2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市蒲城县高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

I.在等差数列｛%｝中，若4=7,公差d=l,则%=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.

【详解】因为数列是等差数列，

所以=4+（“-1）4,

所以“5=4+4"=-l+4xl=3.

故选：C.

2.命题“*eR,-far-120”的否定是（）

A.BxeR,x2-Ax-1<0B.玉eR,x2-Ax-1<0

C.VxeR,x2-kx-｝>0D.VxeR,x2-fcc-l<0

【答案】D

【分析】由特称命题的否定为全称命题即可得答案.

【详解】解：因为命题“玉eR,4一区一INO”为特称命题,

所以其否定为：VreR,x2-kx-\<0.

故选：D.

3.双曲线/-弓=1的渐近线方程为（）

A.y=±1xB.y=+3xC.y=+y/3xD.y=±@尤

J3

【答案】B

【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.

【详解】由双曲线方程知：a=l,b=3,而渐近线方程为〉=±2工，

a

所以双曲线渐近线为y=±3x.

故选：B

4.已知。<〃，b00,ceR,下列不等关系正确的是（）

A.a+c<b-\-cB.-<TC.a2<b2D.ac<hc

【答案】A

【分析】根据不等式的性质和特值排除法可得答案.

【详解】对于A,因为。＜6,所以a+cvh+c,故A正确；

对于B,取4=1力=2,满足awO,bHO,但不满足上＜1，故B不正确；

ab

对于C,取。=一2,/?=-1,满足。＜匕，owO,。wO,但不满足/，故C不正确；

对于D,当cv()时，由a,awO,可得ac＞bc,故D不正确.

故选：A

5.已知函数/(x)=sinx+cosx,则/的值为()

A.1B.0C.-2D.-1

【答案】D

【分析】求出函数的导数，再将x=T代入计算即可.

【详解】解：因为f(x)=sinx+cosx,

所以/'(x)=cosx-sinx,

所以尸O=cos卜呜=0_1=_1.

故选：D.

6.一个小球从高处自由下落，其走过的路程(单位:米)与时间”单位:秒)的函数关系为s(r)=4.9/,

则/=2秒时小球的瞬时速度为()

A.-19.6米/秒B.-9.8米/秒C.19.6米/秒D.9.8米/秒

【答案】C

【分析】利用导数的物理意义即可求得r=2秒时小球的瞬时速度.

【详解】s(r)=4.9/，贝心'⑺=2x49=9&,

则f=2秒时小球的瞬时速度为s'(2)=9.8x2=19.6米/秒.

故选：C

41

7.已知。＞0,b＞0,右=则一+7的最小值为()

ab

A.9B.7C.5D.4

【答案】A

41

【分析】将Q+h=l代入一+工，利用基本不等式求解即可.

ab

【详解】解：因为。>0,若a+6=l,

b>of

纪9414(〃+8)a+b*[4ba、U14ba八

所以一a+—h=-^--a---+--h--=4+1+—a+-b>5+2\--a--h=9,

a--2

当且仅当竺即:时，等号成立.

abb.=-1

3

故选：A.

8.已知a,人eR,则“而<0”是“a>0且b<0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：因为。6<0=>。<0力>0或〃>。为<0,所以由不能推出。>0且b<0,即充分性

不满足；

但由a>0且6<0可得而<0,即由。>0且6<0可推出ab<0,所以必要性满足；

所以4/?<0是a>0且6<0的必要不充分条件.

故选：B.

9.设函数/(x)在R上可导，其导函数为r(x),且函数/(x)的图象如图所示，则函数/(x)的极

C"2)D-AO

【答案】D

【分析】先利用了'(X)的图象得到了(X)的单调区间，进而求得函数“X)的极小值

【详解】当x<—3时，,/4X)>0,则f(X)单调递增;

当-3<x<l时，f'(x)<0,则/(x)单调递减；

当l<x<3时，制x)>0,则单调递增；

当x>3时，r(x)<0,则〃x)单调递减

则当x=l时，“X)取得极小值，极小值为/(1)

故选：D

10.如图，有一位于A处的观测站，某时刻发现其北偏东451且与A相距206海里的B处有一货

船，正以4()海里〃卜时的速度，向南偏西15匀速直线行驶，30分钟后到达C处，则此时该船与观测

站A的距离AC为()海里.

