专题06有理数的计算

专题06有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算．数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有：1．利用运算律．2．以符代数．3．裂项相消．4．分解相约．5．巧用公式等．例题与求解【例1】已知m,n互为相反数，a,b互为负倒数，X的绝对值等于3,则X3-（1+m+n+ab）X2+（m+n）X2001+（ab）2002的值等于.（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．【例2】 已知整数a,b,c,d满足abcd=25,且a>b>C>d,那么∣a+b∖+C+d∣等于（）A．0B．10C．2D．12（江苏省竞赛试题）解题思路：解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式．【例3】 计算：1（1）1+ɪ+—1—+•••+1+21+2+3 1+2+3+•••+100（“祖冲之杯”邀请赛试题）7+72+73+74+•••+71998；（江苏省泰州市奥校竞赛试题）(3)1 5 1 19 1 41 1 71 1—2—+3—4—+5——6 +7—8+9—.2 6 12 20 30 42 56 72 90解题思路：对于（1）,若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2）,由于相邻的后一项与前一项的比都是7,考虑用字母表示和式；（3）中裂项相消，简化计算.【例4】W都是正整数，并且A=(1-1)(1+⅛(1-∣)(1+∣)∙∙∙(1-⅛1+-^),2 2 3mmmB=(1-1)(1+1)(1-1)(1+1)∙∙∙(1-1)(1+1)∙2 2 3 3nnmm+1 Gn+1(1)证明：A= ,B=——；2m 2n(2)若A-B=ɪ,求m和n的值.26解题思路：（1）对题中已知式子进行变形.（2）

体分析求解.“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）

把（1）中证明得到的式子代入，再具1111 1【例5】 在数学活动中，小明为了求三+丁+丁+丁+…+丁的值（结果用n表示），2222324 2n设计了如图①，所示的几何图形.1111 1（1）请你用这个几何图形求三+—+—+—+•••+—的值.2222324 2n1111 1（2）请你用图②，在设计一个能求％+丁+k+丁+…+丁的值的几何图形.2222324 2n（辽宁省大连市中考试题）解题思路：求原式的值有不同的解题方法，二剖分图形面积是构造图形的关键._S+S+…+S _【例6】记，令T=T一3 ，称T为a,a,…a这列数的“理想数”，已知n 几 n1 2na,a,…a的“理想数”为2004.求8,a,a,…a的"理想数”.1 2 500 1 2 500（安徽省中考试题）解题思路：根据题意可以理解为S为各项和，T为各项和的和乘以-.n n n能力训练A级.若X,y互为相反数，m,n互为倒数.∣a∣=1,a2—(X+y)2011+(—mn)2012的值为.（湖北省武汉市调考试题）,——1×(—1)3—2C.若M-(-1)2+-⅛⅛r=2,则M=.（“希望杯”邀请赛试题）、III 1.计算：(1) + + H + =3X55×77×9 1997×1999(2)(-0.251义(-8)—1-⅛).IIII.将1997减去它的三，再减去余下的三，再减去余下的二，再减去余下的£,…，依次2 3 4 51类推，直至最后减去余下的—，最后的答案是 .（“祖冲之杯”邀请赛试题）.右图是一个由六个正方体组合而成的几何体，每个小正方体的六个面上都分别写着一1,2,3,-4,5,6六个数字，那么图中所有看不见的面上的数字和是 .（湖北省仙桃市中考试题）bc-ac6.如果有理数a,b,C满足关系式a<b<0<c,那么代数式^一的值（）

ab2c3A.必为正数B.必为负数C.可正可负D.可能为O（江苏省竞赛试题）y-Z7.已知有理数羽％Z两两不相等，则——,——Z-X,Z-x——中负数的个数是（ ）X-yA.1个B.2个C.3个D.0个或2个（重庆市竞赛试题）1898a2+99b2.若a与（-b）互为相反数，则 =（）1997abA.0B.1C.-1D.1997(重庆市竞赛试题).如果(a+b)2001=-1,(a-b)2002=1,贝°a2003+b2003的值是( )A.2B.1C.0D.-1“希望杯”邀请赛试题).若a,b,C,d是互为不相等的整数，且abcd=9,则a+b+C+d等于()A.0B.111.把15，3.7,4C.8D.无法确定16-,2.9,4.6分别填在图中五个。内，再在每个口中填上和它相连的三个。中的数的平均数，再把三个口中的平均数填在△中.找出一种填法，使△中的数尽可能小，并求这个数.“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）1.计算:B级1 1 3 1 3 5 1 3 97 +(—I)+(—I1—)+•••+(1+•••+

2 4 4 6 6 6 98 98 98“五羊杯”竞赛试题）2.计算：2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=1×2X4+2X4X8+…+n•2n•4n.计算：（--- ）2= .：1×3X9+2X6×18+•••+n•3n•9n .据美国詹姆斯•马丁的测算，在近十年，人类的知识总量已达到每三年翻一翻，到2020年甚至要达每73翻番空前速度，因此，基础教育任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习”.已知2000年底，人类知识总量a，假入从2000年底2009年底每3年翻一翻；从2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻.（1）2009年底人类知识总量是： ；（2）2019年底人类知识总量是： ；（3）2020年按365天计算，2020年底类知识总量会是 .（北京市顺义区中考试题）.你能比较20012002和20022001的大小吗？为了解决这个问题，我们首先写出它的一般形式，即比较nn+1与（n+1）n的大小（n是自然数），然后我们从分析n=1,n=2,n=3…中发现规律，经归纳、猜想得出结论（1）通过计算，比较下列各组中两数的大小：（在横线上填写“>”“=”“<”）①12__21,②23__32；③34__43；④45__54；⑤56__65 （2）从第（1）题的结果中，经过归纳，可以猜想出nn+1与（n+1）〃的大小关系是 ；（3）根据以上归纳.猜想得到的一般结论，试比较下列两数的大小20012002 20022001：.（福建省龙岩市中考试题）.有2009个数排成一列，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和.若第一个数是1，第二个数是－1，则这个2009个数的和是（）A.－2 B.－1C.0D.2（全国初中数学竞赛海南省试题）tt=1，那么ttt123ttt123的值为（）A.－1B.1C.±1D.不确定t7.如果4+一+Tt1t2t3（河北省竞赛试题）8.三进位制数201可用十进制数表示为2X32+0X31+1=2X9+0+1=19；二进制数1011可用十进制法表示为1X23+0X22+1X21+1=8+0+2+1=11.前者按3的幂降幂排列,后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a=221,二进位制数b=10111,则a与b的大小关系为（）．A.a>bB.a=bC.a<bD.不能确定（重庆市竞赛试题）9.如果有理数a,b,c,d满足a+b>C+d，则（ ）A.Ia-1∣+∣