控制工程基础第二章

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1设计控制系统应完成哪些工作？控制对象运动规律的描述控制对象运动规律定性分析控制对象运动规律定量分析控制系统的设计与综合控制对象和控制系统的数学模型本章任务2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系22、控制系统的数学模型2.1控制系统的运动方程2.2线性系统的频域模型2.3方框图与信号流图2.4状态空间与状态空间表达式2.5控制系统不同模型间的关系小结2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系3本章学习要点简单物理系统的微分方程的列写；非线性模型的线性化方法；传递函数和传递函数矩阵的概念；结构图和信号流图的变换与化简；状态空间与状态空间表达式；控制系统不同模型形式及其之间的转换。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系42.1

控制系统的运动方程例2.1.1研究RLC电路，试找出输出电压uc(t)随输入电压ur(t)变化的规律。解R、C、L以及初始uc(0)确定时,已知ur(t)就可以确定uc(t)2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系52.1

控制系统的运动方程例2.1.2如图：由质量为m的木块、弹性系数为K的弹簧和阻尼系数为B的系统，试找出木块的位移x(t)与外力F(t)之间的关系。解m、K、B以及初始x(0)确定时,已知f(t)就可以确定x(t)2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系62.1控制系统的运动方程

直流他励电动机电枢电路，取电枢电压ua为输入量,电动机角速度ωm为输出量,讨论它们之间的关系。电枢回路电压平衡方程：电磁转矩方程：ammtiCM)(=电动机轴上的转矩平衡方程：例2.1.3解电枢反电势是电枢电流产生的电动转矩是电动机转矩系数mMmC是折合到电动机轴上的总负载转矩(t)McJm:电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量；fm:电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系72.1

控制系统的运动方程注意观察三个示例的微分方程可以通过求解得到ur(t)~uc(t)，f(t)~x(t)之间内在运动的关联关系、分析系统的运动特性。进而改造系统-选择适当的R、L、C和m、B、K得到希望的运动规律。许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其物理背景可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即它们具有相同的数学模型。这类系统被称为相似系统。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系82.1

控制系统的运动方程控制系统的运动—对系统施加控制（即输入控制信号），从而得到系统输出量（即受控量）随时间的变化规律（即输出响应信号）。控制系统的运动方程—根据描述系统特性的物理学定律，如机械，电气，热力，液压等方面的基本定律写出。展示系统在运动过程中各变量之间的相互关系，既定性又定量地描述整个系统的运动过程。

数学模型—描述系统内部物理量（或变量）之间的数学表达式，是分析和设计自动控制系统的基础。静态模型：在静态条件下（即变量不随时间变化），描述变量之间关系的代数方程(组)。动态模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程(组)。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系92.1

控制系统的运动方程建立数学模型的方法解析法—依据描述系统运动规律的运动定律来得到微分方程的方法。实验法—基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型的方法。数学模型的形式时域模型—微分方程、差分方程和状态方程；复频域模型—传递函数、结构图、频率特性。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系102.1

控制系统的运动方程问题：从严格意义上讲，绝大多数系统的数学模型都不是线性模型（即系统并非是线性系统）。事实上，任何一个元件总是存在一定程度的非线性。即使假设具有线性的特性，也是局限在一定的范围内。几种常见的非线性2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系112.1

控制系统的运动方程两类非线性系统具有连续变化的非线性系统动态：y(n)=f(t;y,y(1),…,y(n-1),x,x(1),…,x(m))静态：y=f(x)本质非线性系统2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系122.1

控制系统的运动方程

非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。线性化的方法忽略弱非线性环节：如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略。台劳级数展开法(小偏差法，切线法，增量线性化法)：适用前提—假设在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入和输出量只是在平衡点附近作微小变化。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系132.1

控制系统的运动方程忽略二次以上的各项，上式可以写成：A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数：其中：—非线性元件的线性化数学模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系142.1

控制系统的运动方程平均斜率法：如果一非线性元件输入输出关系如下图所示，此时不能台劳级数展开法，可用平均斜率法得线性化方程为：其中：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系152.1