C.20D.15A/2

【答案】C

【分析】先求得/ABC,然后利用余弦定理求得AC.

【详解】由题意可知，AB=20白，BC=40x0.5=20,NABC=45。-15。=30。，贝U在"BC中，由余

222

弦定理可得，AC^AB+BC-2ABBCCOSZABC^1200+400-2x20^x20xC6>.530°-400,所以AC

=20.

故选：C

11.已知命题?与々eR,—^―>1；命题q：Va,beR,a2+b2>2ab,则下列命题中为真命题

1+大()

的是()

A.P"B.2八qC.pdfD.->(pv<7)

【答案】A

【分析】先判断出命题P，g的真假，进而得到力，r的真假，从而判定各选项的真假.

可知命题J->1为真命题，力为假命题;

【详解】由

1+入0

由/+〃2一2。力=(。->0,可得小+/N2ab

则命题9：V。，bwR,a2+b2>2ab,为真命题，F为假命题.

则〃八夕为真命题，选项A判断正确；

/△夕为假命题，选项B判断错误；

PAF为假命题，选项c判断错误；

为假命题，选项D判断错误

故选：A

12.设｛%｝是无穷数列，若存在正整数火，使得对任意的”wN,，均有%+«>%，则称｛%｝是间隔递

增数列，女是｛可｝的间隔数.若也｝是间隔递增数列，则数列也｝的通项不可熊是()

9

A.b=2n—B.=3"+1

nn

C.2=1-最D.b„=-n(-2)w

【答案】D

【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.

99

[详解]对于A：b-b„=2｛n+k)----2n+-,

n+k(〃+攵Jn

9

化简得：b…b“=k2+——>0,

n[n+k)

存在正整数3使得对任意的〃wN*,恒成立，

所以也｝是间隔递增数列；

对于B：bn+k-bn=+1-3"-1=(3-1)3",

因为k为正整数且“wN*,所以(3"-1)3">0,

所以心「2>0,所以也｝是间隔递增数列；

对于C：储--苴-1+/="[1-提),

因为k为正整数且”wN*,所以

所以>o,所以他)是间隔递增数列；

对于D：匕…-2=-(〃+。(-2)”，〃(-2)"

=(-2)[〃-(〃+%)(-2)],

当左e正奇数，"cN*时，〃-(“+%)(-2)">0,

(-2)”的正负由n的奇偶性决定，此时>0不恒成立，

不符合间隔递增数列的定义;

当A:w正偶数，〃eN*时，〃一(〃+无)(一2)«<0,

(-2)"的正负由〃的奇偶性决定，此时仇“~b„>0不恒成立,

不符合间隔递增数列的定义；

故选：D.

二、填空题

13.不等式*+2*+3>0的解集是.

【答案】(7,3)

【详解】试题分析：-X2+2X+3>0，X2-2X-3<0:.(X+1)(X-3)<0，-1<X<3,不等式的解集为

(-1-3)

【解析】一元二次不等式解法

22

14.已知椭圆点+方=1(a>6>0)的左、右焦点分别为《、F”上顶点为A.若△△耳鸟为正三角形,

则该椭圆的离心率为.

【答案】g##0.5

【分析】利用题给条件求得a=2c,进而求得椭圆的离心率

【详解】玛为正三角形，则a=2c,则椭圆的离心率0=£=三=:

a2c2

故答案为：y

x-y>0

15.己知x,y满足约束条件r+y-240,则z=3x+2y的最大值是.

y>0

【答案】6

【分析】画出可行域，利用线性规划即可求得z=3x+2y的最大值

x-y>0

【详解】画出约束条件2Mo对应的可行域如图：

y>0

[x-y=0fx=1

由《人，可得《,贝！1N。』)，止匕时z=3xl+2xl=5

[x+y-2=0[y=l

由Kfy=0，-2=。,可得Ix…=2,则20），此时Z=3X2+2XO=6

16.若对任意“，b满足0<“<方々，都有〃lna<alnb,则f的最大值为.

【答案】e

【解析】不等式变形为也芈，只要/(*)=叱在(01)上为增函数即可.

abx

【详解】因为0<4<b<r,blna<a\nb,

“9In。In/?

所以——<—,

ab

Inx

令y=±二，%e(0,t),则函数在(0,r)上单调递增，

X

故)/=匕2与0,解得oye,

X

故，的最大值是e.

故答案为：e.

