直线与平面垂直判定-人教版高中数学新教材必修第二册课件

8.6.3直线与平面垂直定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b结论我们把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则___________特殊情况当θ＝_____时，a与b互相垂直，记作______锐角(或直角)0°<θ≤90°90°a⊥b复习回顾异面直线所成角3、求异面直线的所成角的一般步骤是：作—证—求

作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).问题1：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？

ABαB1C1CB一条直线与一个平面垂直的意义是什么？新课引入AB所在直线与平面内任意一条过点B的直线垂直．

与平面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直．直线垂直于平面内的任意一条直线．(一)直线与平面垂直的定义如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l

和平面α互相垂直.记作l⊥α直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线和平面垂直,它们唯一的公共点P叫做垂足.αlP（性质定理）b是平面α内任一直线,a⊥α，则

.a⊥b学习新知符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒

.画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直线面垂直直观图的一般画法学习新知直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件思考:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？可以发现:过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.点到平面的距离如棱锥的高就是顶点到底面的距离.学习新知直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，能否判断这条直线和这个平面垂直？怎样判断线面垂直呢？学习新知不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交.直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件DBAC

容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。aBDCA（1）有人说,折痕AD所在直线与桌面所在平面α上的一条直线垂直,就可以判断AD垂直平面α,你同意他的说法吗?（2）折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,由此你能得到什么结论?学习新知直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.Bmnlα学习新知直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件例1、有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂有一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什么？ABCD典型例题直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件VABC.D巩固练习直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件直线与平面垂直判定—人教版高中数学新教材必修第二册优秀课件mab例2、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面n典型例题已知：如图,已知a∥b,a⊥α.求证：b⊥α.分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定义可知,直线a与这两条相交直线是垂直的,又由b平行a,可证b与这两条相交直线也垂直,从而可证直线与平面垂直.证明：在平面α内取两条相交直线m、n，EABCD巩固练习

2、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交3、在空间，下列命题（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；（2）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（3）平行于同一平面的两条直线互相平行；（4）垂直于同一平面的两条直线互相平行。正确的是（）A.(1)(3)(4)B.(1)(4)C.(1)D.(1)(2)(3)(4)CB巩固练习8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)证明:(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.则在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS.所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.典型例题8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)典型例题[证明]

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线所以BD⊥平面SAC.8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)判定直线与平面垂直,可以用定义,就是证明这条直线与平面内的任一直线垂直,但这种方法一般不用.最常用也最好用的是直线与平面垂直的判定定理,根据定理,只需证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可.另外,判定直线与平面垂直还有如下两个结论可用:(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直.方法总结8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)例4如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.分析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.

∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.变式：若本例中其他条件不变,作AE⊥PC交PC于点E,求证:AE⊥PB.典型例题8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)直线和平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质.判定是指:如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直,那么直线就与平面垂直;性质是指:如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.由直线与平面垂直的定义及判定定理,就可以由线线垂直得到线面垂直,再由线面垂直得到线线垂直,即得到线线垂直与线面垂直的相互转化.因此,要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面),通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面.反思感悟8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)思考探究8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件(共24张PPT)总结：证明线线垂直的方法8.6.2直线与平面垂直1判定—山东省滕州市第一中学人教版高中