控制系统的运动方程注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性（本质非线性)不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。(此部分超出本课程的内容，可参考非线性控制的章节或教材。)2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系162.1

控制系统的运动方程例2.1.4水位自动控制系统：输入量为△Q1,输出量为水位变化量△H，求水箱的微分方程。水箱的横截面积为C。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系172.1

控制系统的运动方程解根据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有：其中为比例系数。水箱的线性化微分方程:整理得水箱的标准线性化微分方程为:其中：显然这个式子为非线性关系,在工作点附近进行台劳级数展开。取一次项得：在时间中，水箱内流体变化量.则：注意：是常数；。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系182.1

控制系统的运动方程说明本质非线性系统一般不可线性化。多变量情况处理类似。工作点不同，所得线性化方程的线性化系数不同，即线性化方程不同。非线性系统的线性化方程只在工作点附近才成立。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系192.2

线性系统的复数域模型2.2.1拉普拉斯变换2.2.2传递函数2.2.3传递函数矩阵2.2.4典型元部件及典型环节的传递函数问题：

1）微分方程求解比较困难，不利于工程实现；

2）有时分析控制系统的性质时不必求解方程；是否有更方便的形式描述系统？2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系202.2

线性系统的复频域模型

拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。对应

时域函数f(t)(原函数)复频域函数F(s)(象函数)s为复频率2.2.1拉普拉斯变换2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系212.2

线性系统的复频域模型正变换反变换正变换反变换象函数F(s)用大写字母表示,如I(s)，U(s)。原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。12象函数F(s)存在的条件：拉氏变换的定义t<0,f(t)=02023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系222.2

线性系统的复频域模型如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：则

总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系232.2线性系统的复频域模型典型函数的拉氏变换

(1)单位阶跃函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数(3)指数函数的象函数2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系242.2线性系统的复频域模型(4)正弦函数的象函数(5)余弦函数的象函数2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系252.2线性系统的复频域模型拉普拉斯变换的基本性质线性性质时间比例性质（相似定理）其中σ为实常数2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系262.2线性系统的复频域模型微分性质时域导数性质频域导数性质2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系27积分性质延迟性质频域延迟时域延迟在时间域的平移变换在复数域有对应的衰减变换。时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。2.2

线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系28初值定理f(t)和的拉氏变换存在，也存在，则终值定理f(t)和的拉氏变换存在，，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含jω轴的右半平面是解析的（即t→∞时，f(t)为常数），则时域函数的初值，可以由变换域求得。时域函数的终值，也可以由变换域求得。2.2

线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系292.2

线性系统的复频域模型例2.2.1已知微分方程如下，试求初值皆为零时输出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。解初值皆为零有由微分性质对微分方程作拉氏变换得：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系302.2

线性系统的复频域模型拉普拉斯反变换的求法(1)按定义(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数(P28)f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1Sinωt1(t)1/sCosωtt1/(s+a)2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系31(4)把F(S)分解为简单项的组合部分分式展开法(3)利用拉氏变换的性质解由延迟性质知：思考的原函数2.2

线性系统的复频域模型例2.2.22023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系32利用部分分式可将F(s)分解为：象函数的一般形式：待定常数12.2

线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系332.2

线性系统的复频域模型待定常数的确定：方法1方法2求极限的方法2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系342.2

线性系统的复频域模型例2.2.3求如下象函数的原函数。解解法1解法2原函数的一般形式：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系352.2

线性系统的复频域模型一对共轭复根为一分解单元,设：22023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系362.2

线性系统的复频域模型例2.2.4解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系372.2

线性系统的复频域模型其中：32023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系382.2

线性系统的复频域模型例2.2.5解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系392.2

线性系统的复频域模型n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和小结:由F(s)求f(t)的步骤求真分式分母的根，确定分解单元将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系402.2

线性系统的复频域模型例2.2.6解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系412.2

线性系统的复频域模型利用拉普拉斯变换求解微分方程例2.2.7已知：求：解根据已知条件对方程两边作拉氏变换：作拉氏反变换：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系422.2