【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是把问题转化为新函数/(切=叱在(01)上

X

递增，方法是构造法.

三、解答题

17.已知函数/(x)=d-3以+2在x=l处取得极值.

(1)求实数。的值；

⑵求曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程.

【答案】(l)a=l;

(2)y=9x-14.

【分析】(1)由题意可得了'(1)=0,求出导数，代入x=l计算即可；

(2)由⑴可知/(x)=d-3x+2,从而可得"2)=4,切线的斜率左=/(2)=9,用点斜式表示出直线

的方程，再化成斜截式即可.

【详解】(1)解：••"'(x)=3x2-3a,

因为函数/(x)=V-3奴+2在x=l处取得极值，

所以尸(1)=0,

即/⑴=3_3a=0,

解得。=1;经检验成立

(2)解:由(1)知"x)=d—3x+2.

/,x)=3f-3.

"(2)=4,/⑵=9.

y-4=9(x-2),

•••所求切线方程为>=9》-14.

18.在各项为正数的等比数列｛4｝中，4=1,a4=2a2+a3.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)设b„=log,a„,求数列也｝的前“项和S,,.

【答案】⑴a“=2"T

2

【分析】(1)根据数列的通项公式列出关于q的表达式，即可求出。，从而进一步求出｛〃.｝的通项公

式；

(2)根据对数运算求出2=log2a.=log22"T=〃-l,从而利用等差数列的求和公式进一步求解.

【详解】(1)设数列｛q｝的公比为4(4>0),

因为％=2a,+a},

所以q•/=2a,q+a,-q2.

又因为数列的各项为正数,

则d=2q+q2,解得q=2或g=-l(舍).

(2)由题意a=1824=1呜2"-'="-1,

S”=仿+b-,+■,•+bn=0+1+2+…+〃—1=----

19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-2,点F是抛物线C的焦点.

(1)求抛物线的方程；

(2)斜率为2的直线过点F,且与C交于A,B两点，求线段A8的长.

【答案】⑴y、8x

⑵10

【分析】(1)由准线方程的公式可求得P,从而写出抛物线的方程

(2)写出直线方程，与抛物线联立，根据焦点弦的计算方法求出线段A8的长

【详解】(1)由准线方程可得-日=-2,即。=4,所以抛物线的方程为y?=8x

(2)由题得：直线A8的方程为y=2x-4,设4(3,％),B(x2,y2),

联立直线A8与抛物线的方程：一"，整理可得：2_

y~=8xX6X+4=0(

所以玉+x2=6,

由抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长

|A3|=芭+9+〃=6+4=10

20.在中，角A8,C的对边分别为a,6,c,已知a=3,b=2,cosA=~.

2

⑴求c的值；

(2)求sinC的值及"RC的面积.

【答案】(l)c=#+l；

”„3&+G„30+6

⑵.。;二—，Sf=-^

【分析】（1）直接利用余弦定理计算即可；

⑵由题意可知sinA=",利用正弦定理求sinC的值即可：根据以板=:"sinC求解即可.

22

【详解】（1）,.,。=3,b=2,cosA=—,

2

工由余弦定理，得/=/-2bccosA=4+<?-2c=9,

解得c=V6+1；

(2)在AABC中，

]Q

'**cosA——,0<A<7T,sinA——,

22

・・a二

sinAsinC

,.-csinA3痣+后

••sinC=-------

a6

/.SAABC=-absinC=-x3x2x乎*《3V2+V3

2262

21.已知椭圆C:£+亲■=l（a>6>0）的右焦点为F（260）,且离心率为

3

（1）求椭圆C的方程;

⑵若直线/h=殁+20（加>0）与曲线x，+V相切，与椭圆C交于A（x”X）,B（电，为）两点，求

|3一%|的值.

r2v2

【答案】⑴±+^=1

124

⑵«

【分析】（1）根据椭圆的a,4c之间的关系即可求解;

（2）根据点与圆的位置关系求出，"=1,再由直线与椭圆的联立即可进一步求解.

【详解】（1）由题意知，巫二见,

a3

a—2\[3,

.♦.从=（26『-（2&）2=4.

）2

・・・椭圆C的方程为土十二=1.

124

(2),・,直线/:工=冲+2后(m>0)与曲线/+/=〃=4相切，

|0-0-2>/2|

/.J-/J=2，解得“7=1或6=-1(舍)