(%)=",、(a>0

11.若函数[3+(a-l)x,x<0且"")在R上为单调递增函数，则。的值

可以是()

2

A.3B.3C.6D,2

【答案】AD

【分析】由分段函数单调性可直接构造不等式组求得结果.

a>1

-a-1>0

【详解】；"x)在R上单调递增，'3-a+1,解得：a>2,

•••«的取值可以为选项中的3或2.

故选：AD.

12.已知/(X)为偶函数，且/(a)为奇函数，若则()

A.八3)=0B/(3)=/(5)C/(X+3)=/(X-1)D

/(x+2)+/(x+l)=l

【答案】ABC

【分析】A选项，根据题干条件得到/(r)=/(x)，/(T+1)=-/(X+I),利用赋值

法得到/⑴二°,〃3)=0,"5)=0,判断出AB选项，再推导出函数的周期为4,

故C正确；代入特殊值，判断D错误.

【详解】A选项，因为/G)为偶函数，所以/(-x)=/G),

因为/(x+1)为奇函数，所以/(-x+l)=-/(x+l),

令x=0得：/0)=-/(1),解得：/0)=°,所以/(-1)=/0)=°

令E得/3)一(2+)即〜(3)=。，所以/(»。，故A正确

B选项，令x=4得：/(-4+1)=-/(4+1)(即/(-3)=-/(5)

因为，(-3"/。)=。，则-/(力。，所以/(5)=。，所以心/⑸，故B正确

C选项,因为/(r)=/(x),所以/(X+3)=/(T-3),

因为/(r+l)=-/G+l),所以/(—x_2+l)=_/(x+2+i)

即/(*1)=-仆+3),所以/(x+3)=_/(r_i),

/(-x-3)=-/(-x-l)>所以/(-x+2_3)=-/(_x+2-l)

即=+所以/(_*_3)=/(_*+])

所以/㈤的周期为4,/G+3)=/(x-l),故c正确：

D选项，因为/(r+l)=-/(x+l),

所以令x=l得：/(°)=-/(2)=0,解得：/(2)=0,

令小+2)+仆)=】中…得：/(2)+外)=。+。叫故口错误

故选：ABC

三、填空题

(*1。&2=

13.

【答案】6-6

【分析】利用指数骞与对数运算即可求解.

19-3111

+嘀2=七+血83=-+-log88=-^-

【详解】

n

故答案为：7.

14.若“VxwR,/_加_2a>0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是

[答案](-8,-8]U[0,+OO)

【分析】写出命题的否命题，根据二次不等式有解问题，利用根的判别式列出不等式,

求出实数a的取值范围.

【详解】由题意得：*。eR,/-仆-2°40为真命题，

△=/+8“±0,解得：a-8]u[0,+<»）

故答案为：S，-8Moz）

15.已知函数/（X）=（2、T）+x"+1（〃>°且°*1）的图象恒过定点P,则点P的坐

标为____________

【答案】（1，2）

【分析】由/°）=2恒成立可得定点坐标.

【详解】当“1时，/0）=bg“l+l+l=2,

故答案为：。'2）.

16.若存在常数左和仙使得函数尸G）和GO）对其公共定义域上的任意实数x都满足:

F（x）2&+b和G（x）4h+b恒成立，则称此直线尸去+/,为尸（x）和G（x）的“隔离直

线”.已知函数WGeR）,g（x）=：（x>°）,若函数"x）和g（x）之间存在隔

离直线y=2x+g则实数b的取值范围是.

【答案】卜2及1]

【分析】根据“隔离直线”定义可将问题转化为Vx-bNO和2x2+6x+120在

（0,+/）上恒成立：利用一元二次不等式在区间内恒成立的求法可构造不等式组求得结

果.

[详解]由“隔离直线”定义知：+b和一1W2x+6在似+8）上恒成立，

即x2-2x-b>0^2x2+故+120在（°，+8）上恒成立，

若/_2尸此0在（°，+8）上恒成立，则4=4+4640,解得：Z,<-1.