线性系统的复频域模型2.2.2系统的传递函数（1）定义：单输入单输出线性定常动态对象的传递函数G(S)是零初值下该对象的输出量的拉普拉斯变换Y(S)数与输入量的拉普拉斯变换U(S)之比。回答本节开始的问题2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系432.2

线性系统的复频域模型RLC电路取ur为输入，uc为输出，得:拉氏变换得：则传递函数为：例2.2.7解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系442.2

线性系统的复频域模型例2.2.8解根据牛顿第二定律，得取外力f(t)为输入；位移x(t)为输出得微分方程：拉氏变换后得：传递函数为：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系452.2

线性系统的复频域模型

一般有n≥m。同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。（2）传递函数的性质G(s)与系统的微分方程有直接联系。G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系462.2

线性系统的复频域模型（3）传递函数的常用表示形式时间常数形式根的形式2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系472.2

线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系482.2

线性系统的复频域模型（4）传递函数局限①G(s)原则上不反映y(0)≠0时的系统的全部运动规律.②G(s)只适用于单输入，单输出系统。③

G(s)只适用于线性定常系统——由于拉氏变换是一种线性变换.2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系492.2

线性系统的复频域模型特征多项式：G(s)的分母多项式D(s)特征方程：D(s)=0极点/特征根：D(s)=0的根零点：N(s)=0的根零极点对消系统的阶数：max(n,m)，（一般n≥m）系统的类型放大系数与传递函数有关的几个重要概念：—系统的放大系数K—根轨迹放大系数Kg零极点图2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系50G(s)的零点、极点表示在S平面上——零极点图G(s)G(s)零极点分布图系统性能G(s)2.2线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系512.2

线性系统的复频域模型2.2.3传递函数矩阵将传递函数的概念推广到多输入多输出系统，传递函数G（s）推广为传递函数矩阵G（s）。设系统有p个输入量、q个输出量如下图。u1u2up。。。y1y2yq。。。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系522.2

线性系统的复频域模型例2.2.9如图，直流他励电动机；ua是外加的输入变量电枢电压（伏），ωm表示电动机的角转速（弧度/秒），为输出量。讨论它们之间的关系。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系532.2

线性系统的复频域模型由例2.1.3系统运动方程为：解拉氏变换得：整理得：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系54

比例环节

控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些基本部件称为典型环节。包括：比例环节、微分环节、积分环节、比例微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节和延迟环节。（1）典型环节2.2线性系统的复频域模型2.2.4典型元部件及典型环节的传递函数2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系55比例环节的单位阶跃响应当时2.2

线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系56

一阶惯性环节当时，微分方程是一阶的,且输出响应需一定的时间才能达到稳态值。其中T为惯性环节的时间常数。2.2线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系57惯性环节的单位阶跃响应求拉氏反变换得

2.2线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系58

积分环节其中K=1/T，

T为积分环节的时间常数，表示积分的快慢程度。积分环节的单位阶跃响应2.2线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系59

微分环节其中K为微分环节的时间常数，表示微分速率的大小。2.2线性系统的复频域模型

理想微分环节

一阶微分环节（又称比例微分环节、实用微分环节）

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系60

二阶振荡环节这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。式中：

——自然振荡角频率——

阻尼比由二阶微分方程描述的系统。2.2线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系61当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当时，上式特征方程的根为共轭复数。因式分解得：振荡环节的单位阶跃响应：输出量为：2.2线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系62

延迟/时滞环节2.2线性系统的复频域模型带钢厚度检测环节写成一般形式:零初始条件下，拉氏变换为

传递函数为

例2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系63时滞环节的输出量时滞环节的传递函数

对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，得：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节！2.2线性系统的复频域模型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系642.2

线性系统的复频域模型2.2.4典型元部件及典型环节的传递函数元部件名称传递函数电位器测速电机电加热炉单容水槽双容水槽（2）典型元部件(有纯延迟)(也可有延迟，略)2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系65线性系统的复频域模型

