正弦定理和余弦定理课件

第一讲正弦定理和余弦定理重点难点重点：正余弦定理及三角形面积公式．难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下解的讨论．知识归纳3．三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)有关三角形内角的常用三角函数关系式sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC;sin＝cos

；cos

＝sin；

tan＝cot.4．解斜三角形的类型解斜三角形有下表所示的四种情况：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°求出角A；由正弦定理求出b与c；在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理由余弦定理求出第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°求出角C，再利用正弦定理求出c边，可有两解，一解或无解，详见下表.在△ABC中，已知a、b和A时解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解误区警示1．在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解．注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．3．一般地，sinα>sinβ⇔/α>β，但在△ABC中，sinA>sinB⇔A>B.一、判断三角形形状的方法根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角；(2)化角为边．具体有如下四种方法：①通过正弦定理实施边角转换；②通过余弦定理实施边角转换；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性的讨论；注意：在△ABC中，b2＋c2－a2>0⇔A为锐角，b2＋c2－a2＝0⇔A为直角，b2＋c2－a2<0⇔A为钝角．二、解题技巧在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C的正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是cosA＋cosB>0.简证如下：C有解⇔A＋B有解⇔0<A＋B<π⇔0<A<π－B<π⇔cosA>cos(π－B)⇔cosA>－cosB⇔cosA＋cosB>0.因此判断C是否有解，只须考虑cosA＋cosB的符号即可．了解这一结论，对做选择题或填空题来说，将十分方便．[例1]

在△ABC中，sinA＝，cosB＝，求cosC.[例1]在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，求角A、C和边c的值．点评：(1)已知两角和一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论．这是易错的地方，也是常考查的地方．在△ABC中，(1)若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________.(2)若b＝3，c＝，C＝45°，则a＝________.[例2]在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列，则∠B的范围是______．分析：欲求角B的取值范围，可用余弦定理求cosB＝ 的取值范围，利用条件a、b、c成等差可消去b，通过基本不等式可获解．答案：0<B≤在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝2.则(1)角C＝________；(2)a＝________.答案：(1)60°

(2)5[例3]在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．解析：已知等式可化为a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA※由正弦定理得，sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA－sinBcosB)＝0∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π得2A＝2B或2A＝π－2B，即△ABC为等腰或直角三角形．点评：得到※式后也可用正余弦定理化角为边推证a＝b或a2＋b2＝c2.根据所给条件，判断△ABC的形状．(1)若acosA＝bcosB，则△ABC形状为________．(2)若，则△ABC形状为______．解析：(1)由余弦定理得acosA＝bcosB⇒

⇒a2c2－a4－b2c2＋b4＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0∴a＝b或c2＝a2＋b2∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得即tanA＝tanB＝tanC，∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．答案：(1)等腰或直角三角形(2)等边三角形总结评述：根据已知条件，适当选取使用的定理，化边为角或化角为边，边角互化是解决这类问题的基本途径.在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.(1)求sinB的值；(2)若b＝4，且a＝c，求△ABC的面积．分析：所给条件式为角的关系，又均为“二次”式，故化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解．答案：B一、选择题1．在△ABC中，已知下列条件解三角形：①A＝60°，a＝，b＝1；②A＝30°，a＝1，b＝2；③A＝30°，c＝10，a＝6；④A＝30°，c＝10，a＝5.其中有唯一解的是 (

)A．①②③

B．①②④C．②③④

D．①③④[答案]

B[解析]

>1>1·sin60°.故①有唯一解；2·sin30°＝1，故②有唯一解；10sin30°<6<10，故③有两解；10sin30°＝5，故④有唯一解．2．(文)△ABC的三边分别为a，b，c且满足b2＝ac,2b＝a＋c，则此三角形是 (

)A．等腰三角形

B．直角三角形C．等腰直角三角形

D．等边三角形[答案]

D[解析]

∵2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2，即(a－c)2＝0.∴a＝c.∴2b＝a＋c＝2a.∴b＝a，即a＝b＝c.故选D.(理)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于 (

)A．120° B．105°C．90° D．75°[答案]

A3．(文)(09·浙江)设向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝4，a·b＝0，以a，b，a－b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 (

)A．3

B．4

C．5

D．6[答案]

B[解析]

当圆与三角形两边都相交时，有4个交点，本题新构造的三角形是直角三角形，其内切圆半径恰好为1.故它与半径为1的圆最多有4个交点．故选B.[答案]

C∴点N在BC边的中线上，同理点N也在AB、AC边的中线上，∴点N是重心．[答案]

D(理)△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为