若2，+阮+120在（。，+8）上恒成立，42=〃-8,

A2>0伊-8>0

■_2<o--<0

贝心2«0或[4<,即840或[4<,解得：啦或b>20；

综上所述：实数方的取值范围为卜2&，T[

四、解答题

17.在①/u8=8；②“xe/，，是“xe8，，的充分不必要条件；③4n8=0这三个条

件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.

问题：已知集合"={x|aT4x4"+l},8={x|-14x42}.

⑴当。=2时，求/UB；

(2)若,求实数。的取值范围.

【答案】⑴"0'={刘-1,欠43}

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】(1)根据并集得定义求解即可；

(2)选①，由=得2,列出不等式组，从而可得出答案.

选②，由“xe/”是"xe8„的充分不必要条件，得集合A为集合8的真子集，列出不

等式组，从而可得出答案.

选③，根据/口8=0列出不等式，解之即可得解.

【详解】⑴解:当。=2时，/={x|l4x43},B={x\-l<x<2}f

所以/u8={x|—14x43}；

(2)解：若选择①，AuB=B,则4勺8,

因为/={x1aT«x4a+l},所以”0,又8={x|-14xW2},

所以1a+142,解得：0<«<1,

所以实数。的取值范围是［°11

若选择②,是“xe小，的充分不必要条件，

则集合A为集合8的真子集，

因为“={x|a-14x«a+l},所以六0,

75={x|-l<x<2}

所以L+142,且ZxB,

解得：04a41,

所以实数。的取值范围是［°」1

若选择③，4n8=0,

又因为"={刈"-+5={x|-l<x<2）

所以"1>2或a+l<-l,解得：。>3或…2,

所以实数”的取值范围是（f°L2）u（3,+oo）.

18,设函数/（刈=加+3-2）》+3.

⑴若不等式/（、）>°的解集为（T/），求实数的值；

⑵若且VxeR,使〃x）<4成立，求实数。的取值范围.

p=-3

［答案］⑴W=2

⑵（-91）

【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得;

（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.

【详解】（1）由题意可知：方程”x2+（b-2）x+3=°的两根是1

三=7+1=0

a

3a=-3

-=(-l)xl=-l

所以〃解得6=2

(2)由/°)=°得b=-a-l

VxeR,・f（x）<4成立，即使办、0-2）x7<0恒成立,

又因为6=T,代入上式可得-（a+3）x-1<0恒成立.

当。=°时，显然上式不恒成立；

当aH。时，要使办一一（"+3）x7<0恒成立

a<0

△解得一

所以=(a+3)+4"<0,9<”_[

综上可知。的取值范围是G9，T）.

7

f（x）=A--------（26R）

19.已知函数31+1、）

（1）若,求函数/G）的零点；

（2）探索是否存在实数几，使得函数/（X）为奇函数？若存在，求出实数%的值并

证明；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）函数/（X）的零点为1

⑵存在；几=1；证明见解析

【分析】⑴根据零点的定义求零点即可；

⑵根据奇函数定义域包含零，那么/（°）二°的性质求又，再结合奇函数的定义去证明

即可.

」/G）=--——

【详解】⑴当2时，23、+1,

2_1

令/（x）=°得丙一5，所以3"+1=4,解得x=l,

所以函数/（“）的零点为1.

（2）假设存在实数几，使得函数/（X）为奇函数，

因为/（X）的定义域为R，关于原点对称，

则/'（0）='T=°,所以4=1,此时,

又因为““一37+1-1+3'-.⑴，所以此时/（X）为奇函数，满足题意.

故存在实数/=】，使得函数/（X）为奇函数.

20,已知函数，m>0,且“l）+/（-l）=°.

（1）证明：/（X）在定义域上是增函数；

⑵若/（x）+M9</（-x）,求x的取值集合.