直流他励电动机电枢电路，取电枢电压ua为输入量,电动机角速度ωm为输出量,讨论它们之间的关系。电枢回路电压平衡方程：电磁转矩方程：ammtiCM)(=电动机轴上的转矩平衡方程：例2.1.3解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系662.3方框图与信号流图控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含4种基本单元。2.3.1系统动态结构图1）信号线2）引出点（或测量点）3）比较点（或综合点）4）方框（或环节）2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系672.3方框图与信号流图2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系682.3方框图与信号流图思考:将两部分电路分开分别讨论然后在结合到一起结果和前面得到的是否相同?2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系692.3方框图与信号流图速度控制系统例2.3.12023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系702.3方框图与信号流图解（1）比较环节和速度调节器环节式中：式中：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系712.3方框图与信号流图式中整理得

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系722.3方框图与信号流图（2）速度反馈的传递函数式中：为速度反馈系数

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系732.3方框图与信号流图（3）电动机及功率放大装置2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系742.3方框图与信号流图（4）系统的动态结构图

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系752.3方框图与信号流图2.3.2系统的等效变换（1）典型连接的等效传递函数串联2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系762.3方框图与信号流图并联2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系772.3方框图与信号流图反馈连接2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系782.3方框图与信号流图（2）相加点及分支点的换位运算原则:换位前后的输入/输出信号间关系不变。

相加点后移2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系792.3方框图与信号流图相加点前移分支点后移2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系802.3方框图与信号流图分支点前移

分支点换位

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系812.3方框图与信号流图相加点变位2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系822.3方框图与信号流图相加点和分支点一般不能变位2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系832.3方框图与信号流图(3)系统开环传递函数定义：闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用表示。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系842.3方框图与信号流图系统的开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数的乘积。

——正向通道传递函数——反向通道传递函数2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系852.3方框图与信号流图利用方块图变换法则

(a)相加点A前移，分支点D后移2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系862.3方框图与信号流图(b)消除局部反馈回路

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系872.3方框图与信号流图（C）消除主反馈回路

方块图的化简方法不是唯一的，应充分地利用各种变换技巧，选择最简捷的路径，以达到省力省时的目。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系882.3方框图与信号流图无交叉局部反馈系统

例2.3.2解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系892.3方框图与信号流图有交叉局部反馈系统

例2.3.3解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系902.3方框图与信号流图(4)系统闭环传递函数定义：在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数，用表示。对于单位反馈系统，有2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系912.3方框图与信号流图(5)系统对给定作用和扰动作用的传递函数原则：对于线性系统来说，可以运用叠加原理，即对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系922.3方框图与信号流图只有给定作用

只有扰动作用2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系932.3方框图与信号流图两个输入量同时作用于系统

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系942.3方框图与信号流图信号流图是一种用图线表示线性方程组中变量间因果关系的方法。设一组线性方程式如下：信号流图的表示形式2.3.3信号流图2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系952.3方框图与信号流图信号流图中的术语:(1)源点：只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点。它一般表示系统的输入变量。(2)汇点：只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点。它一般表示系统的输出变量。(3)混合节点：既有输入支点又有输出支点的节点称为混合节点。(4)通路：从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径，称为通路。通路中各支路传输的乘积称为通路传输（通路增益）。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系962.3方框图与信号流图(5)开通路：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通路。(6)闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的通路称为闭通路或称为回环。回环中各支路传输的乘积称为回环增益（或传输）。(7)前向通路：是指从源点开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积称为前向通路增益。(8)不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系972.3方框图与信号流图梅逊增益公式：