【答案】（1）证明见解析

⑵{工1-2cx<-1}

【分析】（1）由条件等式，结合对数运算法则可解出机，即有/G）解析式，用定义法

证2-X的单调性，最后结合复合函数的单调性即可证明；

（2）结合对数运算法则得了（一⑼二一/6），即可化简不等式，最后结合/（X）单调性即

可求得解集.

［详解］⑴：/（】）+/（_］）=0,•,-In2^+ln27^=ln^

2f（x）-

m=1,又加>0,..机=1,2—x.

2+x.0

由2-x>,解得-2<"2,，/（》）的定义域为（-2,2）.

令gX-2-彳一+2-x,任取再，斗«-2,2）,且为<三,则

g（为）-g（%）=4一六=（2驾2）

又X|_X2c0,2-x,>0；2-%>0,，ga）-g（X2）<0,即g（xj<g（x2）,

又>=lnx在（0,+"）上是增函数，由复合函数的单调性知：/（X）在（一2,2）上是增函

数.

⑵...止xRnE-n念f⑺

，原不等式可化为2/（*）<一叱即八""叫-/（-1）

由（1）知，/（“）是增函数，，x<T.

又‘（X）的定义域为（一2,2）,x的取值集合为{x12<x<-1}

21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影

响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，

另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，

某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂

__J

的年产量）X万件与年促销费用/万元（加20）满足“=—一心为常数），如果不搞促

销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.己知生产该产品的固定投入为8万元，

每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年

8+16x

平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按x元来计算）.

（1）求左的值;

（2）将2020年该产品的利润V万元表示为年促销费用m万元的函数；

（3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

y=36!------ni（tn>0）

【答案】⑴人=2；（2）'机+1:⑶投入3万元时，厂家的利

润最大为29万元.

【解析】（1）根据题意机=°时，*=2可得解；

“2-8+16x

x=4-------1.5x---------

（2）由（1）求出加+1,进一步求出销售价格X,由利润=销售额-固

定成本一再投入成本-促销费,即可求解.

16

y=36-----m=31-------+(w+1)(w>0)

(2)由(1)机+1,利用基本不等式即可求

解.

【详解】（1）由题意知，当机=0时，x=2（万件）,

则2=4-&，解得％=2,

x—4--------

(2)由(1)可得加+1.

、u8+16x

1.5x---------

所以每件产品的销售价格为x(元)，

y=1.5xx§+16"-8-16x—机=36—————m(m之0)

「•2020年的利润x〃?+1

(3),・•当加20时,加+1>0,

.•.*-+(加+1)22而=8

m+1,当且仅当加=3时等号成立.

.•.”-8+37=29

------=+1

当且仅当〃?+1,即机=3万元时，为«=29（万元）.

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.

/（1）=1呜,一小噫（一）

22.已知函数I2）（a＞0且a"）.

⑴当4=2时，解不等式/（x）＞log26；

⑵VX€[2“,4〃],/（x）Wl,求实数a的取值范围;

（3）在（2）的条件下，是否存在必0e（"+8）,使/G）在区间依网上的值域

是[logaAlog„a]?若存在，求实数。的取值范围；若不存在，试说明理由.

【答案】（1）（4+“）

⑵

（3）不存在；理由见解析

【分析】（1）先求定义域，然后根据单调性解不等式可得；

（2）将问题转化为最值问题，然后分0＜。＜1和。＞1,利用单调性求解即可;

（3）利用单调性得到a和4满足的方程，然后构造函数，由判别式列式求解可得.

【详解】⑴。=2时，/（》）=唾2（1）+唾2。-2）=题2（犬-3》+2）

由工一2>°,解得x>2,即函数定义域为（2，+8）,

因为/(x)>log26,即Iog2(x2-3x+2)>log26

所以-—3X+2>6,

即X2-3X-4>0,解得x<-l或x>4,

又xe（2fl+8）,所