式中：P——系统的总传输增益；pk

——第k条前向通道的传输增益；n——从输入节点到输出节点的前向通路数；——信号流图的特征式。Δk——与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的Δ；2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系982.3方框图与信号流图特征式的意义为：——信号流图中所有不同回环的传输之和；——信号流图中每两个互不接触回环的传输乘积之和；…………——m个互不接触回环的传输乘积之和；——称为第k条通路特征式的余因子，是在Δ中除去第k条前向通路相接触的各回环传输（即将其置零）。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系992.3方框图与信号流图两个前向通道：P1，P2三个回路：La，Lb，Lc一对不相交回路：La，Lc例2.3.4解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1002.3方框图与信号流图2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1012.3方框图与信号流图求：例2.3.5解（1）（2）2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1022.3方框图与信号流图（3）（4）2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1032.3方框图与信号流图信号流图的绘制（1）11/R1-1-1-11/C1s1/R2R(s)C(s)I1(s)U1(s)I2(s)1/C2s2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1042.3方框图与信号流图11/R1-1-1-11/C1s1/R2R(s)C(s)I1(s)U1(s)I2(s)1/C2s信号流图的绘制（2）2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1052.3方框图与信号流图单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有L1L2，即：前向通路只有一条，即所以R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)H3(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)G4(s)G3(s)梅逊公式例

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)P2=G4G3P1=G1G2G3△1=1△2=1+G1H12023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1072.3方框图与信号流图用梅森公式法求C(s)/R(s)、E(s)/R(s)

、C(S)/N(S)。例2.3.6解两两互不接触回路有L1L2=G1G2H1H2回路Δ=1+G1H1+G2H2+G1G2H3+G1G2H1H22023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1082.3方框图与信号流图(2)若以E(s)为输出，R(s)为输入，求E(s)/R(s)：两两互不接触回路仍为L1L2无论输入输出是什么，回路是不变的，所以Δ不变.(1)求C(s)/R(s)：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1092.3方框图与信号流图(3)求C(s)/N(s)：(4).若求R(s),N(s)同时作用下的总输出：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1102.3方框图与信号流图例：利用梅逊公式，求：C(s)/R(s)解：画出该系统的信号流程图

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1112.3方框图与信号流图该系统中有四个独立的回路：L1=-G4H1，L2=-G2G7H2，L3=-G6G4G5H2，L4=-G2G3G4G5H2互不接触的回路有一个L1L2。所以，特征式

Δ=1-（L1+L2+L3+L4）+L1L2该系统的前向通道有三个：P1=G1G2G3G4G5 Δ1=1，P2=G1G6G4G5 Δ2=1P3=G1G2G7 Δ3=1-L1

因此，系统的闭环系统传递函数C(s)/R(s)为2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1121G1-1-11R(s)C(s)G2KG3-111-1Δ=1+G1+G2+G3+2G1G2+G1G3+G2G3+2G1G2G3前向通道四个：P1=G1G2G3K，Δ1=1；P2=G2G3K，Δ2=1+G1P3=G1G3K Δ3=1+G2

；P4=-G1G2G3K Δ4=12023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1132.4状态空间与状态空间表达式问题：（1）系统运动方程是时变的传递函数不存在？（2）多输入多输出系统传递函数矩阵不好处理？（3）能否反映系统的中间变量的变化？（4）非线性系统如何描述？高阶线性微分方程求解方法：（1）拉氏变换（2）一阶线性微分方程组解决问题方法2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1142.4状态空间与状态空间表达式例2.4.1研究RLC电路，试找出输出电压uc(t)随输入电压ur(t)变化的规律。解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1152.4状态空间与状态空间表达式例2.4.2如图：由质量为m的木块、弹性系数为K的弹簧和阻尼系数为B的系统，试找出木块的位移x(t)与外力f(t)之间的关系。解2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1162.4状态空间与状态空间表达式在例2.4.2中取：x1(t)=x(t),x2(t)=v(t),u(t)=f(t),y(t)=x(t)在例2.4.1中取：x1(t)=uc(t),x2(t)=i(t)，u(t)=ui(t),y=uc2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1172.4状态空间与状态空间表达式状态变量——一组能够完全表征系统运动状态的相互独立的最小个数的变量。

x1(t),x2(t),…,

xn(t)状态向量——以状态变量为分量构成的向量，维数与状态变量的个数相同，一般等于系统中储能元件的个数。xT(t)=(x1(t),x2(t),…,

xn(t))状态空间——以状态变量x1(t),x2(t),…,

xn(t)为坐标轴构成的欧氏空间。状态空间的基本概念2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1182.4状态空间与状态空间表达式状态变量的特点独立性：状态变量之间线性独立；多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案；等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换；现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量；抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义。2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1192.4状态空间与状态空间表达式状态方程和输出方程-状态空间表达式状态方程输出方程线性系统状态空间表达式n维系统的状态方程的标准形式写成向量形式2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1202.4状态空间与状态空间表达式输出方程的标准形式写成向量形式：y=g（x，u，t）状态空间表达式的标准形式2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1212.4状态空间与状态空间表达式与状态空间表达式相关的术语2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1222.4状态空间与状态空间表达式加法器：积分器：放大器：状态空间表达式的方框图表示与模拟结构图表示2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1232.4状态空间与状态空间表达式∫B(t)C(t)A(t)D(t)表示系统信号的传递关系+2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1242.4状态空间与状态空间表达式模拟结构图用来反映系统状态变量间的信息传递关系∫∫uy--2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1252.4状态空间与状态空间表达式状态空间表达式建立方法由物理机理分析直接建立由微分方程建立由传递函数建立（例2.4.1，2.4.2）（1）由物理机理分析直接建立的步骤由牛顿定理，基尔霍夫定律等写出运动方程选择适当状态变量写出状态空间表达式2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1262.4状态空间与状态空间表达式（2）由微分方程建立的方法微分方程不含有输入项的导数项微分方程含有输入项的导数项2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1272.4状态空间与状态空间表达式微分方程不含有输入项的导数项整理得能控标准型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1282.4状态空间与状态空间表达式另一种取状态变量的方法所以有2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1292.4状态空间与状态空间表达式整理得能观标准型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1302.4状态空间与状态空间表达式微分方程含有输入项的导数项2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1312.4状态空间与状态空间表达式uyx1x2x32023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1322.4状态空间与状态空间表达式其中x4为辅助状态

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1332.4状态空间与状态空间表达式用代数方法确定待定系数。整理有解此方程即可得

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1342.4状态空间与状态空间表达式状态空间表达式为：推广到n维：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1352.4状态空间与状态空间表达式由微分方程所描述的系统，试写出其状态空间表达式。a2=18,a1=192,a0=640b3=0,b2=0,b1=160,b0=640例2.4.2解β3=b3=0β2=b2-a2β3=0β1=b1-a2β2-a1β3=160β0=b0-a2β1-a1β2-a0β3

=640-18*160=-2240系统的状态空间表达式为：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系136另一种实现方法2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1372023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1382023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1392.4状态空间与状态空间表达式能控标准型：能观标准型：2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系1402.4状态空间与状态空间表达式（3）由传递函数建立传递函数微分方程并联分解(极点互异的情况)当p1…pn两两互异时，传函可分解为：其中2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系141uy此时，系统的状态模拟图可绘为：2.4状态空间与状态空间表达式2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系142如图所选状态，则有：

p1c1pncnxnx1uy2.4状态空间与状态空间表达式约当标准型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系143已知系统传函为：

求状态空间表达式。

将G(s)分解为：

求以上4个系数：

取

解2.4状态空间与状态空间表达式例2.4.42023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系144整理有：

2.4状态空间与状态空间表达式约当标准型2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系145现在考虑运动对象的状态方程与传递函数之间的关系。设某p输入q输出的对象的状态方程和输出方程如下：

其中A为n×n的矩阵。在零初值条件下，对式（2.5.1）取拉普拉斯变换，得sX(s)=AX(s)+BU(s).

移项，得(sIn-A)X(s)=BU(s).其中多项式矩阵（sIn-A）必为非奇异。2.5控制系统不同模型间的转换

2023/6/717:23北京科技大学信息工程学院自动化系146可求出X(s)=(sIn-A)-1BU(s).对式（2.5.2）取拉普拉斯变换后以上式代入，即得

Y(s)=(C(sIn-A)-1B+D)U(s),与式Y(s)=G(s)U(s)比较，就知道该系统的传递函数是

G(s)=C(sIn-A)-1B+D.